量子力学新进展III-连续变量
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连续变量系统的量子信息处理与非定域性1
逯怀新 郁司夏 杨洁 陈增兵 中国科学技术大学近代物理系 张永德
内容 一． 引言 二． 连续变量量子纠缠 2.1 原始的 Einstein-Podolsky-Rosen 佯谬 2.2 连续变量纠缠态的产生 2.3 两体连续变量量子态的可分离判据 2.4 两体连续变量量子态的纠缠度量 2.5 Bures 保真度的计算 三． 连续变量系统的量子非定域性 3.1 相空间形式 3.2 宇旋算符形式 3.3 量子非定域性的动力学演化 四． 连续变量的量子计算和量子通讯 4.1 连续变量的Deutsch-Josza算法 4.2 连续变量的纠错 4.3 连续变量的teleportation 4.4 连续变量的纠缠swapping 五． 结论 致谢 参考文献
ˆa 和 p ˆ b （因 量应该不影响另一个粒子的状态（Einstein 定域性） 。比如，我们可以同时测量 q
为这两个算符对易） ，并分别得到 q 和 p 。于是我们可以确切地知道粒子 a 的坐标和动量似 乎同时具有确定值 q 和 − p ；但是根据 Heisenberg 不确定性关系，这是不可能的。这就是 著名的 EPR 佯谬。 EPR 佯谬显示了量子力学和定域实在观念之间的深刻矛盾，因此从该佯谬提出至今， 一直倍受关注。EPR 的文章把两个极为奇妙的现象——量子纠缠和非局域性——引进到量子 力学中来，并导致了旷日持久的争论和大量研究工作的涌现[2.2,2.3]。从 EPR 开始，量子纠 缠、非局域性及它们之间的关系就一直是量子论中的基本问题；最近量子信息论的兴起，这 些 问 题 更 成 为 了 物 理 学 的 热 点 之 一 。 特 别 是 Bell 不 等 式 [2.4,2.5] 或 其 推 广 ——Clauser-Horne-Shimony-Holt (CHSH) 不等式[2.6]——的提出，使得原来只能停留在哲学 层面上的 Einstein-Bohr 之争变成了一个可以从实验上加以定量检验的问题，从而激发了一 大批构思巧妙的实验工作。但在 Bell 不等式的实验检验中，人们大多使用那些具有离散量 子变量的量子系统（如自旋单态） 。直到最近，Bell 不等式向连续变量系统的推广才得以实 现[2.7-2.12]。 2.2 连续变量纠缠态的产生 由于纠缠在量子信息处理中是一种基本的资源， 因此纠缠态的产生是一个关键问题。 关 于连续变量纠缠态的产生[2.13-2.19]，我们这里介绍两种办法。 光学 EPR 态——在量子光学中， 一种产生连续变量纠缠的方法是非简并光学参数放大 过程(NOPA)[2.13-2.15], 它是强压缩极限下的光学类比 EPR 态. NOPA 过程是双模的非线 性相互作用. 设相互作用强度用参数 χ 来表述，则相互作用的 Hamilton 量为
当总的输入的光子数 N = n1 + n2 , 输出态为 N
+ 1 维纠缠态.下面给出两种特殊的输入态.
(a) n1 , n2 = 0, N , 则出态
N N k N −k ikφ ˆ 0, N = ∑ B k r t e k, N − k . k =0 1/ 2
(2.14)
ˆ+b ˆ +1 ˆ +a ˆ +b a ˆ b tanh r e −a , ˆ
e
得
ˆ) ˆ b −a ˆb r (a
+ ˆ+
ˆ = ea
+ ˆ+
b
1 tanh r cosh r
(2.5)
NOPA =
上式插入完备条件
1 ∞ (tanh r )n n, n . ∑ cosh r n =0
EPR = ∫
dp p,来自百度文库 p = ∫ dq q, q . 2π
(2.1)
上面的波函数描述了一个两粒子 a,b 系统的纠缠态, 满足
ˆa − q ˆb ) EPR (q
= 0,
ˆa + p ˆ b ) EPR (p
= 0.
