数学建模第七章图与网络方法建模7.3设备更新与中心选址.ppt
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由于 d(a) 4 最小，所以首先对 a 着色，并对边
(s, a) 着色。由于 t 未着色，继续上述步骤。
4、令 y a ，比较还未着色的顶点。
d(b) min d(b), d(a) a(a,b) 7 d(d) min d(d), d(a) a(a, d) 6 d(t) min d(t), d(a) a(a,t)
为中间顶点的最短路径长度。
2、令 d(s) 0 ，并对所有 x s ，有 d(x) ，对顶点 s 着
色并令 y s 。
3、对于每一个未着色顶点 x ，重新定义 d(x) 如下：
d(x) min d(x), d( y) a( y, x)
如果对于所有未着色的顶点 x ， d(x) ，则
§3 设备更新与中心选址
一、指定顶点对之间的最短路径算法 对图 G 每一条边 ei 都规定一个正实数 a(ei ) 与之
对应，所得到的图称为赋权图，称 a(ei ) 为边 ei 的权。 边 (vi , v j ) 上的权记成 a(vi , v j ) 。
对赋权图 G ， s ， t V ， G 中的 (s,t) 一路称为
以下介绍 Floyd （福劳德）提出的算法，其具体
思路如下：对一个有 n 个顶点的图 G ，将顶点用 n 个
整数（从
1
到
n
）进行编号。令
d
m ij
表示从顶点
i
到ຫໍສະໝຸດ Baidu
j
的
一条 只允许前 m 个顶点作为中间顶点时的最短距
离。如果这样的路不存在，则 dimj 。
由此定义可知，d
0 ij
表示从顶点
i
到
d
1 23
min
d
0 21
d103, d203
min4,7 4
d(t) min d(t), d(b) a(b,t) 8
最后对顶点 t 着色和对边 (d,t) 着色，形成从 s 到 t
的最短路，最短路径为 8，由边 (s,c),(c, d),(d,t) 组成最 短路径。
二、所有顶点间最短路径算法
一个图中所有顶点间的最短路径算法是一个更
具有普遍意义的问题。
j
的边长度（如
果没有这条边存在，则
d
0 ij
），
显然 di0j
0
。而
d
n ij
就
是我们所要求解的从 i 到 j 的最短路径距离。
算法步骤如下：
1、将图中各顶点编号为1,2,,n, 确定矩阵 D0 ，如果顶
点
i
和
j
之间有边相连，
d
0 ij
等于该边长度，否则
d
0 ij
，
而 di0j 0 。
a
3
4
b
2
7
s
8
2
3
t
3
c
3
d
2
1、对 s 着色，令 d(s) 0 ，且对其余顶点均有 d(x) ，(x s) .
2、令 y s ，对所有 x 求解：
d(a) min d(a), d(s) a(s, a) 4 d(b) min d(b), d(s) a(s,b) 7
算法停止，因为此时从 s 到任一未着色的顶点都没 有路，也就不存在从 s 到 t 的路径。否则找出一个
具有最小的 d(x) 值的顶点，对其着色并令 y x 。
4、重复步骤 3 直到顶点 t 已经着色时为止，算法终 止。从 s 到 t 的最短路径已求出。
例：用 Dijkdtra 算法求下图中从顶点 s 到 t 的最短路径。
3、令 y c ，比较与所有未着色的顶点。
d(a) min d(a), d(c) a(c, a) 4 d(b) min d(b), d(c) a(c,b) 7 d(d) min d(d), d(c) a(c, d) 6
d(t) min d(t), d(c) a(c,t)
对于每一个未着色的顶点 y ，考虑所有已着色的 顶点 x ，从 s1 通过已着色的顶点到 y 的不同路径中选 出它们中的最短路径，从而也就确定了新染色的点和
相应的最短路径，不断重复上述过程直至求得从 s 到
t 的最短路径为止。
算法步骤如下：
1、最初，所有的边和顶点均未着色，对每一顶点 x 指
定一个数 d(x) ，表示从 s 到 x 且仅使用已着色顶点作
2、对 m 1,2,, n ，依次利用递归公式
dimj min dimm1 dmmj1, dimj 1
由已知的 Dm1各元素确定 Dm 的各元素值。每确定 一个元素，可记下它所表示的路径，在算法终止时， 不仅通过 Dn 矩阵的各元素知道了各点间的最短距离， 而且也知道了形成这条路径的各边的组成。
d(c) min d(c), d(s) a(s, c) 3
d(d) min d(d), d(s) a(s, d) 8
d(t) min d(t), d(s) a(s,t)
由于 d(c) 3 最小，再对 c 着色，并对边 (s,c) 着色。
由于 t 未着色，继续上述步骤。
最短路，如果它的各边的权和是 G 中任一条 (s,t) 一路 中各边权和最小的。
找寻 (s,t) 最短路最有效的算法是 Dijkstra 算法：
其主要思路是假定我们已经知道了在图中与起点 s
有最短路径的 m 个顶点以及从 s 到这些顶点间的最
短路径，然后求出第 m 1个顶点使之与前 m 个顶点 有相同的属性。其实现方法是比较法。
例：对下图用 Floyd 算法求出各点间的最短路径长度。
1
2
7
2
1
2
6
3
5
3
4
4
1
2
0 1 2 3
D0
2 5
0 6
7 0
2
1 4 0
D1 的各元素和相应的最短路径计算如下：D1 的第一行和第
一列元素与 D0 相同，对角线上的元素均为 0，则需计算其
余 6 个元素如下：
由于 d(d) 6最小，所以首先对 d 着色，并对边 (c, d ) 着
色。由于 t 未着色，继续上述步骤。
5、令 y d ,继续比较有
d(t) min d(t), d(d) a(d,t) 8
d(b) min d(b), d(d) a(d,b) 7
