AHP熵值法PPT课件
合集下载
熵值法__PPT
ij
x'
i 1
m
由此，可以建立数据的比重矩阵Y={yij}m*n
（三）计算指标信息熵值e和信息效用值d
①计算第j项指标的信息熵值的公式为：
ej K yij ln yij
i 1
m
(式中,K为常数, K 1 ) ln m ②某项指标的信息效用价值取决于该指标的信息熵 ej与1之间的差值，它的值直接影响权重的大小，信 息效用值越大，对评价的重要性就越大，权重也就 越大。
万元工业产值废气排放量X10 GDP年增长率X11 非农产值比重X12 地均GDPX13 投入产出比X14 人均GDPX15 农民人均纯收入X16 城镇居民人均可支配收X17 非农人口比重X18 人口自然增长率X19 人口密度X20 城镇居民人均住房X21 每千人拥有医生数X22
反映与土地利用密切相关的 生态、环境状况
缺点：
一是缺乏各指标之间的横向比较;
二是各指标的权数随样本的变化而变化，权数
依赖于样本，在应用上受限制。
U= yijwj*100
i 1
n
式中U为综合评价值，n为指标个数，wj为第j个 指标的权重。 显然,U越大，样本效果越好。最终比较所有的U 值，即得出评价结论。
三、江苏省扬州市土地可持续利用评价
1、 根据指标体系建立原则，结合扬州市土地资源利 用特点，建立了扬州市土地可持续利用状态综合评价 的指标体系。
经济指标U3
反映不同利用方式下土地 源的生产能力及生产效率
社会指标U4
反映土地利用方式对人们 生活的影响及人民对它的反 应
2、根据熵值法的计算原理，分别求出各指标的权重值
3、 根据上述构建的熵值法评价模型，利用其原理和4步骤 对指标数据进行处理，选取扬州市1996～2004年土地资源 利用的相关数据，对这一时期扬州市的土地资源可持续利 用状态进行计算，评价结果见表6，其中包括综合评价得 分值和各分类指标得分值。
x'
i 1
m
由此，可以建立数据的比重矩阵Y={yij}m*n
（三）计算指标信息熵值e和信息效用值d
①计算第j项指标的信息熵值的公式为：
ej K yij ln yij
i 1
m
(式中,K为常数, K 1 ) ln m ②某项指标的信息效用价值取决于该指标的信息熵 ej与1之间的差值，它的值直接影响权重的大小，信 息效用值越大，对评价的重要性就越大，权重也就 越大。
万元工业产值废气排放量X10 GDP年增长率X11 非农产值比重X12 地均GDPX13 投入产出比X14 人均GDPX15 农民人均纯收入X16 城镇居民人均可支配收X17 非农人口比重X18 人口自然增长率X19 人口密度X20 城镇居民人均住房X21 每千人拥有医生数X22
反映与土地利用密切相关的 生态、环境状况
缺点：
一是缺乏各指标之间的横向比较;
二是各指标的权数随样本的变化而变化，权数
依赖于样本，在应用上受限制。
U= yijwj*100
i 1
n
式中U为综合评价值，n为指标个数，wj为第j个 指标的权重。 显然,U越大，样本效果越好。最终比较所有的U 值，即得出评价结论。
三、江苏省扬州市土地可持续利用评价
1、 根据指标体系建立原则，结合扬州市土地资源利 用特点，建立了扬州市土地可持续利用状态综合评价 的指标体系。
经济指标U3
反映不同利用方式下土地 源的生产能力及生产效率
社会指标U4
反映土地利用方式对人们 生活的影响及人民对它的反 应
2、根据熵值法的计算原理，分别求出各指标的权重值
3、 根据上述构建的熵值法评价模型，利用其原理和4步骤 对指标数据进行处理，选取扬州市1996～2004年土地资源 利用的相关数据，对这一时期扬州市的土地资源可持续利 用状态进行计算，评价结果见表6，其中包括综合评价得 分值和各分类指标得分值。
熵值法--PPT
农民人均纯收入X16 城镇居民人均可支配收X17 非农人口比重X18 人口自然增长率X19 人口密度X20 城镇居民人均住房X21 每千人拥有医生数X22
特征
反映土地资源的利用状况 及发展潜力
反映与土地利用密切相关的 生态、环境状况
反映不同利用方式下土地 源的生产能力及生产效率
反映土地利用方式对人们 生活的影响及人民对它的反 应
因而，扬州市在以后的发展中，要实现土地的可持续利 用可以从以下几方面着手：
A、切实采取措施加强耕地保护，实现耕地总量动态平 衡。
应用在系统论中，熵越大说明系统越混乱，携带的 信息越少，熵越小说明系统越有序，携带的信息越多。
熵大 越无序 信息少 效用值小 权重小 熵小 越有序 信息多 效用值大 权重大
②熵值法主要原理
二、熵值法的计算方法及步骤
（一）原始数据的收集与整理
假定需要评价某城市m年的发展状况，评价指标体
系包括n个指标。这是个由m个样本组成，用n个指标 做
利用熵值法估算各指标的权重，其本质是利用该 指标信息的价值系数来计算，其价值系数越高，对评 价的重要性就越大(或称权重越大，对评价结果的贡献 大)。
