乘法公式 两数和乘以这两数的差
两数和乘以两书差公式教学设计
13.3.1两数和乘以这两数的差(即平方差公式)教学设计教学目标1．在已有的整式乘法的知识中摸索、探究，提炼出两数和乘以这两数的差这一乘法公式。
2．使学生会正确运用公式进行整式乘法运算，感受公式的便捷。
3、通过剪纸拼图的活动，体会图形与数学恒等式之间的联系，感受数学的乐趣。
4、注意培养学生分析、综合和抽象、概括以及运算能力。
教学重点和难点重点：两数和乘以这两数的差的公式的的结构特征及应用。
难点：正确运用两数和乘以这两数的差的公式。
学具准备剪刀、纸片教学过程设计一、情境引入1.从前有一个狡猾的地主，他将一块长为x米的正方形一边增加2米，另一边减少2米，结果他说这块土地的面积不变，你觉得呢？现在这块土地的面积怎么表示？我们已经学过了整式的乘法，多项式与多项式相乘的法则是什么?你会计算(x+2)(x-2)的结果吗？2.计算：（1）（x+1）(x-1)（2）（x+3）(x-3)（3）（2x+1）(2x-1)（4）（x+a）(x-a)计算后大家讨论并交流，所乘的两个式子具有怎样的特点，计算的结果有几项，具有怎样的特征？让学生动脑、动笔进行探讨，并发表自己的见解．教师根据学生的回答，引导学生进一步思考：两个二项式相乘，乘式具备什么特征时，积才会是二项式？为什么具备这些特点的两个二项式相乘，积会是两项呢？而它们的积又有什么特征？从而引出课题——乘法公式：两个数的和乘以这两个数的差(即平方差公式) （教师板书课题）二、探究新知1、教师评价学生的发现，从特殊中总结出一般性，得出两数和乘以它们的差这一乘法公式。
2、合作拼图，用图形的面积再一次说明公式，让学生用语言叙述公式。
二、知识应用例1 计算(1+2x)(1-2x)．解：(1+2x)(1-2x)=12-（2x）2=1- 4x2．教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么。
例2 计算(2a+3b)(3b-2a)解：(2a+3b)(3b-2a)＝(3b)2- (2a)2＝9b2- 4a2本例题由学生交流完成。
两数和乘以这两数的差优秀教案
两数和乘以这两数的差(教案)（第一课时）巴中二中冯文[教学内容]：两数和乘以这两数的差[教学目标]1、知识与能力了解．．公式的几何背景，理解．．公式，在此基础上能应用．．公式进行计算。
．．并掌握2、过程与方法在本课的学习中，让学生经历“观察概括——探索验证——应用实践”的过程，发展学生的归纳概括能力，让学生体会“数形结合”及“从特殊到一般”的数学思想。
3、情感态度与价值观通过对公式的概括、验证、应用，让学生体会数学的严密性，优化数学思维品质。
在活动中让学生体验成功，增强自信。
[教学重难点]1、教学重点：公式的验证及应用。
2、教学难点：找出具体问题中哪一部分相当于公式中的a，哪一部分相当于公式中的b。
[教学策略]本节课我将以学生为主体，围绕学生开展教学活动，我主要采用了以下三种教学方法：情景教学法，．．．：以激发学生的求知欲，提高学习兴趣。
．．．教学法．．．．．．启发式探究性教学法．．．．．．：给学生一点时间和空间，让学生亲自参与知识的发现过程，以加深对知识的理解。
[教 学 准 备]1．学具准备：每位同学课前观察教材P29的图13.3.1，然后制作一张卡片，准备一把剪刀。
（图1:教材P29的图13.3.1） (图2:学生制作的卡片) 2．多媒体辅助教学。
[教 学 课 时]：共2课时，授课内容为第一课时 [教学过程设计]一、创设情景（约2分钟） 用视频播放下面的生活场景：小林到商店去买饼干，售货员告诉她：共4.2千克，每千克3.8元。
正当售货员还在用计算器计算时，小林马上说出了共15.96元。
售货员很惊奇地问：你怎么比计算器算的还快呢？小林很得意地告诉她：这是一个秘密。
提问：同学们，你能帮售货员揭开小林快速口算出4.2×3.8的秘密吗？ （设计意图：利用生活中的场景，激发学生求知欲，提高学习兴趣） 二、观察概括（约6分钟）a1．师：经过本课的学习，我们就能揭开这一秘密了。
下面，请同学们计算这三道题目，并抽一名学生回答出最终．．的答案。
两数和乘以这两数的差知识点
两数和乘以这两数的差知识点
1. 嘿，两数和乘以这两数的差，那可是个超有用的知识点哦！比如说，(3+2)×(3-2)，算一下，不就能快速得出结果嘛！这么好用的方法，咱可得
好好掌握呀！
2. 哇塞，你想想看，要是知道了两数和乘以这两数的差，像(5+3)×(5-
3)这种，不就一下子能求出答案啦？这多有意思呀，难道不是吗？
3. 哎呀呀，两数和乘以这两数的差真的太重要啦！就像(4+1)×(4-1)，用起来多方便呀，这简直是数学里的秘密武器呀！