对顶点 b 着色，并对边 (s,b) 着色。 6、令 y b ,计算
(s, a) 着色。由于 t 未着色，继续上述步骤。
4、令 y a ，比较还未着色的顶点。
d(b) min d(b), d(a) a(a,b) 7 d(d) min d(d), d(a) a(a, d) 6 d(t) min d(t), d(a) a(a,t)
为中间顶点的最短路径长度。
2、令 d(s) 0 ，并对所有 x s ，有 d(x) ，对顶点 s 着
色并令 y s 。
3、对于每一个未着色顶点 x ，重新定义 d(x) 如下：
d(x) min d(x), d( y) a( y, x)
如果对于所有未着色的顶点 x ， d(x) ，则
§3 设备更新与中心选址
一、指定顶点对之间的最短路径算法 对图 G 每一条边 ei 都规定一个正实数 a(ei ) 与之
对应，所得到的图称为赋权图，称 a(ei ) 为边 ei 的权。 边 (vi , v j ) 上的权记成 a(vi , v j ) 。
对赋权图 G ， s ， t V ， G 中的 (s,t) 一路称为
以下介绍 Floyd （福劳德）提出的算法，其具体
思路如下：对一个有 n 个顶点的图 G ，将顶点用 n 个
整数（从
1
到
n
）进行编号。令
d
m ij
表示从顶点
i
到ຫໍສະໝຸດ Baidu
j
的
一条 只允许前 m 个顶点作为中间顶点时的最短距
离。如果这样的路不存在，则 dimj 。
由此定义可知，d
0 ij
表示从顶点
i
到
d
1 23
min
d
0 21
d103, d203
min4,7 4
d(t) min d(t), d(b) a(b,t) 8
最后对顶点 t 着色和对边 (d,t) 着色，形成从 s 到 t
的最短路，最短路径为 8，由边 (s,c),(c, d),(d,t) 组成最 短路径。
二、所有顶点间最短路径算法
一个图中所有顶点间的最短路径算法是一个更
具有普遍意义的问题。
j
的边长度（如
果没有这条边存在，则
d
0 ij
），
显然 di0j
0
。而
d
n ij
就
是我们所要求解的从 i 到 j 的最短路径距离。
算法步骤如下：
1、将图中各顶点编号为1,2,,n, 确定矩阵 D0 ，如果顶
点
i
和
j
之间有边相连，
d
0 ij
等于该边长度，否则
d
0 ij
，
而 di0j 0 。
a
3
4
b
2
7
s
8
2
3
t
3
c
3
d
2
1、对 s 着色，令 d(s) 0 ，且对其余顶点均有 d(x) ，(x s) .
2、令 y s ，对所有 x 求解：
d(a) min d(a), d(s) a(s, a) 4 d(b) min d(b), d(s) a(s,b) 7
算法停止，因为此时从 s 到任一未着色的顶点都没 有路，也就不存在从 s 到 t 的路径。否则找出一个
具有最小的 d(x) 值的顶点，对其着色并令 y x 。
4、重复步骤 3 直到顶点 t 已经着色时为止，算法终 止。从 s 到 t 的最短路径已求出。
例：用 Dijkdtra 算法求下图中从顶点 s 到 t 的最短路径。
3、令 y c ，比较与所有未着色的顶点。
d(a) min d(a), d(c) a(c, a) 4 d(b) min d(b), d(c) a(c,b) 7 d(d) min d(d), d(c) a(c, d) 6
d(t) min d(t), d(c) a(c,t)
对于每一个未着色的顶点 y ，考虑所有已着色的 顶点 x ，从 s1 通过已着色的顶点到 y 的不同路径中选 出它们中的最短路径，从而也就确定了新染色的点和
相应的最短路径，不断重复上述过程直至求得从 s 到
t 的最短路径为止。
算法步骤如下：
1、最初，所有的边和顶点均未着色，对每一顶点 x 指
定一个数 d(x) ，表示从 s 到 x 且仅使用已着色顶点作
2、对 m 1,2,, n ，依次利用递归公式
dimj min dimm1 dmmj1, dimj 1
由已知的 Dm1各元素确定 Dm 的各元素值。每确定 一个元素，可记下它所表示的路径，在算法终止时， 不仅通过 Dn 矩阵的各元素知道了各点间的最短距离， 而且也知道了形成这条路径的各边的组成。
d(c) min d(c), d(s) a(s, c) 3
d(d) min d(d), d(s) a(s, d) 8
d(t) min d(t), d(s) a(s,t)
由于 d(c) 3 最小，再对 c 着色，并对边 (s,c) 着色。
由于 t 未着色，继续上述步骤。
最短路，如果它的各边的权和是 G 中任一条 (s,t) 一路 中各边权和最小的。
找寻 (s,t) 最短路最有效的算法是 Dijkstra 算法：
其主要思路是假定我们已经知道了在图中与起点 s
有最短路径的 m 个顶点以及从 s 到这些顶点间的最
短路径，然后求出第 m 1个顶点使之与前 m 个顶点 有相同的属性。其实现方法是比较法。
例：对下图用 Floyd 算法求出各点间的最短路径长度。
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4
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D0
2 5
0 6
7 0
2
1 4 0
D1 的各元素和相应的最短路径计算如下：D1 的第一行和第
一列元素与 D0 相同，对角线上的元素均为 0，则需计算其
余 6 个元素如下：
由于 d(d) 6最小，所以首先对 d 着色，并对边 (c, d ) 着
色。由于 t 未着色，继续上述步骤。
5、令 y d ,继续比较有
d(t) min d(t), d(d) a(d,t) 8
d(b) min d(b), d(d) a(d,b) 7
对顶点 b 着色，并对边 (s,b) 着色。 6、令 y b ,计算