第j项指标的权重为：w来自 djmdj
i 1
（四）计算样本的评价值
采用加权求和公式计算样本的评价值
n
U= yijwj*100 i 1
式中U为综合评价值，n为指标个数，wj为第j个 指标的权重。
①计算第j项指标的信息熵值的公式为：
m
ej K yij ln yij i 1
(式中,K为常数, K ) 1 ②某项指标的信息效用ln m价值取决于该指标的信息熵ej 与1之间的差值，它的值直接影响权重的大小，信息 效用值越大，对评价的重要性就越大，权重也就越 大。
特征
反映土地资源的利用状况 及发展潜力
反映与土地利用密切相关的 生态、环境状况
反映不同利用方式下土地 源的生产能力及生产效率
反映土地利用方式对人们 生活的影响及人民对它的反 应
因而，扬州市在以后的发展中，要实现土地的可持续利 用可以从以下几方面着手：
A、切实采取措施加强耕地保护，实现耕地总量动态平 衡。
应用在系统论中，熵越大说明系统越混乱，携带的 信息越少，熵越小说明系统越有序，携带的信息越多。
熵大 越无序 信息少 效用值小 权重小 熵小 越有序 信息多 效用值大 权重大
②熵值法主要原理
二、熵值法的计算方法及步骤
（一）原始数据的收集与整理
假定需要评价某城市m年的发展状况，评价指标体
系包括n个指标。这是个由m个样本组成，用n个指标 做
利用熵值法估算各指标的权重，其本质是利用该 指标信息的价值系数来计算，其价值系数越高，对评 价的重要性就越大(或称权重越大，对评价结果的贡献 大)。
第j项指标的权重为：w来自 djmdj
i 1
（四）计算样本的评价值
采用加权求和公式计算样本的评价值
n
U= yijwj*100 i 1
式中U为综合评价值，n为指标个数，wj为第j个 指标的权重。
①计算第j项指标的信息熵值的公式为：
m
ej K yij ln yij i 1
(式中,K为常数, K ) 1 ②某项指标的信息效用ln m价值取决于该指标的信息熵ej 与1之间的差值，它的值直接影响权重的大小，信息 效用值越大，对评价的重要性就越大，权重也就越 大。
熵值法原理及应用实践ppt课件
原则：剔除占样本总数不到1-2%但指标值贡献率超过
20-30%以上的极值样本
样本id
游戏流量 （K）
贡献率
…
…
…
981 6358 0.8%
982 6401 0.8%
983 6631 0.8%
984 6635 0.8%
985 7193 0.9%
986 7432 0.9%
987 7993 1.0%
988 8385 1.0%
熵
H 手游历史付费
i 1
ln n
类似，按此公式还可以继续计算出 H 手游访问次数 和 H 手游访问天数
权
w 手游历史付费
(1
(1
H 手游历史付费 ) (1
H ) 手游历史付费 H 手游访问次数 ) (1
H ) 手游访问天数
同理可以计算出 W 手游访问次数 W 和 手游访问天数
15
2/16/2024
1000 6107 0.9%
熵值法的一般步骤之三：归一化指标处理
案例解说
方法：指标归一化过程也称之为指标的无量纲化，即将指
标实际值转化为不受量纲影响的指标平价值。方法比较多
，具体见附录《无纲量化方法一览》；
原则：比较常用的是临界值法和Z-score法(更合理，保持了
数据的连续性，减少数据信息丢失)，最终将所有指标转化为正
培训目标
1. 理解熵值法的原理 2. 学会使用熵值赋权 3. 领悟熵值应用实践
熵值法原理及应用实践
1 熵值法是做什么用的？ 2 熵值法如何计算权重？ 3 怎样合理应用熵值法？
日常工作中常常需要计算指标权重
多元回归赋权法 线性回归 逻辑回归 ……
3
2/16/2024
层次分析法AHP、ANP与熵值法带例子和软件操作说明
0.550 0.564 , max 4.117, CI 0.039, RI 0.90, CR 0.043 W 0.118 0.263
对于判断矩阵B3，其计算结果为：
0.406 0.406 , max 4, CI 0, RI 0.90, CR 0 W 0.094 0.094
①计算判断矩阵每一行元素的乘积Mi
M i aij
j 1 n
②计算Mi的n次方根 Wi
Wi
③对向量 W W ,W ,
1 2
n
T
Mi
,Wn
正规化（归一化处理）
Wi
Wi
W
j 1
n
j
则 即为所求的特征向量。 ④计算判断矩阵的最大特征根
max
1-9标度方法
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 重要性等级 i，j两元素同等重要 i元素比j元素稍重要 i元素比j元素明显重要 i元素比j元素强烈重要 i元素比j元素极端重要 i元素比j元素稍不重要 i元素比j元素明显不重要 i元素比j元素强烈不重要 i元素比j元素极端不重要 Cij赋值 1 3 5 7 9 1/3 1/5 1/7 1/9