(2.2)
由于这一性质，我们可以通过测量一个粒子的坐标（或者动量）而肯定地知道另一个粒子的 坐标（或者动量） 。同时，如果这两个粒子是类空分离的，则根据相对论，对一个粒子的测
其中，振幅反射和透射系数分别为
(2.11)
θ t = cos , 2
这里 φ 是反射和透射光之间的相位差。 考虑如下输入态的情况[2.18,2.19]. (1) 入态是 Fock 态 n1 , n2 , 则出态为
r = sin
θ . 2
(2.12)
ˆ n1 , n 2 = B
N1 N 2
∑ N ,N
(2.6)
NOPA =
其中， q n = 2 n! π
n
1 ∞ (tanh r )n ∫ dq ∫ dq' q, q' q, q' n, n . ∑ cosh r n =0
(2.7)
(
)
−1 / 2
H n ( q) exp( − q 2 / 2), H n 为 Hermite 多项式。利用求和公式
q 2 + q' 2 −2λqq' , exp λ q n n q' = ∑ − 2(1 − λ2 ) n =0 π (1 − λ2 )
∞ n
1
(2.8)
则
NOPA =
1 π
q 2 + q' 2 −2 qq' tanh r ' exp dq dq 2 ∫ ∫ q, q ' . − 2 ( 1 tanh ) r −
(2.9)
强压缩极限下 ( r → ∞ ) ，中间的 exp 函数变成 δ ( q − q' ) . (2.9)式变成(2.1)式
EPR ~ lim NOPA ~ 0,0 + 1,1 + 2,2 + L .
r →∞
(2.10)
用分束器产生连续变量纠缠[2.18,2.19]——分束器是一种线性光学器件，它对输入态的 作用由分束器算符给出[2.19]：
a
a
b b
图 1. 分束器的示意图
ˆe iφ − a ˆ + e −iφ ) . ˆ = exp θ ( a ˆ +b ˆb B 2
1
2
ˆ n1 , n 2 N1 , N 2 B
n2
= e −iφ ( n1 − N1 ) ∑∑ ( −1) n1 −k r n1 +n2 −k −l t k +l
k =0 l = 0
n1
(2.13)
×
n1! n2 ! N 1! N 2 ! δ N ,n + k −l δ N 2 ,n1 −k + l N 1 , N 2 . k! (n1 − k )! l! ( n2 − l )! 1 2
对于 50/50 分束器，且 N
= 1 , 出态为
1 2
( 0,1
+ 1,0 ) .
(b) n1 , n2 = n, n , 对于 50/50 分束器, 输出态
1 ˆ n, n = e − i ( n − 2 m ) φ B ∑ 2 m =0
n
n n
∑ (−1)
k =0
n− k
n n (2m)!(2n − 2m)! 2m,2n − 2m . k n! 2m − k
ˆ+ − a ˆ . ˆ +b ˆb H = iχ a
设初态系统包含两个真空模式，经过 NOPA 后所得的态为
ˆ b NOPA = e r ( a
+ ˆ+
(
)
(2.3)
ˆ) ˆb −a
0,0 ,
(2.4)
其中 r = χ t 。 面的等式
NOPA 中的连续变量纠缠是连续变量量子信息处理的基本资源。利用下
1
国家自然科学基金项目（No. 19975043, No. 10104014） 、国家基础研究项目（No. 2001CB309303）和中国
科学院支持项目。
