两数和乘以这两数的差PPT教学课件
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华师大版八年级数学上册第12章第3节《两数和乘以这两数的差》优秀课件
探究问题一 理解平方差公式 例 1 [课本例 1 变式题] 填空： (1)(3x ＋ 2y)(2y － 3x) ＝ (_2_y__ ＋ 3x)(_2_y__ － 3x) ＝ (_2_y__)2 － (_3_x__)2＝_4_y_2－__9_x_2_； (2)( － 2m － 3n)(2m － 3n) ＝ － (_ 2m＋_3_n_)(_2m－_3_n_) ＝ － [(_2_m__)2－(_3_n__)2]＝__－__4_m_2＋9n_2_； (3)(a＋0.25b)(2a－0.5b)＝2(a＋0.25b)·(_a_－__0_.2_5_b_)＝2[(__a__)2 －(0_._2_5_b)2]＝__2_a2_－__0_._12；5b2 (4)(a2＋b2)(a2－b2)＝(__a_2 _)2－(_b_2__)2＝__a_4－__b_4__； (5)(x＋3y＋z)(x－3y＋z) ＝[(_x_＋__z__)＋3y][(__x_＋__z _)－(___3_y__)] ＝(__x_＋__z _)2－(____3_y_)2.
12.3.1 两数和乘以这两数的差
新知梳理
► 知识点 两数和与这两数差的乘法公式 语言叙述：两数和与这两数差的积，等于这两数的平__方差__． 有时也简称为平方差公式． 字母表达式：(a＋b)(a－b)＝__ 两数和乘以这两数的差
重难互动探究
解：原式＝
1－1 2
1＋1 2
1－1 3
1＋1 3
…
1－ 1 10
1＋ 1 10
＝1×3×2×4×…× 9 ×11
2233
10 10
＝1×11 2 10
＝11. 20
[归纳总结] 逆用：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
(x2＋5－x2＋5)＝10x.
12.3.1 两数和乘以这两数的差
新知梳理
► 知识点 两数和与这两数差的乘法公式 语言叙述：两数和与这两数差的积，等于这两数的平__方差__． 有时也简称为平方差公式． 字母表达式：(a＋b)(a－b)＝__ 两数和乘以这两数的差
重难互动探究
解：原式＝
1－1 2
1＋1 2
1－1 3
1＋1 3
…
1－ 1 10
1＋ 1 10
＝1×3×2×4×…× 9 ×11
2233
10 10
＝1×11 2 10
＝11. 20
[归纳总结] 逆用：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
(x2＋5－x2＋5)＝10x.
八年级数学上册第12章整式的乘除12.3乘法公式1两数和乘以这两数的差课件(新版)华东师大版
1 2 2 1 1 xy－ 4 自我诊断 3. 计算：(－xy＋ )(－xy－ )＝ 2 2
.
.
1．(孝感中考)下列计算正确的是( B ) A．b3· b3＝2b3 B．(a＋2)(a－2)＝a2－4 C．(ab2)3＝ab8 D．(8a－7b)－(4a－5b)＝4a－12b 2．计算：(x－y)(－y－x)的结果是( A ) A．－x2＋y2 C．x2－y2 B．－x2－y2 D．x2＋y2
解：原式＝9；
(2)(4m－3n)(4m＋3n)；
解：原式＝16m2－9n2；
1 1 (3)(－2x2＋ )(－2x2－ )； 2 2 1 4 解：原式＝4x － ； 4 2 3 2 3 (4)( x－ y)(－ x－ y)． 3 4 3 4 4 9 解：原式＝－ x2＋ y2. 9 16
7．边长为 acm 的正方形(a＞1)，一组对边的边长增加 1cm，另一组对边的 边长减少 1cm，得到的长方形的面积与原正方形的面积比较，有没有发生 变化？说明你的理由．
14．(青海中考)观察下列各式规律： (x－1)(x＋1)＝x2－1； (x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1； (x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1…
8 x 可得到(x－1)(x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x＋1)＝ －1
7
6
5
4
3
2
； .
n＋1 一般地(x－1)(xn＋xn－1＋x5＋…x2＋x＋1)＝ x －1
10．(x＋2)(x－2)(x2＋4)的计算结果是( C ) A．x4＋16 C．x4－16 B．－x4－16 D．16－x4
11．已知 m2－n2＝4.那么(m＋n)2(m－n)2 的结果是( C ) A．4 C．16 B．8 D．32
.