4. 嘿，懂了两数和乘以这两数的差，那做一些题目不就轻而易举啦！比如算(6+2)×(6-2)，是不是感觉特别棒呀？
5. 哇哦，两数和乘以这两数的差真的绝了呀！你看(7+3)×(7-3)，用这个知识点算起来多轻松愉快呀！
6. 哈哈，了解了两数和乘以这两数的差，就像打开了数学宝藏的大门！试试算(8+1)×(8-1)，是不是超级好用呢？
7. 哟呵，两数和乘以这两数的差的用处可大了去啦！瞧瞧(9+2)×(9-2)，一下子就能得出答案，太神奇了吧！
8. 哎呀，两数和乘以这两数的差可别小看呀！像(10+3)×(10-3)，会用这个知识点能省不少事儿呢！
9. 总之呢，两数和乘以这两数的差在数学里那是相当重要呀，学会了就赶紧用起来吧！
观点结论：两数和乘以这两数的差是一个很实用的数学知识点，能帮助我们快速准确地解决很多数学问题，要好好掌握和运用呀！。
“两数的和乘以这两数的差”公式说课稿
《两数的和乘以这两数的差》说课稿侯马市第五中学吉星晨一、说教材1、说课内容华师版八年级上册“12.3乘法公式”（第一课时）：两数的和乘以这两数的差2、本课在教材中的地位、作用和意义《两数的和乘以这两数的差》是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简等内容奠定了基础，同时也为学习完全平方公式的学习提供了方法。
因此，“两数的和乘以这两数的差”在教学中具有很重要地位.所以，我将教学重点定为：“两数的和乘以这两数的差”的推导和应用．3、本节课的教学目标基于对教材的理解和分析，我在教学中以学生为主体，以学生的学为根本，我把本课的目标定位为：（一）知识目标掌握两数的和乘以这两数的差公式的结构特征，并能灵活运用这一公式解决问题.（二）能力目标经历“两数的和乘以这两数的差”公式的探究过程中，培养观察、猜想、归纳、概括、推理的能力和符号感，感受利用转化、数形结合等数学思想方法解决实际问题的策略.（三）情感目标通过探究“两数的和乘以这两数的差”公式，培养团结协助的意识，增强学生学数学、用数学的兴趣.二、说学生学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常会出现符号错误及漏项等问题；另外，数学公式中字母具有高度概括性、广泛应用性，鉴于八年级学生的认知水平，理解上有困难．因此，我们把教学难点定为：理解“两数的和乘以这两数的差”公式的结构特征，灵活应用“两数的和乘以这两数的差”公式．三、说教法、学法课堂是学生学习的主阵地，真正做到把课堂还给学生，因而我采取的的教学模式定为：三先两主动，即让学生先说话、先动手、先总结，让学生主动提问、主动探索。
学习方法：学生积极参与、大胆猜想、合作交流和自主探索.四、说教学过程（一）创设情景，引入新课数学课标强调：“数学来源于实际生活”，为了体现这一思想，我设计了一个实际问题. 这里只提供情境，刺激学生主动提出问题，因为“提出问题”比“解决问题”更重要。
华师大数学《两数和乘以这两数的差》说课稿
两数和乘以这两数的差各位。
大家好！今天我说课的内容是：华东师版八年级数学上册第十二章第三节第一课时《两数和乘以这两数的差》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标和重难点、教法与学法、教学过程、板书设计等六个方面对本课的设计进行说课.一、教材分析本节内容是在学习了多项式乘法的基础上继续学习的，是学习“因式分解”等内容的基础，具有承前启后的作用，本公式在整式的乘法和生产、生活中应用广泛，它是“数形结合”的代表，是“从特殊到一般”的典型，教材为学生在数学活动中“获得数学”的思想方法，同时在整式乘法、因式分解及其代数运算中起着举足轻重的作用，是今后学习的坚实基础。
二、学情分析从心理特征来说，初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。
但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
从认知状况来说，学生在此之前已经学习了（），对（）已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于（）的理解，掌握，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分析。