信息论的交叉， 量子信息论也为量子论提供了一个全新的视点与生长点， 对它的深入研究必 将拓展和深化量子论本身。 与以前应用量子力学完全不同的是， 在量子信息论中人们利用的 是量子态本身，其基本任务是量子态的存储、操纵、传输与读出。我们可以谨慎地预言，量 子信息论的发展很可能会导致一个新的量子技术时代。 最初的一些量子信息处理方案都是针对离散变量（如自旋和极化）的量子体系（即量 子比特）提出的。近几年，连续变量（如位置和动量）的量子信息处理方案引起了广泛的关 注。连续量子变量体系的 teleportation[1.4]、纠缠交换[1.5]、量子克隆[1.6]、量子计算[1.7]、 量子纠错[1.8]、纠缠纯化[1.9]等被相继提出；我们还提出了新的用“杂化” （连续变量与离 散变量）纠缠实现量子信息处理的方案[1.10]。经过数十年的发展，量子光学[1.11,1.12]已经 是一门非常成熟而又充满活力的科学。 它为检验量子力学的一些基本问题提供了必不可少的 精密手段。 连续变量的量子信息处理的一个突出特点是： 它可以在量子光学实验中利用线性 光学元件（如相移及分束器）操纵压缩态来实现[1.8]；线性光学元件易于实现较高效率和精 度的量子操作。因此，量子光学为各种连续变量量子信息处理方案提供了可行的手段。但在 Bell 不等式的实验检验中[1.13]，人们大多使用那些具有离散量子变量的量子系统。运用非 简并光学参数放大过程，人们可以产生双模压缩真空态，从而实现连续量子变量（如位置和 动量）的 Einstein-Podolsky-Rosen 佯谬。在此基础上，连续量子变量系统的量子纠缠和非局 域性及它们之间的关系就成了极大的理论兴趣之所在。 本文将就连续变量系统的若干问题展开讨论。 二． 连续变量量子纠缠 本部分将讨论连续变量量子纠缠的几个问题。 因为 （连续变量） 纠缠态是首先由 Einstein、 Podolsky 和 Rosen（EPR）在考虑量子力学的完备性的时候引进的，因此我们的讨论从著名 的 EPR 论证（或 EPR 佯谬）开始。随后，我们将依次介绍连续变量纠缠态的产生、两体连 续变量量子态的可分离判据和纠缠度量、Bures 保真度的计算。 2.1 原始的 Einstein-Podolsky-Rosen 佯谬 由 Einstein, Podolsky, Rosen 提出的 EPR 态[2.1], 是最早的连续变量纠缠态。 这里先简 要介绍一下该佯谬。 EPR 认为，一个物理理论完备的必要条件，是每一个物理实在元素必 须在该理论中有一个对应。 而物理实在元素中的实在是指: “ If, without in any way disturbing a system, we can predict with certainty (i.e., with probability equal to unity) the value of a physical quantity, then there exists an element of physical reality corresponding to this physical quantity.” 量子力学中，对于两个非对易的算符所表示的物理量, 精确得知其中之一的值，则不可 能精确得知另一个的值。这说明：要么波函数所表述的实在性是不完备的，要么这两个物理 量不能同时具备实在性。在证明其观点时，EPR 用了如下的波函数[2.1]
(2.15)
ˆS ˆ (2) 入态是压缩态[1.11,1.12], Ψin = S 1 2 0,0 , S i 为压缩算符 S i = e −(ξi aˆi
一． 引言 量子力学自 1900 年建立至今，理所当然地成了现代物理的两大支柱之一。它在人类认 识物质世界的思维过程中引进了崭新的革命性的框架， 成为人类拓展认识疆界的利器。 量子 力学已经在认识各个物质层次（微观粒子、凝聚态物质、星体乃至整个宇宙）的物理规律方 面扮演了核心作用。与此同时，量子力学也是人类改造世界、创造物质文明的利器：没有量 子力学，现代物质文明的物质成就是无法想象的。原子能的应用、超导超流的认识和利用、 半导体技术的大规模发展等等，无一不是量子力学的产物。 最近，由于量子信息论[1.1-1.3]的飞快发展，使人们认识到，量子力学还隐藏着很多新 的奥秘和惊奇。量子信息论充分地利用了量子力学中的基本原理（如量子态叠加原理）和基 本概念（如量子纠缠）来实现信息的处理。虽然目前量子信息论仍处于实验和理论物理学家 的原创性研究阶段，但它为量子论的实际应用带来了全新的更为广阔的前景。同时，通过与