.
1．(孝感中考)下列计算正确的是( B ) A．b3· b3＝2b3 B．(a＋2)(a－2)＝a2－4 C．(ab2)3＝ab8 D．(8a－7b)－(4a－5b)＝4a－12b 2．计算：(x－y)(－y－x)的结果是( A ) A．－x2＋y2 C．x2－y2 B．－x2－y2 D．x2＋y2
解：原式＝9；
(2)(4m－3n)(4m＋3n)；
解：原式＝16m2－9n2；
1 1 (3)(－2x2＋ )(－2x2－ )； 2 2 1 4 解：原式＝4x － ； 4 2 3 2 3 (4)( x－ y)(－ x－ y)． 3 4 3 4 4 9 解：原式＝－ x2＋ y2. 9 16
7．边长为 acm 的正方形(a＞1)，一组对边的边长增加 1cm，另一组对边的 边长减少 1cm，得到的长方形的面积与原正方形的面积比较，有没有发生 变化？说明你的理由．
14．(青海中考)观察下列各式规律： (x－1)(x＋1)＝x2－1； (x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1； (x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1…
8 x 可得到(x－1)(x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x＋1)＝ －1
7
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4
3
2
； .
n＋1 一般地(x－1)(xn＋xn－1＋x5＋…x2＋x＋1)＝ x －1
10．(x＋2)(x－2)(x2＋4)的计算结果是( C ) A．x4＋16 C．x4－16 B．－x4－16 D．16－x4
11．已知 m2－n2＝4.那么(m＋n)2(m－n)2 的结果是( C ) A．4 C．16 B．8 D．32
两数和乘以两数差公式
比较等号两 a 4 边的代数式,它 们在系数和字母 (2) (a+b)(a-b )=________________ 方面各有什么特 2 2 4m n (4) (2m+n)(2m-n)=_______________ 点?两者有什么 联系? 观察以上算式及其运算结果，你发现了什么 规律？ 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差.
步骤：1、判断；2、调整；3、用公式。
找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式．
1.下列运算正确吗? 若不正确 , 请改正. (1) ( x 7)( x 7) x 7
2
(2) ( 2 x 7)(2 x 7) 2 x 49
2
(3)(3x 2)(3x 2) 9 x 4
可以
(5) (-x-1)(x+1)
不可以
(6) (x+3)(x-2)
不可以
例2
用平方差公式计算:
=(2000-2)(2000+2) =20002-22 =4000000-4 =3999996
(1)1998×2002
(2)10.2×9.8 =(10+0.2)(10-0.2)
=102-0.22
=100-0.04 =99.96
2
×) ( ×)
(
(4)(1 4b)(1 4b) 1 16b
2
4、下列式子中哪些可以用平方差公式运算?如 果可以,并计算. 1 1 ⑴ (ab-8)(ab+8) 可以 ⑵ ( 4 x y )( 4 x y ) 可以
(3) (-4k+3)(-4k-3) 可以 (4) (1-x)(-x-1)
试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2。
两数和乘以这两数的差-课件
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年2月27日星期 六2021/2/272021/2/272021/2/27
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年2月2021/2/2ห้องสมุดไป่ตู้2021/2/272021/2/272/27/2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/272021/2/27Saturday, February 27, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021 1:31:59 PM
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/272021/2/272021/2/27Feb-2127-Feb-21
■，最后一项不慎被墨水污染，则被墨水污染的这一项应该是
( C)
A．5y2
B．10y2
C．25y2
D．100y2
6．(3分)(2014·包头)计算：(x＋1)2－(x＋2)(x－2)＝_2__x_＋__5__.
7．(8分)计算下列各题： (1)(12x＋2y)2； 14x2＋2xy＋4y2
(2)(－3m－2n)2；
9m2＋12mn＋4n2
(3)(－a＋2b)2； a2－4ab＋4b2
(4)(x＋1)2－(x－1)2. 4x
8．(8分)利用两数和(差)的平方公式计算： (1)2012； 40 401 (2)99.82.
9 960.04
8、两数和乘以这两数的差
解：原式=（2-1） 2 122 124 128 1 ···264 11
=(2²-1)（2²+1）（2⁴+1）（28+1）…（264+1）+1 =（2⁴-1）（2⁴+1）（28+1）…（264+1）+1 =（264-1）（264+1）+1 =2128
例5、计算：803×797;
【分析】两个比较大的数值相乘时，可以观察规律，符不符合两数和和 这两数的差相乘，本题可以看作800与3的和Байду номын сангаас乘积.