三、教学目标和重难点1、教学目标：（1）掌握两数和乘以这两数差的乘法公式，会推导两数和乘以这两数差的乘法公式．（2）会运用公式进行简单的计算.（3）了解两数和乘以这两数差的公式的几何背景.2、重、难点：重点：掌握两数和乘以这两数差的公式及运用公式进行简单的计算难点：理解公式的几何意义及公式中字母的含义四、教法和学法１、教法：本节课我将以学生为主体，围绕学生开展教学活动，结合本节课内容我主要采用情景引入、启发、探究的方式，以激发学生的求知欲，给学生一点时间和空间，让学生亲自参与知识的发现过程，以加深对知识的理解。
乘法公式.两数和乘以这两数的差(优质课)获奖课件
12.3.1 两数和乘以这两数的差
活动2
教材导学
理解、掌握两数和与这两数差的乘法公式 完成下列填空，然后想一想：你是根据什么法则进行计 算的？ (1)(x ＋1)(x －1)＝____ ； x2－1 2－ 4 (2)(m ＋2)(m－2)＝m ____ ； (3)(2x ＋3)(2x －3)＝ ____ 4 x2－； 9 2 (4)(a＋b)(a－b)＝____ ． a2－b 这些算式有什么共同的特点？计算的结果又都有何相 同的特征？ ◆知识链接—— [新知梳理]知识点
12.3.1 两数和乘以这两数的差
新 知 梳 理
► 知识点 两数和与这两数差的乘法公式
语言叙述：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 __ __． 有时也简称为平方差公式． 字母表达式： (a＋b)(a－b)＝__ a2－b2 __． 几何背景图：
图 12－3－1
12.3.1 两数和乘以这两数的差
12.3.1 两数和乘以这两数的差
探究问题二
平方差公式的逆用
x x ＋5 2 －5 2 例 2 计算： 2 －2 . [解析] 本题若直接应用多项式乘以多项式， 则运算量较 大，不如逆用平方差公式． x x x x ＋5 2 －5 2 ＋5＋ －5 x x 解： 2 －2 ＝2 2 ( ＋5－ ＋5)＝10x . 2 2
图 13－5－3 你还能知道线段垂直平分线有什么性质吗？ ◆ 知识链接——[新知梳理]知识点一
13.5.2 线段垂直平分线
2．线段垂直平分线性质定理的逆定理 命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 逆命题是__ __； 已知该命题是真命题，在图 13－5－3 中，若直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，则当点 P 满足 PA＝PB 时，点 P 在直线___ MN 上． 你能证明线段垂直平分线性质定理的逆定理吗？ ◆ 知识链接——[新知梳理]知识点二
两数和乘以这两数的差
两数和乘以这两数的差设两个数分别为a和b，根据平方差公式可以将它们的和和差表示为：(a+b)(a-b)我们来详细推导一下这个公式。
首先，将(a+b)(a-b)展开，得到：(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)接下来，使用分配律将每一项展开，得到：(a+b)(a-b)=a(a)+a(-b)+b(a)+b(-b)继续简化表达式，得到：(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2因为乘法满足交换律，所以可以将ab和ba合并为2ab，得到最终的表达式：(a + b)(a - b) = a^2 - 2ab - b^2现在我们来说明一下为什么这个公式成立。
首先，我们先展开(a + b)(a - b)得到的表达式a^2 - ab + ba -b^2、观察该表达式，我们可以发现其中有两项是相同的，即-ab和ba，这两项可以合并为-2ab。
那么这个公式有什么应用呢？一个非常常见的应用就是在解方程的时候。
例如，我们要解方程x^2-7x+10=0。
我们可以将方程写成(x-5)(x-2)=0的形式，然后根据零乘积法则，我们得出x-5=0或者x-2=0。
因此，解方程的解为x=5或者x=2另外一个应用是在因式分解中。
当我们需要对一个二次多项式进行因式分解时，可以使用平方差公式来分解。
例如，我们要因式分解x^2-4x+4、根据平方差公式，我们可以将该二次多项式分解为(x-2)(x-2)。
因此，它的因式分解形式为(x-2)^2此外，平方差公式还可以用于简化一些数学表达式。
例如，考虑表达式(1+√2)(1-√2)。
根据平方差公式，我们可以将该表达式简化为1^2-2=-1、所以，(1+√2)(1-√2)=-1综上所述，平方差公式是一个非常有用的数学工具，可以在解方程、因式分解和简化数学表达式等方面发挥作用。
华师大版八年级数学上册第12章第3节《两数和乘以这两数的差》课件
=-(9a2-4)
=-9a2+4;
改正方法2：(-3a-2)(3a-2)=(-2-3a)(-2+3a)
=(-2)2-(3a)2
=4-9a2.