逯怀新 郁司夏 杨洁 陈增兵 中国科学技术大学近代物理系 张永德
内容 一． 引言 二． 连续变量量子纠缠 2.1 原始的 Einstein-Podolsky-Rosen 佯谬 2.2 连续变量纠缠态的产生 2.3 两体连续变量量子态的可分离判据 2.4 两体连续变量量子态的纠缠度量 2.5 Bures 保真度的计算 三． 连续变量系统的量子非定域性 3.1 相空间形式 3.2 宇旋算符形式 3.3 量子非定域性的动力学演化 四． 连续变量的量子计算和量子通讯 4.1 连续变量的Deutsch-Josza算法 4.2 连续变量的纠错 4.3 连续变量的teleportation 4.4 连续变量的纠缠swapping 五． 结论 致谢 参考文献
ˆa 和 p ˆ b （因 量应该不影响另一个粒子的状态（Einstein 定域性） 。比如，我们可以同时测量 q
为这两个算符对易） ，并分别得到 q 和 p 。于是我们可以确切地知道粒子 a 的坐标和动量似 乎同时具有确定值 q 和 − p ；但是根据 Heisenberg 不确定性关系，这是不可能的。这就是 著名的 EPR 佯谬。 EPR 佯谬显示了量子力学和定域实在观念之间的深刻矛盾，因此从该佯谬提出至今， 一直倍受关注。EPR 的文章把两个极为奇妙的现象——量子纠缠和非局域性——引进到量子 力学中来，并导致了旷日持久的争论和大量研究工作的涌现[2.2,2.3]。从 EPR 开始，量子纠 缠、非局域性及它们之间的关系就一直是量子论中的基本问题；最近量子信息论的兴起，这 些 问 题 更 成 为 了 物 理 学 的 热 点 之 一 。 特 别 是 Bell 不 等 式 [2.4,2.5] 或 其 推 广 ——Clauser-Horne-Shimony-Holt (CHSH) 不等式[2.6]——的提出，使得原来只能停留在哲学 层面上的 Einstein-Bohr 之争变成了一个可以从实验上加以定量检验的问题，从而激发了一 大批构思巧妙的实验工作。但在 Bell 不等式的实验检验中，人们大多使用那些具有离散量 子变量的量子系统（如自旋单态） 。直到最近，Bell 不等式向连续变量系统的推广才得以实 现[2.7-2.12]。 2.2 连续变量纠缠态的产生 由于纠缠在量子信息处理中是一种基本的资源， 因此纠缠态的产生是一个关键问题。 关 于连续变量纠缠态的产生[2.13-2.19]，我们这里介绍两种办法。 光学 EPR 态——在量子光学中， 一种产生连续变量纠缠的方法是非简并光学参数放大 过程(NOPA)[2.13-2.15], 它是强压缩极限下的光学类比 EPR 态. NOPA 过程是双模的非线 性相互作用. 设相互作用强度用参数 χ 来表述，则相互作用的 Hamilton 量为
当总的输入的光子数 N = n1 + n2 , 输出态为 N
+ 1 维纠缠态.下面给出两种特殊的输入态.
(a) n1 , n2 = 0, N , 则出态
N N k N −k ikφ ˆ 0, N = ∑ B k r t e k, N − k . k =0 1/ 2
(2.14)
ˆ+b ˆ +1 ˆ +a ˆ +b a ˆ b tanh r e −a , ˆ
e
得
ˆ) ˆ b −a ˆb r (a
+ ˆ+
ˆ = ea
+ ˆ+
b
1 tanh r cosh r
(2.5)
NOPA =
上式插入完备条件
1 ∞ (tanh r )n n, n . ∑ cosh r n =0
EPR = ∫
dp p,来自百度文库 p = ∫ dq q, q . 2π
(2.1)
上面的波函数描述了一个两粒子 a,b 系统的纠缠态, 满足
ˆa − q ˆb ) EPR (q
= 0,
ˆa + p ˆ b ) EPR (p
= 0.
