第3章(力偶系)
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平面力系合力对平面内任一点之矩等于各分力对同 一点之矩的代数和。
例：求图所示力F 对A 点之矩。
解：将力F 分解两垂直的力Fx 、Fy ，由合力矩定理可得
MA (F ) MA (Fx ) MA (Fy ) F cos b F sin a
§3-2
一、力对轴之矩的定义
力对轴之矩
r xi yj zk
F Fx i Fy j + Fz k
i MO (F ) r F x Fx
j y Fy
k z Fz
MO (F ) 的解析表达式
( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
[ MO (F )]x i [ MO (F )]y j [ MO (F )]z k
力对点之矩矢的大小
MO ( F ) M x ( F ) M y ( F ) M z ( F ) 力对点之矩矢的方向 M x (F ) cos( M O，i ) M O (F ) 通过计算力对轴之矩实现 M y (F ) 计算力对点之矩矢 cos( MO， j) MO (F )
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
一、平面中力对点之矩
力对点之矩：力使刚体绕点（矩心）转动效应的度量。
MO ( F ) Fh 2SOAB
平面中力对点之矩的正负规 定：力使刚体绕点逆时针转为正， 顺时针转为负。
+
-
二、力对点之矩矢
1.力对点之矩矢的定义
空间问题中引用力对点之 矩矢度量力使刚体绕某点的转 动效应。
解：由于力对OD之力臂不是很明 了，故先求出力对O点之矩矢，再 将其投影到OD上去 [MO(F)]OD = MOD(F) MO(F) = 0.4×10i = 4i kN· m
OA 20 20 cos 0.371 2 2 2 OD 53.85 20 30 40
3.力对点之矩矢的基本性质
力对点之矩矢服从矢量合成法则。力系对刚体产 生的绕点的转动效应可用一个力矩矢度量，等于各力 对点之矩矢的矢量和。
MO MO (F1 ) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (F )
4.合力矩定理
FR F1 + F2 + Fn
三、力对点之矩与力对轴之矩的关系
MO ( F )
( yFz - zFy )i ( zFx - xFz ) j ( xFy - yFx )k [ MO (F )]x i [ MO (F )]y j [ MO (F )]z k
M x (F ) -zFy + yFz
M y (F ) -xFz + zFx
2 2 2
M z (F ) cos( M O，k ) M O (F )
例 已知:P=2000N, C点在Oxy平面内求：力P对点O的矩。
解：①将力向坐标轴方向分解；（二次投影法）
Pz P sin45 Pxy P cos45 Px Pcos45sin60 Py P cos45cos60
M z (F ) -yFx + xFy
力对点之矩矢在通过该点之轴上的投影等于力对该轴之矩。
M O ( F ) x M x ( F ) M ( F ) M ( F ) M O ( F )z M z ( F )
O y y
力对点之矩矢可表示为
MO (F ) M x (F )i M y (F ) j M z (F )k
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy h
力对轴之矩等于力在垂直于该轴平面上的投影对 轴与平面交点之矩。
⑴ 力对轴之矩是代数量，判断正负由右手螺旋法则 确定，拇指指向与轴的正向一致为正，反之为负。 ⑵ 力与轴相交或力与轴平行时，力对轴之矩为零。 (3) 合力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代 数和。
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MO ( FR ) r FR r ( F1 F2 Fn )
r F1 r F2 r Fn MO ( F1 ) MO ( F2 ) MO ( Fn )
MO (F )
MO (FR ) MO (F1 ) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (F )
M y (P) M y ( Px ) M y ( Py ) M y ( Pz ) 0 0 5 Pz 5 P sin 45 70.7(N m)
MO ( P ) 84.8i 70.7 j 38.2k
例 试求力F对OD之矩。F=10kN，各边长分别为20cm、 30cm、40cm。
②求力对轴的矩
M z ( P ) M z ( Px ) M z ( Py ) M z ( Pz ) 6 Px (5 Py ) 0 6P cos 45 sin 60 5P cos 45 cos 60 38.2(N m)
M x ( P ) M x ( Px ) M x ( Py ) M x ( Pz ) 0 0 6 Pz 6P sin 45 84.8(N m)
