圆锥曲线、导数2018全国高考数学分类真题(含答案)

圆锥曲线、导数2018年全国高考数学分类真题（含答案）

一．选择题（共7小题）

1．双曲线﹣y2=1的焦点坐标是（）

A．（﹣，0），（，0）B．（﹣2，0），（2，0）C．（0，﹣），（0，）D．（0，﹣2），（0，2）

2．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线

交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）

A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1

3．设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C

的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）

A．B．2 C．D．

4．已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A 且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．

5．双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）

A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x

6．已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线

的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（）

A．B．3 C．2 D．4

7．设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）

A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x

二．填空题（共6小题）

8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．

9．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．

10．已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m=时，点B横坐标的绝对值最大．

11．已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k=

．

12．曲线y=（ax+1）e x在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a=．

13．曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为．

三．解答题（共13小题）

14．设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；

（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围．

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．

（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．

16．如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B

满足PA，PB的中点均在C上．

（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．

17．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A 的坐标为（b，0），且|FB|•|AB|=6．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若=sin∠AOQ（O为原点），求k的值．

18．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．

（1）证明：k＜﹣；

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．

19．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

20．设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．

21．记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．

（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；

（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；

（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．

22．已知函数f（x）=﹣lnx．

（Ⅰ）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2；

（Ⅱ）若a≤3﹣4ln2，证明：对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．23．已知函数f（x）=a x，g（x）=log a x，其中a＞1．

（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣xlna的单调区间；

（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线平行，证明x1+g（x2）=；

（Ⅲ）证明当a≥e时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线．24．已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．

（1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0；

（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．

25．已知函数f（x）=e x﹣ax2．

（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．

26．已知函数f（x）=﹣x+alnx．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．