南京市2020届高三年级学情调研卷及答案

南京市2020届高三年级学情调研

数 学 2019.09

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．

上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：

柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 球的体积公式：V ＝43

πR 3

，其中R 为球体的半径．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．

上． 1．函数f (x )＝x －1的定义域为 ▲ ．

2．已知复数z 满足(z －2)i ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为 ▲ ． 3．某算法的流程图如图所示，则输出的n 的值为 ▲ ．

4．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，则图中x 的值为 ▲ ．

（第3题图）

（第4题图）

5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可能性相同，则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为 ▲ ．

6．把一个底面半径为3 cm ，高为4 cm 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球（不计损耗），则该钢球的半径为 ▲ cm ．

7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条准线与两条渐近线恰能

围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为 ▲ ．

8．若函数f (x )＝2sin(ωx －π6)(ω＞0)的最小正周期为π，则当x ∈[0，π

2]时，f (x )的值

域为 ▲ ． 9．若锐角α满足tan(α＋

π

4

)＝3tan α＋1，则tan2α的值为 ▲ ． 10．已知函数f (x )＝x

1＋|x |，则不等式f (x －3)＋f (2x )＞0的解集为 ▲ ．

11．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ．已知a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93，若存在正整数k ，使得对任意n ∈N*，都有S n ≤S k 恒成立，则k 的值为 ▲ ． 12．在△ABC 中，P 是边AB 的中点，已知CA ＝4，CP ＝3，∠ACB ＝

2π3

，则CP →·CA →

的值 为 ▲ ．

13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(x －a )2

＋(y －2a )2

＝4，圆N ：(x －2)2

＋(y ＋1)2

＝4．若圆M 上存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆N 有公共点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．

14. 已知函数f (x )＝x 3

－3x 2

＋1，g (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧|2x －1|＋1， x ＞0，

－14x 2－x ， x ≤0．若函数y ＝g [f (x )]－a 有6个

零点（互不相同），则实数a 的取值范围为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．

作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin2B ＝2b sin A ． （1）求B 的大小； （2）若cos C ＝5

5

，求sin(A －C )的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，E ，F 分别为AB ，A 1B 1的中点． （1）求证：AF ∥平面B 1CE ；

（2）若A 1B 1⊥B 1C ，求证：平面B 1CE ⊥平面ABC ．

17．（本小题满分14分）

随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔t （单位：分钟）满足：4≤t ≤15，t ∈N ，平均每趟地铁的载客人数p (t )（单位：人）与发车时间间隔t 近似地满足下列函数关系：

p (t )＝⎩⎨⎧1800－15(9－t )2

， 4≤t ＜9，

1800， 9≤t ≤15，

其中t ∈N ．

（1）若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，试求发车时间间隔t 的值； （2）若平均每趟地铁每分钟的净收益为Q ＝6p (t )－7920

t

－100（单位：元），问当发车时

间间隔t 为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．

1

（第16题图）

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点

(a

2

，3e )和(b ，

3e )都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的标准方程；

（2）若点C 是椭圆上异于左、右顶点的任一点，线段BC 的垂直平分线与直线BC ，AC 分别交于点P ，Q ，求证：→OB ·→

PQ 为定值．

19．（本小题满分16分）

已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2

－bx ，a ，b ∈R ．

（1）若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线为y ＝2x －3，求实数a ，b 的值； （2）若a ＝0，且f (x )≤－2对一切正实数x 恒成立，求实数b 的取值范围； （3）若b ＝4，求函数f (x )的单调区间．

20．（本小题满分16分）

已知数列{a n }的首项a 1＝2，前n 项和为S n ，且数列{S n n }是以1

2

为公差的等差数列.

（1）求数列{a n }的通项公式；

（2）设b n ＝2n

a n ，n ∈N*，数列{

b n }的前n 项和为T n ， ①求证：数列{T n

n

}为等比数列； ②若存在整数m ，n (m ＞n ＞1)，使得T m T n ＝m (S m ＋λ)

n (S n ＋λ)

，其中λ为常数，且λ≥－2，求λ的

所有可能值.

（第18题图）