函数的凹凸性与拐点

第16次理论课教学安排

2.4导数的应用----曲线的凹凸与拐点

课题： 曲线的凹凸与拐点

目的要求：理解曲线凹凸性的概念、掌握判断函数图形的凹凸性、求函数图形 的拐点等方

法。

重、难点：判断函数图形的凹凸性、求函数图形的拐点 教学方法：讲练结合 教学时数：1课时 教学进程：

函数的单调性可用函数的一阶到函数来判定，对于同样的递增函数有 着不同的增法，女口向上凸的增或凹的增，那么对于这两种不同的增法我们 如何刻画那？

曲线的凹凸与拐点

1 •曲线的凹凸定义和判定法

从图1可以看出曲线弧 ABC 在区间a,c 内是向下凹入的，此时曲线弧 ABC 位 于该弧上任一点切线的上方；曲线弧 CDE 在区间C,b 内是向上凸起的，此时曲线 弧CDE 位于该弧上任一点切线的下方.关于曲线的 弯曲方向，我们给出下面的定义：

定义1如果在某区间内的曲线弧位于其任一点 切线的上方，那么此曲线弧叫做在该区间内是 凹的；

如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方， 那么

此曲线弧叫做在该区间内是 凸的•

例如，图1中曲线弧ABC 在区间a,c 内是凹的, 曲线弧CDE 在区间C,b 内是凸的.

由图1还可以看出，对于凹的曲线弧，

切线的斜率随X 的增大而增大；对于凸 y +

图1

的曲线弧，切线的斜率随x的增大而减小.由于切线的斜率就是函数y二f x的导数，因此凹的曲线弧，导数是单调增加的，而凸的曲线弧，导数是单调减少的•由此可见，曲线y二f x的凹凸性可以用导数f的单调性来判定•而f x的单调性又可以用它的导数，即y = f x的二阶导数f ” x的符号来判定，故曲线

y = f x的凹凸性与f “x的符号有关•由此提出了函数曲线的凹凸性判定定理：定理1设函数y = f x在a,b内具有二阶导数.

(1)如果在a,b内，f ”x >0,那么曲线在a,b内是凹的；

(2)如果在a,b内，f ”x v0,那么曲线在a,b内是凸的.

例1判定曲线y=x3的凹凸性.

2.拐点的定义和求法

定义2连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点.

定理2(拐点存在的必要条件)若函数f x在x0处的二阶导数存在，且点x0,f x0为曲线y二f x的拐点，则f x0二0.

我们知道由f “X的符号可以判定曲线的凹凸. 如果「X连续，那么当f"x

的符号由正变负或由负变正时，必定有一点x0使f “X。= 0.这样，点x0, f x0

就是曲线的一个拐点.因此，如果y = f X在区间a,b内具有二阶导数，我们就

可以按下面的步骤来判定曲线y = f x的拐点：

⑴确定函数y二f x的定义域；

⑵求y ”二f ”x ；令f ” x = 0，解出这个方程在区间a,b内的实根；

(3)对解出的每一个实根x，考察f “x在X。的左右两侧邻近的符号.如果f x在X0的左右两侧邻近的符号相反，那么点X0, f X0就是一个拐点，如果

f X在X0的左右两侧邻近的符号相同，那么点X0, f X0就不是拐点.

例2 求曲线目仝 -3X2的凹凸区间和拐点.

解(1)函数的定义域为；

(2)y = 3x2「6x, y = 6x「6 6 x「1 ；令y = 0，得x = 1 ；

(3)

是凸的)：

由上表可知，曲线在[7,1内是凸的，在1, •二内是

凹的；曲线的拐点为1,_2 •

例3 已知点（1,3）为曲线y=ax3 bx2的拐点，求a,b

的值。

要注意的是，如果f x在点x o处的二阶导数不存在，那么

点

X o, f X o也可

能是曲线的拐点•例如，函数y =3.x在点0,0处的二阶导数不存在，但是点0,0是该函数的拐点（图2）•

小结本讲内容：1•函数图形凹凸性的判断、函数图形的拐点求法。

2 •描绘简单的常用函数的图形（包括水平渐近线和铅直渐

近线）。

作业：作业册第二章单兀练习四