B3 1/3 3 1
1 1/ 5 1/ 3 A 5 1 3 3 1/ 3 1
同样，可得：
1 2 3 4 1/ 3 1 3 2 B1 1/ 5 1/ 3 1 1/ 2 1/ 4 1/ 2 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 2 1/ 3
7 5 1 3 3 1 1 1 1 3 3 3 B 3 1/ 3 1/ 3 1 1 1
i 1
n
i
n
对于判断矩阵B3，其计算结果为：
0.406 0.406 , max 4, CI 0, RI 0.90, CR 0 W 0.094 0.094
①计算判断矩阵每一行元素的乘积Mi
M i aij
j 1 n
②计算Mi的n次方根 Wi
Wi
③对向量 W W ,W ,
1 2
n
T
Mi
,Wn
正规化（归一化处理）
Wi
Wi
W
j 1
n
j
则 即为所求的特征向量。 ④计算判断矩阵的最大特征根
max
1-9标度方法
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 重要性等级 i，j两元素同等重要 i元素比j元素稍重要 i元素比j元素明显重要 i元素比j元素强烈重要 i元素比j元素极端重要 i元素比j元素稍不重要 i元素比j元素明显不重要 i元素比j元素强烈不重要 i元素比j元素极端不重要 Cij赋值 1 3 5 7 9 1/3 1/5 1/7 1/9
B3 1/3 3 1
1 1/ 5 1/ 3 A 5 1 3 3 1/ 3 1
同样，可得：
1 2 3 4 1/ 3 1 3 2 B1 1/ 5 1/ 3 1 1/ 2 1/ 4 1/ 2 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 2 1/ 3
7 5 1 3 3 1 1 1 1 3 3 3 B 3 1/ 3 1/ 3 1 1 1
i 1
n
i
n
第二讲 AHP、ANP、熵值法
（4）层次单排序
理论上讲，层次单排序计算问题可归结为 计算判断矩阵的最大特征根及其特征向量的问 题。但一般来说，计算判断矩阵的最大特征根 及其对应的特征向量，并不需要追求较高的精 确度，因为判断矩阵本身有相当的误差范围。 而且，应用层次分析法给出的层次中各种因素 优先排序权值从本质上来说是表达某种定性的 概念。因此，一般用迭代法在计算机上求得近 似的最大特征值及其对应的特征向量。在此给 出计算矩阵最大特征根及其对应特征向量的方 根法的计算步骤：
准确计量的场合。 准确计量的场合。
应用层次分析法时，首先要把问题层次化。根据问题的性质和 首先要把问题层次化。 要达到的目标，将问题分解为不同组成因素，并按照因素间的相互 关联影响及其隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层 最终把系统分析归结为最底层， 次的分析结构模型。并最终把系统分析归结为最底层，相对于最高 层目标的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排序问题。 层目标的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排序问题。在排 序计算中，每一层次的因素相对上一层次某一因素的单排序问题又 可简化为一系列成对因素的判断比较。为了将比较判断定量化，层 次分析法引入了1-9标度法，并写成判断矩阵形式。形成判断矩阵后， 即可通过计算判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，计算出 某一层对于上一层次某一个元素的相对重要性权值。在计算出某一
假设某一企业经过发展，有一笔利润资金， 假设某一企业经过发展，有一笔利润资金，要企业高层 领导决定如何使用。 领导决定如何使用。企业领导经过实际调查和员工 建议，现有如下方案可供选择： 建议，现有如下方案可供选择： （1）作为奖金发给员工； ）作为奖金发给员工； （2）扩建员工宿舍、食堂等福利设施； ）扩建员工宿舍、食堂等福利设施； （3）办员工进修班； ）办员工进修班； （4）修建图书馆、俱乐部等； ）修建图书馆、俱乐部等； （5）引进新技术设备进行企业技术改造。 ）引进新技术设备进行企业技术改造。 从调动员工工作积极性、 从调动员工工作积极性、提高员工文化技术水平和改善 员工的物质文化生活状况来看， 员工的物质文化生活状况来看，这些方案都有其合 理因素。如何使得这笔资金更合理的使用， 理因素。如何使得这笔资金更合理的使用，就是企 业领导所面临需要分析的问题。 业领导所面临需要分析的问题。
层次分析法AHP、ANP与熵值法(带例子和软件操作说明)
C 12
C 2 C 21
C 22
C n C 1n C 2n
C n C n1
