大学物理第4章功和能

m①
A
M2
M11
Fz
dz
Z2（ mg）dz
Z11
m（g z1 z2）
G O
x
M2
y
重力所做的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了
位置的高度差。
结论
(1)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路
径无关。
A＝
F
dr
12tdx
12t
dx dt
dt
12tvdt
a F 12t 6t dv
m2
dt
dv
adt
vBaidu Nhomakorabea
dv
t 6tdt v 3t 2
o
0
A
3
12t
3t
2dt
0
3 36t 3dt
0
9t
4
/
3 0
729J
例2 一质量为m的小球竖直落入水中,刚接触水面时速率为v0 , 设此球在水中所受的浮力等于重力,水的阻力为Fr=-bv, b为一 常量. 求：阻力对球作的功与时间的函数关系.
A aL F1 dr aL F2 dr aL Fn dr
思考： 写这个 等号的 条件？
2)质点系
b
aL (F1 F2 Fn ) dr
A
b
aL F合力 dr
A1 A2 An
Ai
i
i
Li Fi dsi ?
(
L i
Fi ) ds
质点:各力 作功之和等 于合力做的 功
第4章 功和能
§4.1 力的功 §4.2 动能定理 §4.3 一对内力做功之和 §4.4 保守(内)力与势能 §4.5 机械能守恒定律 §4.6 碰撞
§4.1 力的功
一、力的功 二、 功率 三、几种常见力的功
F 空间积累：功 时间积累：冲量
一、力的功
研究力在空间的积累效应—— 功、动能、势能、动能定理、
（4）图示表示: （面积）积分
F cos
图中曲线下的面积等于 变力所做功的代数和。
（5）直角分量表达B 式
B
r1 dr
r2
A
F dr
A
A (Fxdx Fydy Fzdz)
（6）若有几个力同时作用在质点上,它们所做的功等于每个
分力所做功的代数和.
若 F
Fi
，则 A
F1 dr
y y2
y1
F
A Fxdx Fydy 2 320t3dt 1200 J
x1 x2 t1 t2
x
1
例2 已知 m = 2kg , 在 F = 12t 作用下由静止做直线运动。
求 t = 02s内F 做的功及t = 2s 时的功率。
解 a F 6t dv
m
dt
dv 6tdt
v 3t2 dx
m
vm
b
v v0e mt
A bv02
2b t
e m dt
O
x 设 x = 0 时，t = 0
则
A bv02
t 0
e
2b m
t
dt
bv
2 0
(
m 2b
2b t
)(e m
1)
1 2
mv
2 0
(e
2b m
t
1)
三、几种常见力的功
1.重力的功
z M1
②
重力mg 在曲线路径 M1M2 上的功为
a
m1
m2
f
摩擦力 摩擦力
F 做正功 不做功
f
m
讨论 (3) 功是过程量，反映了能量的变化。一般来 说，功的值与质点运动的路径有关。
(4) 由于位移的大小与参照系的选择有关，因而功的大小 也与所选的参照系有关，也就是说功的量值具有相对性。
(5) 合力的功等于各分力的功的代数和：
1)质点
b
b
b
解：(变力作功问题) 取水面上某点为坐标原点,竖直向下为x
的正方向.则水的阻力作功：
O
A
F
dr
bvdx
bv
dxdt dt
bv
2dt
又已知仅在阻力作用下，有，
x
dv adt dv b vdt dv b dt
m
vm
b
v v0e mt
dv adt dv b vdt dv b dt
在直角坐标系中
aL
A
b
a
L（ Fxdx
Fy dy
Fz dz）
在自然坐标系中
dr ds
b
A F cos ds aL
z
aM
r
O r
dFr
θ
dr b
y
x
讨论 (1) A是标量，反映了能量的变化。正负：取决于
力与位移的夹角。如 F dr , / 2,则 A 0 。
(2) 功的正负与力的性质无关。 摩擦力做功一定是负的吗？
该质点的速度为
v 4t 2iˆ 16 ˆj
开始时质点位于坐标原点。
求 在质点从y =16m到y =32m的过程中，外力做的功。
解
vx
dx dt
4t2
vy
dy dt
16
Fx
m dv x dt
80t
dx 4t2dt
y 16t
Fy
m dv y dt
0
y 16时 t 1
y 32时 t 2
机械能守恒定律。 F
1. 恒力作用
A FS cos A F S
Mθ
a
s
b
2. 变力的功
求质点M 在变力作用下，沿曲线 轨迹由a 运动到b，变力做的功
F 在 dr 一段上的功：
dA F dr cos dA F dr
作用物体的位移
z
aM
r
O r
dFr
θ
dr b
y
x
F 在ab一段上的功 A b F dr
F2 dr
F3
dr
i
即 A A A A
1
2
i
二、功率
应用：汽车上坡
力在单位时间内所做的功，称为功率。
A dA P lim
t0 t dt
平均功率
P A t
当t 0时的瞬时功率
功率单位 W 或 J s –1
P F dr dt
F
v
Fv
cosθ
例质1 量为10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线运动，
中学时似乎 熟视无睹
对问号的解释：一般的讨论， 如图，两个质点走的路径不同。
m1
L1
则，各质点的元位移
ds1 ds2 ds3
dsn
L2
m2
故不能用一个共同的元位移 ds 来代替。
所以在计算功的过程中特别要分清研究对象 对质点有：
(b)
A Ai (a) F合 ds i
即，各力做功之和 等于合力做的功。
但对质点系：写不出像质点那样的简单式子， 即，各力做功之和不一定等于合力的功。
强调总结：
（1）功是过程量,与路径有关.
dA
F
dr
Fdr
cos
F
cosds
F ds
（2）功是标量,但有正负.
B
dr
A
F
A > 0, 力对物体作正功. A < 0, 力对物体作负功.
（3）功的单位：J（焦耳） 1J = 1N·m
dx 3t 2dt
dt
A
x
Fdx
t F 3t2dt
2 36t3dt 144J
0
0
0
P F v 12t 3t2 288W
例1 质量为2 kg 的质点在力 F 12t i (SI的) 作用下,从静止出
发,沿 x 轴正向作直线运动.
求: 前三秒内该力所作的功.
解：（一维运动可以用标量）