2.利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a- 3b)；
（2）(3+2a)(－3+2a)；
=a2－(3b)2 =a2－9b2 ；
（3）51×49； =(50+1)(50-1) =502－12
(4)(a-b)(-a-b)= __b_2_-a_2____.
典例精析
例1 填一填： (a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x)
a
b
1
x
-3
a
a
1
0.3x
1
a2-b2 12-x2 (-3)2-a2 a2-12 ( 0.3x)2-12
解：原式=(x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =(x4-y4)(x4+y4) =x8-y8.
课堂小结
两个数的和与这两个数的差的
内
容
积，等于这两个数的平方差
平方差 公式
注
1.符号表示：(a+b)(a-b)=a2-b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这
意
一特征，在应用时，只有两 个二项式的积才有可能应用
答：改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米.
当堂练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）(x+2)(x-2)=x2-2 不对
华师大版-数学-八年级上册---13.3 乘法公式 两数和乘以这两数的差 作业--.
八年级上 §13.3 乘法公式 两数和乘以这两数的差 作业 积累·整合1、选择题（1）.下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( )A.(x+y)(－x －y)B.(2x+3y)(2x －3z)C.(－a －b)(a －b)D.(m －n)(n －m)（2）.下列计算正确的是( )A.(2x+3)(2x －3)=2x 2－9B.(x+4)(x －4)=x 2－4C.(5+x)(x －6)=x 2－30D.(－1+4b)(－1－4b)=1－16b 2（3）.下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( )A.(－a －b)(－b+a)B.(xy+z)(xy －z)C.(－2a －b)(2a+b)D.(0.5x －y)(－y －0.5x)（4）.(4x 2－5y)需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算( )A.－4x 2－5yB.－4x 2+5yC.(4x 2－5y)2D.(4x+5y)2（5）.a 4+(1－a)(1+a)(1+a 2)的计算结果是( )A.－1B.1C.2a 4－1D.1－2a 4（6）.下列各式运算结果是x 2－25y 2的是( )A.(x+5y)(－x+5y)B.(－x －5y)(－x+5y)C.(x －y)(x+25y)D.(x －5y)(5y －x)2、填空（7）(x －1)(x+1)=_____,(2a+b)(2a －b)=_____,( x －y)( x+y)=_____.（8）(x+4)(－x+4)=_____,(x+3y)(_____)=9y 2－x 2,(－m －n)(_____)=m 2－n 2（9）498×502=(_____)(_____)=( )2－( )2=_____.（10）－(2x 2+3y)(3y －2x 2)=_____.（11）(a －b)(a+b)(a 2+b 2)=_____.（12）(_____－4b)(_____+4b)=9a 2－16b 2,(_____－2x)(_____－2x)=4x 2－25y 23、计算（13）103×97 （14）(－2x 2+5)(－2x 2－5)（15）a(a －5)－(a+6)(a －6)二、拓展·应用4、化简（16）、（x －y ）（x+y ）－（x －2y ）（2x ＋y ）（17）、)12)......(12)(12)(12)(12(32842+++++三、探索·创新5、阅读解答题如图6，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式＿＿＿＿＿＿＿＿八年级上§13.3 乘法公式两数和乘以这两数的差作业答案1、选择题（1）C (2)D (3)C (4)A (5)B (6)B2、填空(7)22222,4,1y x b a x --- (8)n m x y x +---,3,162(9)()()249996,2,500,2500,2500+- (10)2494y x - (11)44b a - (12)3a,3a,5y,-5y3、计算（13）103×97 =(100+3)(100-3)=10000-9=99991（14）(－2x 2+5)(－2x 2－5) =2544-x（15）a(a －5)－(a+6)(a －6)=36536522+-=+--a a a a4、化简（16）、（x －y ）（x+y ）－（x －2y ）（2x ＋y ）=2222232y xy x y x ++--=223y xy x ++-（17）、)12)......(12)(12)(12)(12(32842+++++ =)12)......(12)(12)(12(322+++-=1264-5、阅读解答题长为a 的正方形面积为a ,长为b 的正方形的面积为b ,则剩余面积为a -b 由图可知梯形的高为a-b ，有梯形的面积公式得其面积S=×（2a+2b ）×(a -b)=（a+b ）(a-b) ，梯形面积等于剩余面积，即a -b =(a+b)(a-b)。
