高考数学经典专题：三元基本不等式习题(含详解答案)

高考经典专题：三元基本不等式习题
1．设0x >，则()2142f x x x =--
的最大值为（ ） A
．4B
．4C ．不存在 D ．52 2．函数()230y x x x
=+>的最小值是 ( ) A
．332
18 B ． C ． D ． 3．若2,3a b >>，则1(2)(3)
a b a b ++
--的最小值为________. 4．（1）已知,,x y z 均为正数，且1864xyz =
，求证：(82)(82)(82)27x y z +++≥； （2）已知实数,m n 满足m 1≥，12
n ≥
，求证：222224142m n mn m n m n ++≤++. 5．已知正数x 、y 、z ，且1xyz =. （1）证明：222x y z y z x z y
++≥； （2）证明：()()()22212x y y z z x +++++≥.
6．已知,,a b c 为正数，且1abc =，求证333()()()24a b a c b c +++++≥．
7．已知a ，b ，c 为一个三角形的三边长.证明：
（1）3b c a a b c
++≥； （2）22a b c >++.
8．（选修4-5：不等式选讲）
已知0,0,0x y z >>>，且1xyz =，求证：333x y z xy yz xz ++≥++
参考答案
1．D ()2211544422222x x f x x x x ⎛⎫=--
=-++≤-= ⎪⎝⎭ 当21222x x x
==即1x =时等号成立
2．A 函数2233322y x x x x x =+
=++≥=，当且仅当232x x =，即x
＝2时取等号，故函数()230y x x x =+>． 3．8令2,3a t b m -=-=2,3a b >>，20,30a b ∴->->，即0,0t m >>， 所以3115358(2)(3)a b t m t m a b tm ++=+++⨯⨯=--， 当且仅当1t m tm
==，即123(2)(3)a b a b -=-=--，即当3,4a b ==时等号成立. 4．（1）证明：因为0x >，由三个正数的基本不等式可得，
82811x x +=++≥18x
时取等号；
同理可得82y +≥82z +≥，当且仅当11,88y z ==时取等号；
故(82)(82)(82)x y z +++≥18
x y z ===时取等号， 因为1864
xyz =，所以(82)(82)(82)27x y z +++≥， 当且仅当18
x y z ===时取等号. （2）证明：要证222224142m n mn m n m n ++≤++，
即证2222442210m n mn n m n m -+-+-≥，即证24(1)(22)(1)10mn m mn n m m --+-+-≥， 即证()
2(1)42210m mn mn n ---+≥，即证(1)[2(21)(21)]0m mn n n ----≥， 即证(1)(21)(21)0m n mn ---≥，因为m 1≥，12
n ≥，所以10m -≥，210n -≥，210mn -≥， 所以(1)(21)(21)0m n mn ---≥，所以222224142m n mn m n m n ++≤++得证..
5．（1）因为x 、y 、z 为正数，且1xyz =，所以222x y y z z
+≥==，
当且仅当32y zx =时等号成立，即4y x =时，等号成立；
同理22y z z x +≥
，22x z y x y +≥
，所以22222x y z y z x ⎛⎫++≥+ ⎪⎝⎭⎝⎭，
即222x y z y z x ++≥，当且仅当1x y z ===时等号成立； （2）因为()()()
222x y y z z x +++++
≥
由二元均值不等式得
x y +≥
y z +≥，z x +≥，当且仅当x y z ==时，等号同时成立，所以()24x y xy +≥，()24y z yz +≥，()2
4z x xz +≥， ()()()()2222
6464x y y z z x xyz ∴+++≥=，
因此，
()()()22212x y y z z x +++≥=++，当且仅当1x y z ===时，等号同时成立.
6．证明：已知,,a b c
为正数，且1abc =，故有 333()()()a b a c b c +++++≥3()()()a b b c
c a =+++
3≥⨯⨯⨯24=.当1a b c ===时等号成立.
故333
()()()24a b a c b c +++++≥．
7.（1）证明:
由三项基本不等式可知3b c a a b c ++≥= （2）证明:由于a ,b
,c 为一个三角形的三边长,
则有：
2b c a
=++>
,
>
a
=>
,
b >
c >
,
相加得：a b c >++,左右两边同加
a b c ++
得：
()22a b c
>++
所以22a b c >++
8．证明：因为0,0,0x y z >>>，
所以333
3x y z xyz ++≥， 3313x y xy ++≥，3313y z yz ++≥，3313x z xz ++≥，
将以上各式相加，得333
33333333x y z xyz xy yz xz +++≥+++，
又因为1xyz =，从而333x y z xy yz xz ++≥++．。