C n2
C nn
性质：（1）Cij>0;（2）Cij=1/Cji;（3）Cii=1
此时，矩阵为正反矩阵。若对于任意i、j、k，均有
Cij*Cjk=Cik，则C为一致矩阵。
层次分析法AHP、ANP与熵值法(带例子 和软件操作说明)
1 2 1/2
1/2 1 1/3
1
3
1
1
B3
1
1 / 3
1 / 3
1 1 1/3 1/3
3 3 1 1
3
3
1
1
层次分析法AHP、ANP与熵值法(带例子 和软件操作说明)
（3）判断矩阵的一致性检验
判断矩阵的一致性，是指专家在判断指标重要性时， 各判断之间协调一致，不致出现相互矛盾的结果。 出现不一致在多阶判断的条件下，极容易发生，只 不过是不同的条件下不一致的程度上有法AHP、ANP与熵值法(带例子 和软件操作说明)
上述结论告诉我们，当判断矩阵不能保证具有完全 一致性时，相应判断矩阵的特征根也将发生变化， 这样就可以用判断矩阵特征根的变化来检验判断的 一致性程度。因此，在层次分析法中引入判断矩阵 最大特征根以外的其余特征根的负平均值，作为度 量判断矩阵偏离一致性的指标，即用：
则决策方法。这一方法的特点是在对复杂决策问题的本质、
影响因素以及内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次
结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数
学化，从而为求解多目标、多准则或无结构特性的复杂决策
问题，提供一种简便的决策方法。具体的说，它是指将决策
问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，用一种标
层次分析法(AHP法) ppt课件
w1 w2 1
wn w2
w1 wn w2 wn 1 27
即
a ik a kj a ij
i, j 1,2,, n
A
但在例2的成对比较矩阵中， a23 7, a21 2, a13 4
a23 a21 a13
在正互反矩阵A中，若 a ik a kj a ij ,(A 的元素具有 传递性)则称A为一致阵。 定理：n 阶正互反阵A的最大特征根max n, 当且仅当
心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个，即 每层不要超过9个因素。
ppt课件 22
成对比较阵和权向量 比较尺度aij
a ij 尺度
1 相同
Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值 1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9
2 3 稍强 4 5 强 6 7 8 9 绝对强
• 便于定性到定量的转化：
3
层次单排序及其一致性检验
用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确 定权值。 例如 一块石头重量记为1，打碎分成n小块，各块的重 量分别记为：w1,w2,…wn
则可得成对比较矩阵 1 w2 由右面矩阵可以看出， A w1 wi wi wk wj wk w j wn ppt课件 w1
C1 1 2 A 1/ 4 1/ 3 1/ 3
1 1/ 7 1/ 5 1/ 5
7 1 2 3
C5 3 5 5 1/ 2 1/ 3 1 1 1 1
C4 3
A~成对比较阵 稍加分析就发 现上述成对比 较矩阵有问题
26 ppt课件 旅游问题的成对比较矩阵共有 6个（一个5阶，5个3阶）。
层次分析法AHP、ANP与熵值法(带例子和软件操作说明)
Cij赋值 1 3 5 7 9
1/3 1/5 1/7 1/9
对于上述例子，假定企业 领导对于资金使用这 个问题的态度是：首 先是提高企业技术水 平，其次是改善员工 物质生活，最后是调 动员工的工作积极性。 则准则层对于目标层 的判断矩阵A-B为：
A
B1
B2
B3
B1 1 1/5 1/3
B2
5
1
3
B3 3 1/3 1
（6）决策
企业领导根据上述分析结果，决定各种考虑 方案的实施先后次序，或者决定分配企业留 成利润的比例。
算例
有5个指标：X1对X2明显重要；X1对X3强烈重要； X1对X4同等重要；X1对X5稍不重要。采用AHP方法 计算指标权重。
①列出判断矩阵
1 5 7 1
1/5
1
层次B B1
层次C
0.105
C1
0.491
C2
0.232
C3
0.092
C4
0.138
C5
0.046
B2 0.637
0 0.055 0.564 0.118 0.263
B3 0.258 0.406 0.406 0.094 0.094
0
总排序W 3 b j c ij j1 0.157 0.164 0.393 0.113 0.172
根据矩阵理论可知，如果λ满足：