（1+a）（1﹣a+a2﹣a3+a4）＝1+a5
…
（1+a）（1﹣a+a2﹣a3+…﹣a9）＝
．
（2）以（1）中最后的结果为参考，求下列代数式的值（结果可以含幂的形式）
2﹣22+23﹣24+…+29＝
．
【解答】 （1） 1-a10
（2） 2 1 29 3
原式 ＝2×（1﹣2+22﹣23+24+…+28） ＝（1+2）× 1 ×2×（1﹣2+22﹣23+24+…+28） 3 ＝ 2 （1+2）（1﹣2+22﹣23+…+28） 3
两数和乘以这两数差
▪ 灰太狼开了租地公司,一天他把一边 长为a米的正方形土地租给慢羊羊种植. 有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的 一边增加5米,另一边减少5米,再继续租 给你, 你也没吃亏,你看如何?”慢羊羊 一听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊村, 就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一 听,都说道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊 村长很吃惊…同学们,你能告诉慢羊羊 这是为什么吗?
=(2²-1)（2²+1）（2⁴+1）（28+1）…（264+1）+1 =（2⁴-1）（2⁴+1）（28+1）…（264+1）+1 =（264-1）（264+1）+1 =2128
例5、计算：803×797;
【分析】两个比较大的数值相乘时，可以观察规律，符不符合两数和和 这两数的差相乘，本题可以看作800与3的和Байду номын сангаас乘积.
（1+a）（1﹣a+a2﹣a3+a4）＝1+a5
…
（1+a）（1﹣a+a2﹣a3+…﹣a9）＝
．
（2）以（1）中最后的结果为参考，求下列代数式的值（结果可以含幂的形式）
2﹣22+23﹣24+…+29＝
．
【解答】 （1） 1-a10
（2） 2 1 29 3
原式 ＝2×（1﹣2+22﹣23+24+…+28） ＝（1+2）× 1 ×2×（1﹣2+22﹣23+24+…+28） 3 ＝ 2 （1+2）（1﹣2+22﹣23+…+28） 3
两数和乘以这两数差
▪ 灰太狼开了租地公司,一天他把一边 长为a米的正方形土地租给慢羊羊种植. 有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的 一边增加5米,另一边减少5米,再继续租 给你, 你也没吃亏,你看如何?”慢羊羊 一听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊村, 就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一 听,都说道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊 村长很吃惊…同学们,你能告诉慢羊羊 这是为什么吗?
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a 4或a 1
a
3 2
即a=4或a=-1时，分式的值为零.
(2)当2a-3=0即a=3/2时无意义. 故当a≠3/2时，分式有意义.
思考变题：当a为何值时， a 2 的值 (1)为正；(2)为零. a 3
➢ 典型例题解析
1 5 x 2 x2
【例2】
不改变分式的值，先把分式：
46 3 7 x 1 0.1x2
设计制作:
1.分式 A
在分式中 B ，分式的分母B中必须含有字母，且分母 不能为零.
2.有理式 整式和分式统称为有理式.
3.最简分式 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分 式4..最简公分母
几个分式，取各分母的系数的最小公倍数与各 分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公 分母叫做最简公分母.
2 3
则
x2y xy2
x2 y2 =
1/4.
10.化简：(
x
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1
1 x
2
)
3x x1
1 3(x 1)
➢ 典型例题解析
【例1】 当a取何值时，分式 a2 3a 4
2a 3
(1)值为零；(2)分式有意义?
解：a 3a 4= (a 4)(a 1)
2a 3
2a 3
(1)当(2aa43)(a0 1) 时0，有
2.分式的混和运算应注意运算的顺序，同时要 掌握通分、约分等法则，灵活运用分式的基本 性质，注意因式分解、符号变换和运算的技巧， 尤其在通分及变号这两个方面极易出错，要小心 谨慎！
➢ 课时训练
1. (2004年·上海)函数y
x x1
的定义域是 x>-1
.
2.(2004 年·重庆)若分式 x2 9 的值为零，则x
2．解分式方程一定要验根.
➢ 课前热身
1. (2004·南宁市)当x≠1
时，分式 3 有意义。 1 x
2.
(2004年·南京)计算a：a b
a
b b
=1
.
