12.5 随机过程的微分与积分

3.判别法
定理 Rx(s,t)在(t,t)处及附近有二阶偏导数，
且 2 RX (s,t) 在(t,t)处连续， 则{X(t),tT} 在t处均方可导。 st
性质证明：1）设过程{X(t)}均方可导,则 l i m X (t h) X (t) X (t)
X
(t)
X
' (t )
dX (t)
dt
即Rx(s,t)在(t,t)处连续
(4)平稳过程均方连续性与其自相关函数的关系
定理 设平稳过程{X(t),tT}的自相关函数为Rx(),
则下列条件等价：①{X(t),tT}在T上均方连续； ②{X(t),tT}在t=0均方连续；③ Rx()在=0连续；
④ Rx()在T上连续。
证明：①②，由定义显然成立； ②③：当h0时， | RX (h) RX (0) |2 | E[ X (0)X (h)] E[ X 2 (0)] |2
定理 设过程{X(t)}均方连续,则
(3) 判别法
lim
h0
X
(t
h)
X
(t
)
定理 {X(t),tT} 在t处均方连续
证明：
Rx(s,t)在(t,t)处连续
l i m X (t h) X (t) lim E[X (t h) X (t m)] C E[ X (t)2]
h0
h0
m0
即lim RX (t h,t m) RX (t,t) h0 m0
h0
h
lim E{ X (t h) X (t)} E{X (t)}
h0
h
X (t)
左 lim E{ X (t h) X (t)}
h0
h
lim X (t h) X (t)
h0
h
X
' (t )
dX (t)
dt
2)
R XX
(s, t )
RX (s,t) t
lim n
E( X nY
)
E(XY)
12.5 随机分析
一、均方收敛及均方连续 二．随机过程的均方导数 三．随机过程的均方积分
一、均方收敛及均方连续
1.均方收敛的定义：设有二阶矩随机序列｛Xn,n=1,2,…｝
和随机变量X,E(X2)<+,若有
lim
n
E[X
n
X
2
]
0
则称｛Xn｝均方收敛于X,记作
l
im
n
X
n
X
或
lim
n
X
n
X
2．均方极限的性质
若
lim
n
X
n
X,
lnim Yn
Y
则
(1)
lim
n
E(
X
n
)
E(
X
)
E(l.i.m n
X
n
)
(2)
lim
n
E( X n 2
)
E(X
2
)
(3)
lim
n
E(
X
nYm
)
E(
XY
)
m
3.判别法
l
im
n
X
n
X
lim
n
E( X n X m )
C
E(X 2)
m
证明:(1)由柯西-施瓦兹不等式
| E( X n ) E( X ) |2 | E( X n X ) |2 E[( X n X )2 ] 0 (3) 由柯西-施瓦兹不等式
| EX (0)[ X (h) X (0)]|2
RX (0)E [X (h) X (0)]2 0
定理 设平稳过程{X(t),tT}的自相关函数为Rx(), 则下列条件等价：①{X(t),tT}在T上均方连续； ②{X(t),tT}在T=0均方连续；③ Rx()在=0连续； ④ Rx()在T上连续。
2.性质
X '(t)或X (t) 或 dX (t) dt
1）设过程{X(t)}均方可导,则
X
(t)
X
' (t )
dX (t)
dt
2)
R XX
(s, t )
RX (s,t) t
R X
(s, t )
2
RX (s,t) st
R XX
(s, t )
RX (s,t) s
3）均方可导必均方连续，反之不然。
4) X (t)是正态过程，则 X (t) 也是正态过程。
1.定义 设二阶矩过程{X(t),t∈T},[a,b]T,f(t)是
[a,b]上的普通实值函数。对[a,b]的任一组分点
∆:a=t0<t1<t2<…<tn=b,记：∆tj=tj-tj- 1,tj-1<uj<tj, j=1,2,…,n,|∆|=max{∆tj,1≤j≤n}
若存在与∆及{uj}的取法无关的随机变量Y，使得
lim
E
||0
n j 1
f
(u j ) X (u j )t j
Y
2
0
(1)
则称f(t)X(t)在[a,b]上均方可积，并称Y为f(t)X(t)在[a,b]
上的均方积分，记作： Y
b
f (t)X (t)dt
a
2.性质 定理： 设{X(t)}为一均方连续随机过
程,f(t),g(t)是[a,b]上的实值连续函数，则
(n )
E(XnYm ) E(XY ) E(XnYm ) E(XnY ) E(XnY ) E(XY )
E[Xn (Ym Y )] E[Y(Xn X )]
E( X n2 ) E(Ym Y )2 E(Y 2 ) E( X n X )2 0 n, m
4．均方连续(1)设{X(t),tT}是随机过程,若对某t0T,有
③④：当h0时，
| RX (t h) RX (t ) |2 RX (0)E{[ X (t h)] X (t )]2 }
2RX (0)[ RX (0) RX (h)] 0
④①：当h0时 E{[ X (t h)] X (t)]2 } 2[RX (0) RX (h)] 0
二．随机过程的均方导数
E[(l.i.m n
X
n
)Y ]
RXX (s, t) E( X (s) X (t)) E[X (s)l i m X (t h) X (t)]
h0
h
lim
h0
E[ X
(s)
X
(t
h) h
X
(t ) ]
lim
h0
RX
(s, t
h) h
RX
(s, t )
RX (s,t) t
三．随机过程的均方积分
1.设{X(t),tT}是随机过程,若对某t0T,有
l
im
h0
X
(t0
h) h
X
(t0 )
XБайду номын сангаас
'(t0 )
X
(t0 )
即lim h0
E
[
X
(t0
h) h
X
(t0
)
X
' (t0
)]2
0
称{X(t),tT}在t0均方可导，若对任意tT，{X(t),tT}
均方可导，称{X(t),tT}在T上均方可导。记为
lim E
h0
[ X (t0 h) X (t0 )]2
0
称{X(t),tT}在t0均方连续，记为
l
im
h0
X (t 0
h)
X(t0 )
或
lim
h0
X (t 0
h)
X(t0 )
若对任意tT，{X(t),tT}均方连续，称{X(t),tT}在T上均方连续。
(2)随机过程的均方连续性与它的均值函数连续性的关系