则λ为A的特征值，并且对于所有aiA i=x1 ，有x
n
i n
i1
显然，当矩阵具有完全一致性时，1maxn
其余特征根均为0；而当矩阵A不具有完全一致性
时，则有1maxn，其余特征根λ2，λ3，λn有如下
关系：
n
i nmax
层次分析法AHP、ANP与熵值法(带例子和软件操作说明)
数量化，并用数学为分析、决策、预报或控制提供定量的依据。它尤其适
合于人的定性判断起主要作用的、对决策结果难于直接准确计量的场合。
应用层次分析法时，首先要把问题层次化。根据问题的性质和要达到的目标，
将问题分解为不同组成因素，并按照因素间的相互关联影响及其隶属关系将因素按不
同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型。并最终把系统分析归结为最底层，
对于上一层次各个因素的单排序权值后，用上一层次因素本身的权值加权综合，即
可计算出层次总排序权值。总之，依次由上向下即可计算出最低层因素相对于最高层
的相对重要性权值或相对优劣次序的排序值。
AHP的模型与步骤
假设某一企业经过发展，有一笔利润资金，要企业高层领导决定如 何使用。企业领导经过实际调查和员工建议，现有如下方案可供 选择：
AW i
nWi
其中，（AW）i表示向量AW的第i个元素。
对于判断矩阵A，其计算结果为：
0.105
W
0.637
,
max
3.308, CI
0.019, RI
0.58, CR
0.033
0.258
对于判断矩阵B1，其计算结果为：
0.491
0.232
W 0.092 , max 5.126, CI 0.032, RI 1.12, CR 0.028
（2）构造判断矩阵
判断矩阵的一般形式
Bk C1C2
C1 C11
C12
C2 C21
C22
Cn C1n C2 n
性质：（C1）n CijC >0;n（12）CijC =1/Cnji2;（3）Cii=1
Cnn
此时则，C矩为阵一为致正矩反阵矩。阵。若对于任意i、j、k，均有Cij*Cjk=Cik，
层次分析法AHP、ANP与熵值法
层次分析法AHP、ANP与熵值法目录一、内容简述 (2)1.1 研究背景 (2)1.2 研究意义 (3)1.3 文献综述 (5)二、层次分析法(AHP) (7)2.1 AHP的基本原理 (8)2.2 层次单排序及一致性检验 (9)2.3 层次总排序及一致性检验 (10)三、层次分析法中的网络分析法(ANP) (11)3.1 ANP的基本原理 (12)3.2 网络层析模型的构建 (13)3.3 权重系数的确定方法 (15)3.4 ANP的决策过程 (16)四、熵值法 (17)4.1 熵值法的基本原理 (18)4.2 指标权重的计算方法 (19)4.3 评价结果的确定方法 (20)五、AHP与ANP的比较分析 (21)5.1 两者之间的联系与区别 (23)5.2 适用场景的对比分析 (24)六、熵值法与其他方法的比较分析 (25)6.1 与主成分分析法的比较 (26)6.2 与灰色关联分析法的比较 (28)七、结论与展望 (29)7.1 研究结论 (29)7.2 研究不足与展望 (30)一、内容简述本文档主要介绍了层次分析法(AHP)、层次分析法(ANP)和熵值法三种常用的多属性决策方法。
层次分析法(AHP)是一种定性与定量相结合的决策方法，通过构建判断矩阵和成对比较来确定各方案的权重，从而进行决策。
层次分析法(ANP)是在AHP的基础上，引入了网络结构，使得决策过程更加灵活，适用于复杂多属性问题。
熵值法则是一种基于信息论的决策方法，通过计算各方案的信息熵来确定权重，适用于处理不确定性信息。
1.1 研究背景在决策科学和系统分析中，多层次、多维度的复杂问题要求高效且精准的解决策略。
在这样的背景下，层次分析法（AHP）与关联层次过程法（ANP）作为决策分析的重要工具，被广泛应用于各种领域。
层次分析法（AHP）是一种定性与定量相结合的系统分析方法，它通过分解复杂的决策问题，将目标、约束条件或评估准则逐层细化为各个相关元素或变量，从而进行问题的系统性评估。
数学建模(层次分析法(AHP法))PPT课件
28
定义一致性比率 ： CR CI
RI
一般，当一致性比率 CR CI 0.1 时，认为A
RI
的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通 过一致性检验。否则要重新构造成对比较矩阵A，对 aij 加以调整。
一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1 及随机一致性指标的数值表，对A进行检验的过程。
例如 一块石头重量记为1，打碎分成n小块，各块的重
量分别记为：w1,w2,…wn
则可得成对比较矩阵
1
w1 w2
w1
w
n
由右面矩阵可以看出，
w2
A
w1
1
w2