(2.2)
由于这一性质，我们可以通过测量一个粒子的坐标（或者动量）而肯定地知道另一个粒子的 坐标（或者动量） 。同时，如果这两个粒子是类空分离的，则根据相对论，对一个粒子的测
其中，振幅反射和透射系数分别为
(2.11)
θ t = cos , 2
这里 φ 是反射和透射光之间的相位差。 考虑如下输入态的情况[2.18,2.19]. (1) 入态是 Fock 态 n1 , n2 , 则出态为
r = sin
θ . 2
(2.12)
ˆ n1 , n 2 = B
N1 N 2
∑ N ,N
(2.6)
NOPA =
其中， q n = 2 n! π
n
1 ∞ (tanh r )n ∫ dq ∫ dq' q, q' q, q' n, n . ∑ cosh r n =0
(2.7)
(
)
−1 / 2
H n ( q) exp( − q 2 / 2), H n 为 Hermite 多项式。利用求和公式
q 2 + q' 2 −2λqq' , exp λ q n n q' = ∑ − 2(1 − λ2 ) n =0 π (1 − λ2 )
∞ n
1
(2.8)
则
NOPA =
1 π
q 2 + q' 2 −2 qq' tanh r ' exp dq dq 2 ∫ ∫ q, q ' . − 2 ( 1 tanh ) r −
(2.9)
强压缩极限下 ( r → ∞ ) ，中间的 exp 函数变成 δ ( q − q' ) . (2.9)式变成(2.1)式
EPR ~ lim NOPA ~ 0,0 + 1,1 + 2,2 + L .
r →∞
(2.10)
用分束器产生连续变量纠缠[2.18,2.19]——分束器是一种线性光学器件，它对输入态的 作用由分束器算符给出[2.19]：
a
a
b b
图 1. 分束器的示意图
ˆe iφ − a ˆ + e −iφ ) . ˆ = exp θ ( a ˆ +b ˆb B 2
1
2
ˆ n1 , n 2 N1 , N 2 B
n2
= e −iφ ( n1 − N1 ) ∑∑ ( −1) n1 −k r n1 +n2 −k −l t k +l
k =0 l = 0
n1
(2.13)
×
n1! n2 ! N 1! N 2 ! δ N ,n + k −l δ N 2 ,n1 −k + l N 1 , N 2 . k! (n1 − k )! l! ( n2 − l )! 1 2
对于 50/50 分束器，且 N
= 1 , 出态为
1 2
( 0,1
+ 1,0 ) .
(b) n1 , n2 = n, n , 对于 50/50 分束器, 输出态
1 ˆ n, n = e − i ( n − 2 m ) φ B ∑ 2 m =0
n
n n
∑ (−1)
k =0
n− k
n n (2m)!(2n − 2m)! 2m,2n − 2m . k n! 2m − k
ˆ+ − a ˆ . ˆ +b ˆb H = iχ a
设初态系统包含两个真空模式，经过 NOPA 后所得的态为
ˆ b NOPA = e r ( a
+ ˆ+
(
)
(2.3)
ˆ) ˆb −a
0,0 ,
(2.4)
其中 r = χ t 。 面的等式
NOPA 中的连续变量纠缠是连续变量量子信息处理的基本资源。利用下
1
国家自然科学基金项目（No. 19975043, No. 10104014） 、国家基础研究项目（No. 2001CB309303）和中国
科学院支持项目。
