两数和乘以这两数的差

《两数和乘以这两数的差》教案
教材分析
本节课选自人教版八年级上册第12章第三节内容，它是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例．对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简等内容奠定了基础，同时也为学习完全平方公式提供了方法．因此，平方差公式作为初中阶段的第一个公式，在教学中具有很重要地位，同时也是最基本、用途最广泛的公式之一．
学情分析
1.学生的知识技能基础：学生在前面的学习中，已经学习了整式的有关内容，并经历了用字母表示数量关系的过程，有了一定的符号感．经过一个学期的培养，学生已经具备了小组合作、交流的能力．学生刚学过多项式的乘法，已具备学习并运用平方差公式的知识结构，通过创造问题情境，让学生承担任务，在探究相应问题中，建立并运用公式，从而使拓展学生知识技能结构成为可能．通过实际问题的探究，学生已感受到多项式乘法运算的重要性，同时，具备了对式的运算基础“快”“准”的积极心理，学生已具备学习公式的知识与技能结构，通过新课程教学的实施，培养学生具有独立探索、合作交流的习惯．
2．学生活动经验基础：学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常会出现符号错误及漏项等问题；另外，数学公式中字母具有高度概括性、广泛应用性．
教学目标
一、知识与技能
了解平方差公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，能应用公式进行计算。

二、过程与方法
经历探索平方差公式的过程，培养学生观察、分析和归纳能力。

通过对公式验证，感受代数与几何的内在统一性，同时体会数形结合的思想方法。

在运用公式的过程中，渗透转化、建模等数学思想，培养学生思维能力和数学应用意识。

三、情感态度和价值观
通过对公式的概括、验证、应用，让学生体会数学的严密性，优化数学思维品质。

在合作探究活动中让学生体验成功，增强自信。

教学重点
理解平方差公式，掌握公式结构特征。

教学难点
平方差公式的灵活应用。

教学方法
采用引导发现、启发讨论相结合的教学方法。

以“问”之方式启发学生深思，以“变”之方式诱导学生灵活善变，以“梳”之方式引导学生归纳总结。

课前准备
多媒体辅助教学。

教学过程
一、创设情景，导入新课
用视频播放下面的生活场景：
王剑同学去商店买了单价是9.8元／千克的糖块10.2千克，售货员刚拿起计算器，王剑就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果一样。

售货员惊讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快?”王剑同学说：“我利用了在数学上刚学过的一个公式。

”你知道王剑同学用的是一个什么样的公式吗?你现在能算出来吗?学了本节之后，你就能解决这个问题了。

（设计意图：利用生活中的场景，激发学生求知欲，提高学习兴趣）
二、学习目标，有的放矢
1.理解两数和乘以这两数差的几何意义
2.理解并掌握两数和乘以它们的差的公式结构并能正确运算
三、新授
（一）回顾知识，尝试发现
1.复习多项式乘以多项式的法则
(m＋n)(a＋b) =ma＋ mb＋ na ＋nb
2.相信你一定能算得又对又快
(1）（2x+y）（3x+y）=
(2）(x+a) (x-a) =
(3) (m+n) (m-n) =
(4) (a+b) (a-b) =
3.问题
（1）以上四道题的计算中，第(2）、(3)、 (4)题的答案与(1）题的答案有什么区别呢？
（2）满足什么条件的多项式相乘会出现这种情况？
（3）你能用一句话归纳出上述发现的规律吗？能不能用字母表示出你发现的规律呢？
4.总结概括
字母表示为：(a+b)(a-b)=a2-b2
语言文字表述为：两数的和乘以这两数的差，等于这两个数的平方差。

这个公式是两数和与两数差的乘法公式，简称为“平方差公式”
（二）数形结合，几何验证
刚才利用多项式乘以多项式法则，探究得到了平方差公式，
那么能否用两种不同的方法表示同一种图形的方法，来验证这个平方差公式呢？
在这个验证的过程中，体现了我们的数形结合的数学思想方法。

我们已经验证了(a+b)(a-b)=a2-b2的正确性，以后在计算此类的多项式相乘时，可以运用公式直接得到结果。

（三）剖析公式，发现本质
观察平方差公式，同学们在小组内讨论，说出这个公式左右两边的特征。

特征一：
1.特征
（1）等式左边是两个数（字母）的和乘以这两个数（字母）的差
（2）等式右边是这两个数（字母）的平方差
2.例1
计算：（x+2y）（x-2y）
强调：这里的2y是一个整体，注意一定要加括号
3.练习：
公式中的字母意义非常广泛，可以表示一个常数，也可以表示一个字母，还可以表示一个代数式。

做题的关键是“找准平方式公式的结构特征，找准哪一部分是公式中的a，哪一部分是公式中的b。

特征二
1.特征
（1）相乘的两个二项式中，a表示完全相同的项，+b与-b 表示互为相反数的项
（2）结果等于相同项的平方(a2)减去相反项的平方(a2-b2) 2.例2
（1）（x+3）（x-3）
(2)(-3+2a)(-3-2a)
(四）应用迁移，巩固提高
1.判断下列各式是否正确，如果不正确，请指出错误之处，并说明理由。

（1）（2a+3b ）（2a-3b ）= 2a 2-3b 2
（2）(-2a+3）（-2a-3）= 32-4a 2 =9-4a 2
（3）（3x-y ）（-3x+y ）=(3x)2-(y)2 =9x 2-y
2 2.例3
简便计算：9.8×10.2
(五) 总结概括，自我评价
本节课你学会了哪些知识和方法？知道了什么数学思想？有什么收获或感想？还有什么疑问？
（六）当堂检测，及时反馈
1.请你判断以下的计算是否正确，并说明理由
⑴(m ＋3n)(m －3n)=m ² －3n ² ( ) ⑵(－ m ＋3n)(m －3n)=m ² －9n ² ( ) ⑶(－ m － 3n)( m ＋ 3n)=－m ² －9n ² ( ) ⑷ (m －3n) (m －3n) = m ² －9n ² ( )
2. 计算：
⑴(2x ＋ 21)(2x －21) ⑵(－ x ＋2)(－ x －2)
⑶(－ 2x ＋y)( 2x ＋y)
⑷(y － x)(－ x －y)
3.选做题
请同学们填一填（-n+m）（），使其能
运用平方差公式进行计算，你有多少种填法？
（七）作业
基础作业：习题12.3 第1题
提升作业：计算（a+b）（a-b）（a2+b2）（a4+b4）（a8+b8）板书设计
12.3.1两数和乘以这两数的差
一、平方差公式
二、几何图形验证
三、公式特征
教学反思。