12.4.乘法的公式--两数和乘以这两数的差
课题：12.4《乘法的公式》编写人：八年级A段钱得友第1课时两数和乘以这两数的差【学习目标】1.掌握两数和乘以这两数的差的公式；2.能熟练运用两数和乘以这两数的差的公式【重点难点】重点：1.掌握两数和乘以这两数的差的公式；2. 能熟练运用两数和乘以这两数的差的公式难点：结合公式的几何背景,从感性上进一步体会两数和乘以这两数的差的公式的几何意义;。
【学法指导】交流指导点拨指导自主学习合作探究【知识链接】两数和乘以这两数的差的公式多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的（）分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的（），即nbnambmabanm+++=++))((如果我们把{ m+n}换成{ a-b }就得到：())((2-=+-ababa2)bab++22ba-=这就是说，两数和与这两数差的积，等于这两个数的( )；【自学指导、合作探究】一、自学指导两数和乘以这两数的差的公式的特点：1.左边是两个二项式相乘,这两个二项式中有一项( ),另一项互为( )；2.右边是乘式中两项的( )(即相同项的平方减去相反项的平方)；3.公式中的a和b可以是具体的数,也可以是单项式或 ( )；如: (x+y+z)(x+y-z)=( ) - z2师生札记师生札记4, 两数和乘以这两数的差的公式变形：(1) 位置变化: (b+a)(-b+a)=( );(2) 符号变化: (-a-b)( )=b2 - a2;(3) 系数变化: (3a + 1/2b)(3a-0.5b)=;( );(4) 指数变化: (a2 + b2)(a2 - b2)=;( );(5) 连用公式变化:（a - b）（a + b）（a2 + b2）=( );(6) 逆用公式变化: a2 - b2=（）(a+b);两数和乘以这两数的差的公式的应用对于具有特殊关系的两数的乘法计算,可运用两数和乘以这两数的差的公式进行简化计算,计算的关键是将原两位数的乘积化为( )与( )的积的形式,即将行如m.n的两个数化为（a - b）（a + b）,其中a=( ),b=( ).如:1998×2002=( ) ×( )=2000²- 2²=( )二、合作探究计算(1.) (a+3)(a-3) (2,) (3a-2b)(3a+2b)(3,) (-3m²+0.5)(-3m²-0.5) (4,) (-2x-y)(-2x+y)(5,) 99.9× 100.1 (6,) 497 ×503 师生札记(7,) (a+2)(a-2)(a²+4) (8,) (2+1)(2²+1)【展示质疑、教师点拨】图（1）图（2）你能根据上图来验证（a＋b）(a－b)=a2－b2吗？【同步演练、拓展提升】一、判断下列多项式乘法中,是不是可以用两数和乘以这两数的差的公式计算:(1) ( 2x2+ y) ( 2x-y) ( )(2) ( a- 3b) ( -a-3b) ( )(3) (-5m+3n) (-5m-3n) ( )(4) (-x - y) ( x + y) ( )师生札记(5) (2a +3b) (3a +2b) ( )二、计算(1) (2a-b)(2a+b)-(2b-3a)(2b+3a)(2) (a +b +c)(a +b -c)三、化简求值:(y+3x)(3x-y)-(3y-x)(3y+x), 其中x=-2,y=3;四、解不等式：()()()()32236511x x x x --≥+--【归纳总结、回归目标】【知识迁移】阿拉伯数字阿拉伯数字并不是阿拉伯人发明创造的，而是发源于古印度，后来被阿拉伯人掌握、 改进，并传到了西方，西方人便将这些数字称为阿拉伯数字。
两数和乘以这两数的差说课稿
两数和乘以这两数的差说课稿
公开课说课稿
一、教学内容：
华东师大版八年级上册第十三章第三节乘法公式之两数和乘以这两数的差。
二、教材分析：
（一）、教材所处的地位：
乘法公式是初中代数学习的几个重要的公式之一。
两数和乘以这两数的差实质上就是平方差公式。
此公式源于整式的乘法，又可用于整式的乘法。
同时也与今后学习因式分解中平方差公式互逆。
故掌握好平方差公式有利于今后学习因式分解时的知识迁移，又可减少之后学习完全平方公式时产生负迁移。
（二）、教学重、难点及关键：
1、重点：掌握平方差公式的特点，并会运用。
2、难点：公式的几何背景，会灵活运用公式。
3、关键：抓住公式的结构特点，能根据公式的特点，判断哪些多项式的乘法可以套用公式。
三、教学设计说明：
针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课选择“迁移引导法”探索式教学，引导学生探索、归纳到应用。
由学到“思”，由“思”到知识方法的提升，体验探索数学的方法，及应用的必要性，让学生感受学习数学是一件快乐的事，也是服务。