3.计算：x2 4x 4 5x x2 = 6 .
x2
x3 x3
x y
4.在分式① x y ,②
3x2 y 2x ,③
4 5x5yx,y④
a2
a
a
解：(1)原式= a 2 4
1 a2
= a2 4 4
a2 a2
= a2 8
a2
➢ 典型例题解析
(2)原式= 1
x1
x3 ( x 1)( x 1)
• ( x 1)2 ( x 1)( x 3)
=
x
1
1
(
x1 x 1)
2=
x1 x1 ( x 1)2 ( x 1)2
=(
➢ 典型例题解析
【例5】 化简： 1 + 1 +
1a 1a
1
2 a
2+
1 4a.4
解：原式=
(1 a) (1 a) (1 a)(1 a)
2 1 a2
4 1 a4
=
2(1 a2 )2(1 a2 ) 4
1 a4
1 a4
=
4 1 a4
4 1 a4
8
= 1 a8
1.当分式的值为零时，必须同时满足两个条件： ①分子的值为零； ②分母的值不为零.
(
a a2
2 2a
a2
a1 ) ÷
4a 4
a ，4 其中a满足：a2-2a-1=0.
a2
解：原式=［a(aa22)
a1 (a 2)
2］×
a2 a4
=(a
2
4) a(a
(a 2 2)2
a×)
a a
2 4
=
a
a (a
42×)2
a2 a4
=a(a1 2)
=
1 a2 2a
又∵a2+2a-1=0， ∴a2+2a=1 ∴原式=1
60 20
的分子、分母的最高次项系数化为正整数，然后约分，
化成最简分式.
解：原式=
(
( 1 5 x 2 x2 ) 60 46 3
=
7 )x 1 0.1x2 ) 60
15 50x 40x2 7x 3 6x2
40x2 50x 15 6x2 7x 3
60 20
=
157x503x64x02x=2
x
2 1)2
(3)原式=［a 2 4 a2 4a 4 ］÷(
a2
a
=［a 2 (a 2)2 ］3 a
a2 a
a4
4 a)
a
=(a2 4 3a) a = (a 4)(a 1) a
a
(a 4)
a
4a
= (a 1) = a 1
➢ 典型例题解析
【例4】 (2002年·山西省)化简求值：
3x 中xy ，最
3 y
简分式的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4
( )B
➢ 课前热身
5. 将分式 x 2y 中的x和y都扩大10倍，那么分式的值
x
( )D
A.扩大10倍
B.缩小10倍
C.扩大2倍
D.不变
6.当式子 | x | 5 的值为零时，x的值是
x2 4x 5
( B)
A.5 C.-1或5
c c c b d bd bd bd
2.分式的乘、除法法则
a · c = ac ， a c = a · d = ad .
b
d bd
bd b
c bc
3.分式的乘方法则
a n =
b
an bn
(n
为正整数)
着重提示：
1．分式的“值为零”和分式“无意义”. 分式的值为零，是在分式有意义的前提下考虑的.要 使分式的值为零，一定要同时满足两个条件；(1)分母 的值不为零；(2)分子的值为零.特别应注意，分子、 分母的值同时为零时，分式无意义. 分式的分母为零，分式无意义，这时无须考虑分子 的值是否为零.
B.-5 D.-5或5
7.当x=cos60°时，代数式 x2 3x÷(x+ 3 )的值是( A)
x2
2x
A.1/3 B. 3 C.1/2
3
D.
3 1
3
➢ 课前热身
8.(2004·西宁市)若分式x2 2x 3 的值为0，则x＝ -3 。
x1
9. (2004年·呼和浩特)已知x 1 , xy 1
40x2 50 x 15 6x2 7x 3
= 5(2 x 3)(4 x 1)
(3 x 1)(2 x 3)
= 20x 5
3x 1
➢ 典型例题解析
【例3】 计算：(1) a 2 4 ；
a2
1
(2)
x1
x3 x2 1
•
x2 x2
2x 1 4x 3
；
(3)［(1 4 )( a 4 4 )-3］÷( 4 1 ).
5.分式方程 分母中含有未知数的方程，叫做分式方程.
分式的基本性质：分式的分子、分母都乘以(或 除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.这 一性质用式表示为：
A AM B BM
A A M (M 0) B BM
分式的基本性质是分式进行恒等变形的基础和根据.
1.分式的加、减法法则
a b = a b ， a c = ad bc = ad bc