w
n
wi wi wk
wj
wk w j
w
n
wn
1
w 2021
1
w2
25
即 aikakjaij i,j1,2, ,n
A
但在例2的成对比较矩阵中， a23 7,a21 2,a13 4 a23 a21a13
2021
27
由于λ(A的特征根) 连续的依赖于aij ，则λ比n 大的越 多，A 的不一致性越严重。引起的判断误差越大。
因而可以用 λ-n 数值的大小来衡量 A 的不一致程度。
定义一致性指标: CI n
n 1
CI=0，有完全的一致性 CI接近于0，有满意的一致性
CI 越大，不一致越严重
2021
计算单一准则下元素的相对权重
这一步是要解决在准则 Ck 下，n 个元素A1, …, An 排 序权重的计算问题。
对于 n 个元素 A1, …, An，通过两两比较得到判 断矩阵 A，解特征根问题
Aw = maxw
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
则λ为A的特征值，并且对于所有aiAi=x1，有x
n
i n
i1
显然，当矩阵具有完全一致性时，1maxn
其余特征根均为0；而当矩阵A不具有完全一致性
时，则有1maxn，其余特征根λ2，λ3，λn有如下
关系：
n
i n max
i2
上述结论告诉我们，当Байду номын сангаас断矩阵不能保证具有完全 一致性时，相应判断矩阵的特征根也将发生变化， 这样就可以用判断矩阵特征根的变化来检验判断的 一致性程度。因此，在层次分析法中引入判断矩阵 最大特征根以外的其余特征根的负平均值，作为度 量判断矩阵偏离一致性的指标，即用：
（2）构造判断矩阵
判断矩阵的一般形式
B k C 1 C 2
C 1 C 11
C 12
C 2 C 21
C 22
C n C 1n C 2n
C n C n1
C n2
C nn
性质：（1）Cij>0;（2）Cij=1/Cji;（3）Cii=1
此时，矩阵为正反矩阵。若对于任意i、j、k，均有
Cij*Cjk=Cik，则C为一致矩阵。
1 1/ 5 1/ 3
A
5
1
3
3 1 / 3 1
同样，可得：
1 2 3 1/ 3 1 3
1 1/ 7 1/3 1/5
4 2
7
5
B2
7 3
5
1 1/5 1/ 2
5 1 3
3
1/ 3
1
B1
1 1
/ /
5 4
1/ 7
1/3 1/2 1/5
1 2 1/2
1/2 1 1/3
1
3
1
1
B3
第二讲 AHP、ANP、熵值法
其中，AHP、ANP既是一种评价方法，但更 常用来计算指标权重。
而熵值法则是一种根据指标反映信息可靠程 度来确定权重的方法。
一、AHP
层次分析法（AHP）是美国著名的运筹学家Satty等人
在20世纪70年代提出的将一种定性和定量分析相结合的多准
则决策方法。这一方法的特点是在对复杂决策问题的本质、
123456789
0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
当阶数大于2时，判断矩阵的一致性指标CI与同阶平均 随机一致性指标RI之比称为随机一致性比率CR，当 CR=CI/RI<0.10时，可以认为判断矩阵具有满意的一 致性，否则需要调整判断矩阵。
影响因素以及内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次
结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数
学化，从而为求解多目标、多准则或无结构特性的复杂决策
问题，提供一种简便的决策方法。具体的说，它是指将决策
问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，用一种标
度对人的主观判断进行客观量化，在此基础上进行定性和定
（1）作为奖金发给员工； （2）扩建员工宿舍、食堂等福利设施； （3）办员工进修班； （4）修建图书馆、俱乐部等； （5）引进新技术设备进行企业技术改造。 从调动员工工作积极性、提高员工文化技术水平和改善
员工的物质文化生活状况来看，这些方案都有其合 理因素。如何使得这笔资金更合理的使用，就是企 业领导所面临需要分析的问题。
CI max n
n 1
检查决策者思维的一致性。CI值越大，表明判断矩 阵偏离完全一致性的程度越大；CI值越小（接近于 0），表明判断矩阵的一致性越好。
当判断矩阵具有完全一致性时，CI=0； 当判断矩阵具有满意一致性时，需引入判断矩阵的平均
随机一致性指标RI值。对于1-9阶判断矩阵，RI值如下：
量分析的一种决策方法。他把人的思维过程层次化、数量化，
并用数学为分析、决策、预报或控制提供定量的依据。它尤
其适合于人的定性判断起主要作用的、对决策结果难于直接
准确计量的场合。
应用层次分析法时，首先要把问题层次化。根据问题的性质和