信息论的交叉， 量子信息论也为量子论提供了一个全新的视点与生长点， 对它的深入研究必 将拓展和深化量子论本身。 与以前应用量子力学完全不同的是， 在量子信息论中人们利用的 是量子态本身，其基本任务是量子态的存储、操纵、传输与读出。我们可以谨慎地预言，量 子信息论的发展很可能会导致一个新的量子技术时代。 最初的一些量子信息处理方案都是针对离散变量（如自旋和极化）的量子体系（即量 子比特）提出的。近几年，连续变量（如位置和动量）的量子信息处理方案引起了广泛的关 注。连续量子变量体系的 teleportation[1.4]、纠缠交换[1.5]、量子克隆[1.6]、量子计算[1.7]、 量子纠错[1.8]、纠缠纯化[1.9]等被相继提出；我们还提出了新的用“杂化” （连续变量与离 散变量）纠缠实现量子信息处理的方案[1.10]。经过数十年的发展，量子光学[1.11,1.12]已经 是一门非常成熟而又充满活力的科学。 它为检验量子力学的一些基本问题提供了必不可少的 精密手段。 连续变量的量子信息处理的一个突出特点是： 它可以在量子光学实验中利用线性 光学元件（如相移及分束器）操纵压缩态来实现[1.8]；线性光学元件易于实现较高效率和精 度的量子操作。因此，量子光学为各种连续变量量子信息处理方案提供了可行的手段。但在 Bell 不等式的实验检验中[1.13]，人们大多使用那些具有离散量子变量的量子系统。运用非 简并光学参数放大过程，人们可以产生双模压缩真空态，从而实现连续量子变量（如位置和 动量）的 Einstein-Podolsky-Rosen 佯谬。在此基础上，连续量子变量系统的量子纠缠和非局 域性及它们之间的关系就成了极大的理论兴趣之所在。 本文将就连续变量系统的若干问题展开讨论。 二． 连续变量量子纠缠 本部分将讨论连续变量量子纠缠的几个问题。 因为 （连续变量） 纠缠态是首先由 Einstein、 Podolsky 和 Rosen（EPR）在考虑量子力学的完备性的时候引进的，因此我们的讨论从著名 的 EPR 论证（或 EPR 佯谬）开始。随后，我们将依次介绍连续变量纠缠态的产生、两体连 续变量量子态的可分离判据和纠缠度量、Bures 保真度的计算。 2.1 原始的 Einstein-Podolsky-Rosen 佯谬 由 Einstein, Podolsky, Rosen 提出的 EPR 态[2.1], 是最早的连续变量纠缠态。 这里先简 要介绍一下该佯谬。 EPR 认为，一个物理理论完备的必要条件，是每一个物理实在元素必 须在该理论中有一个对应。 而物理实在元素中的实在是指: “ If, without in any way disturbing a system, we can predict with certainty (i.e., with probability equal to unity) the value of a physical quantity, then there exists an element of physical reality corresponding to this physical quantity.” 量子力学中，对于两个非对易的算符所表示的物理量, 精确得知其中之一的值，则不可 能精确得知另一个的值。这说明：要么波函数所表述的实在性是不完备的，要么这两个物理 量不能同时具备实在性。在证明其观点时，EPR 用了如下的波函数[2.1]
(2.15)
ˆS ˆ (2) 入态是压缩态[1.11,1.12], Ψin = S 1 2 0,0 , S i 为压缩算符 S i = e −(ξi aˆi
一． 引言 量子力学自 1900 年建立至今，理所当然地成了现代物理的两大支柱之一。它在人类认 识物质世界的思维过程中引进了崭新的革命性的框架， 成为人类拓展认识疆界的利器。 量子 力学已经在认识各个物质层次（微观粒子、凝聚态物质、星体乃至整个宇宙）的物理规律方 面扮演了核心作用。与此同时，量子力学也是人类改造世界、创造物质文明的利器：没有量 子力学，现代物质文明的物质成就是无法想象的。原子能的应用、超导超流的认识和利用、 半导体技术的大规模发展等等，无一不是量子力学的产物。 最近，由于量子信息论[1.1-1.3]的飞快发展，使人们认识到，量子力学还隐藏着很多新 的奥秘和惊奇。量子信息论充分地利用了量子力学中的基本原理（如量子态叠加原理）和基 本概念（如量子纠缠）来实现信息的处理。虽然目前量子信息论仍处于实验和理论物理学家 的原创性研究阶段，但它为量子论的实际应用带来了全新的更为广阔的前景。同时，通过与