要达到的目标，将问题分解为不同组成因素，并按照因素间的相互
关联影响及其隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层
1
1 / 3
1 / 3
1 1 1/3 1/3
3 3 1 1
3
3
1
1
（3）判断矩阵的一致性检验
判断矩阵的一致性，是指专家在判断指标重要性时， 各判断之间协调一致，不致出现相互矛盾的结果。 出现不一致在多阶判断的条件下，极容易发生，只 不过是不同的条件下不一致的程度上有所差别而已。
根据矩阵理论可知，如果λ满足：
Cij赋值 1 3 5 7 9
1/3 1/5 1/7 1/9
对于上述例子，假定企业 领导对于资金使用这 个问题的态度是：首 先是提高企业技术水 平，其次是改善员工 物质生活，最后是调 动员工的工作积极性。 则准则层对于目标层 的判断矩阵A-B为：
A
B1
B2
B3
B1 1 1/5 1/3
B2
5
1
3
B3 3 1/3 1
某一层对于上一层次某一个元素的相对重要性权值。在计算出某一
层次相对于上一层次各个因素的单排序权值后，用上一层次因素本
身的权值加权综合，即可计算出层次总排序权值。总之，依次由上
向下即可计算出最低层因素相对于最高层的相对重要性权值或相对
优劣次序的排序值。
AHP的模型与步骤
假设某一企业经过发展，有一笔利润资金，要企业高层 领导决定如何使用。企业领导经过实际调查和员工 建议，现有如下方案可供选择：
1-9标度方法
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
重要性等级 i，j两元素同等重要 i元素比j元素稍重要 i元素比j元素明显重要 i元素比j元素强烈重要 i元素比j元素极端重要 i元素比j元素稍不重要 i元素比j元素明显不重要 i元素比j元素强烈不重要 i元素比j元素极端不重要
注：2，4，6，8和1/2，1/4，1/6，1/8介于其间。
（1）构造层次分析结构
目标层 准则层
资金合理使用 A
调动职工积 极性 B1
提高企业技 术水平 B2
改善职工生 活 B3
方案层 C1 发奖 金
C2 扩建 福利设施
C3 办职 工进修班
C4 建图 书馆等
C5 引进 新设备
每一层次中的元素一般不超过9个，因同一层次中包含数 目过多的元素会给两两比较判断带来困难。
次的分析结构模型。并最终把系统分析归结为最底层，相对于最高
层目标的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排序问题。在排
序计算中，每一层次的因素相对上一层次某一因素的单排序问题又
可简化为一系列成对因素的判断比较。为了将比较判断定量化，层
次分析法引入了1-9标度法，并写成判断矩阵形式。形成判断矩阵后，
即可通过计算判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，计算出
n
i n
i1
显然，当矩阵具有完全一致性时，1maxn
其余特征根均为0；而当矩阵A不具有完全一致性
时，则有1maxn，其余特征根λ2，λ3，λn有如下
关系：
n
i n max
i2
上述结论告诉我们，当Байду номын сангаас断矩阵不能保证具有完全 一致性时，相应判断矩阵的特征根也将发生变化， 这样就可以用判断矩阵特征根的变化来检验判断的 一致性程度。因此，在层次分析法中引入判断矩阵 最大特征根以外的其余特征根的负平均值，作为度 量判断矩阵偏离一致性的指标，即用：
（2）构造判断矩阵
判断矩阵的一般形式
B k C 1 C 2
C 1 C 11
C 12
C 2 C 21
C 22
C n C 1n C 2n
C n C n1
C n2
C nn
性质：（1）Cij>0;（2）Cij=1/Cji;（3）Cii=1
此时，矩阵为正反矩阵。若对于任意i、j、k，均有
Cij*Cjk=Cik，则C为一致矩阵。
1 1/ 5 1/ 3
A
5
1
3
3 1 / 3 1
同样，可得：
1 2 3 1/ 3 1 3
1 1/ 7 1/3 1/5
4 2
7
5
B2
7 3
5
1 1/5 1/ 2
5 1 3
3
1/ 3
1
B1
1 1
/ /
5 4
1/ 7
1/3 1/2 1/5
1 2 1/2
1/2 1 1/3
1
3
1
1
B3
第二讲 AHP、ANP、熵值法
其中，AHP、ANP既是一种评价方法，但更 常用来计算指标权重。
而熵值法则是一种根据指标反映信息可靠程 度来确定权重的方法。
一、AHP
层次分析法（AHP）是美国著名的运筹学家Satty等人
在20世纪70年代提出的将一种定性和定量分析相结合的多准
则决策方法。这一方法的特点是在对复杂决策问题的本质、
123456789
0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
当阶数大于2时，判断矩阵的一致性指标CI与同阶平均 随机一致性指标RI之比称为随机一致性比率CR，当 CR=CI/RI<0.10时，可以认为判断矩阵具有满意的一 致性，否则需要调整判断矩阵。
影响因素以及内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次
结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数
学化，从而为求解多目标、多准则或无结构特性的复杂决策
问题，提供一种简便的决策方法。具体的说，它是指将决策
问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，用一种标
度对人的主观判断进行客观量化，在此基础上进行定性和定
（1）作为奖金发给员工； （2）扩建员工宿舍、食堂等福利设施； （3）办员工进修班； （4）修建图书馆、俱乐部等； （5）引进新技术设备进行企业技术改造。 从调动员工工作积极性、提高员工文化技术水平和改善
员工的物质文化生活状况来看，这些方案都有其合 理因素。如何使得这笔资金更合理的使用，就是企 业领导所面临需要分析的问题。
CI max n
n 1
检查决策者思维的一致性。CI值越大，表明判断矩 阵偏离完全一致性的程度越大；CI值越小（接近于 0），表明判断矩阵的一致性越好。
当判断矩阵具有完全一致性时，CI=0； 当判断矩阵具有满意一致性时，需引入判断矩阵的平均
随机一致性指标RI值。对于1-9阶判断矩阵，RI值如下：
量分析的一种决策方法。他把人的思维过程层次化、数量化，
并用数学为分析、决策、预报或控制提供定量的依据。它尤
其适合于人的定性判断起主要作用的、对决策结果难于直接
准确计量的场合。
应用层次分析法时，首先要把问题层次化。根据问题的性质和
要达到的目标，将问题分解为不同组成因素，并按照因素间的相互
关联影响及其隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层
1
1 / 3
1 / 3
1 1 1/3 1/3
3 3 1 1
3
3
1
1
（3）判断矩阵的一致性检验
判断矩阵的一致性，是指专家在判断指标重要性时， 各判断之间协调一致，不致出现相互矛盾的结果。 出现不一致在多阶判断的条件下，极容易发生，只 不过是不同的条件下不一致的程度上有所差别而已。
根据矩阵理论可知，如果λ满足：
Cij赋值 1 3 5 7 9
1/3 1/5 1/7 1/9
对于上述例子，假定企业 领导对于资金使用这 个问题的态度是：首 先是提高企业技术水 平，其次是改善员工 物质生活，最后是调 动员工的工作积极性。 则准则层对于目标层 的判断矩阵A-B为：
A
B1
B2
B3
B1 1 1/5 1/3
B2
5
1
3
B3 3 1/3 1
某一层对于上一层次某一个元素的相对重要性权值。在计算出某一
层次相对于上一层次各个因素的单排序权值后，用上一层次因素本
身的权值加权综合，即可计算出层次总排序权值。总之，依次由上
向下即可计算出最低层因素相对于最高层的相对重要性权值或相对
优劣次序的排序值。
AHP的模型与步骤
假设某一企业经过发展，有一笔利润资金，要企业高层 领导决定如何使用。企业领导经过实际调查和员工 建议，现有如下方案可供选择：
1-9标度方法
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
重要性等级 i，j两元素同等重要 i元素比j元素稍重要 i元素比j元素明显重要 i元素比j元素强烈重要 i元素比j元素极端重要 i元素比j元素稍不重要 i元素比j元素明显不重要 i元素比j元素强烈不重要 i元素比j元素极端不重要
注：2，4，6，8和1/2，1/4，1/6，1/8介于其间。
（1）构造层次分析结构
目标层 准则层
资金合理使用 A
调动职工积 极性 B1
提高企业技 术水平 B2
改善职工生 活 B3
方案层 C1 发奖 金
C2 扩建 福利设施
C3 办职 工进修班
C4 建图 书馆等
C5 引进 新设备
每一层次中的元素一般不超过9个，因同一层次中包含数 目过多的元素会给两两比较判断带来困难。
次的分析结构模型。并最终把系统分析归结为最底层，相对于最高
层目标的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排序问题。在排
序计算中，每一层次的因素相对上一层次某一因素的单排序问题又
可简化为一系列成对因素的判断比较。为了将比较判断定量化，层
次分析法引入了1-9标度法，并写成判断矩阵形式。形成判断矩阵后，
即可通过计算判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，计算出