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) M x ( Fy ) M x ( Fz ) -zFy + yFz M y ( F ) M y ( Fz ) M y ( Fx ) -xFz + zFx M z ( F ) M z ( Fx ) M z ( Fy ) -yFx + xFy
定义：力对点之矩矢等于矩心到力作用点的矢径 与力的矢量积。
MO ( F ) r F
力矩矢的大小（转动效应的强度）
M O ( F ) Fr sin( r , F ) Fh = 2 S ΔOAB
方位：力与矩心所确定平面的法向
力矩矢的方向： （定位矢量） 指向：右手螺旋法则判定
2. 力对点之矩矢的解析表达式
例：求图所示力F 对A 点之矩。
解：将力F 分解两垂直的力Fx 、Fy ，由合力矩定理可得
MA (F ) MA (Fx ) MA (Fy ) F cos b F sin a
§3-2
一、力对轴之矩的定义
力对轴之矩
r xi yj zk
F Fx i Fy j + Fz k
i MO (F ) r F x Fx
j y Fy
k z Fz
MO (F ) 的解析表达式
( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
[ MO (F )]x i [ MO (F )]y j [ MO (F )]z k
力对点之矩矢的大小
MO ( F ) M x ( F ) M y ( F ) M z ( F ) 力对点之矩矢的方向 M x (F ) cos( M O，i ) M O (F ) 通过计算力对轴之矩实现 M y (F ) 计算力对点之矩矢 cos( MO， j) MO (F )
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
一、平面中力对点之矩
力对点之矩：力使刚体绕点（矩心）转动效应的度量。
MO ( F ) Fh 2SOAB
平面中力对点之矩的正负规 定：力使刚体绕点逆时针转为正， 顺时针转为负。
+
-
二、力对点之矩矢
1.力对点之矩矢的定义
空间问题中引用力对点之 矩矢度量力使刚体绕某点的转 动效应。
解：由于力对OD之力臂不是很明 了，故先求出力对O点之矩矢，再 将其投影到OD上去 [MO(F)]OD = MOD(F) MO(F) = 0.4×10i = 4i kN· m
OA 20 20 cos 0.371 2 2 2 OD 53.85 20 30 40
3.力对点之矩矢的基本性质
力对点之矩矢服从矢量合成法则。力系对刚体产 生的绕点的转动效应可用一个力矩矢度量，等于各力 对点之矩矢的矢量和。
MO MO (F1 ) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (F )
4.合力矩定理
FR F1 + F2 + Fn
三、力对点之矩与力对轴之矩的关系
MO ( F )
( yFz - zFy )i ( zFx - xFz ) j ( xFy - yFx )k [ MO (F )]x i [ MO (F )]y j [ MO (F )]z k
M x (F ) -zFy + yFz
M y (F ) -xFz + zFx
2 2 2
M z (F ) cos( M O，k ) M O (F )
例 已知:P=2000N, C点在Oxy平面内求：力P对点O的矩。
解：①将力向坐标轴方向分解；（二次投影法）
Pz P sin45 Pxy P cos45 Px Pcos45sin60 Py P cos45cos60
M z (F ) -yFx + xFy
力对点之矩矢在通过该点之轴上的投影等于力对该轴之矩。
M O ( F ) x M x ( F ) M ( F ) M ( F ) M O ( F )z M z ( F )
O y y
力对点之矩矢可表示为
MO (F ) M x (F )i M y (F ) j M z (F )k
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy h
力对轴之矩等于力在垂直于该轴平面上的投影对 轴与平面交点之矩。
⑴ 力对轴之矩是代数量，判断正负由右手螺旋法则 确定，拇指指向与轴的正向一致为正，反之为负。 ⑵ 力与轴相交或力与轴平行时，力对轴之矩为零。 (3) 合力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代 数和。
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MO ( FR ) r FR r ( F1 F2 Fn )
r F1 r F2 r Fn MO ( F1 ) MO ( F2 ) MO ( Fn )
MO (F )
MO (FR ) MO (F1 ) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (F )
M y (P) M y ( Px ) M y ( Py ) M y ( Pz ) 0 0 5 Pz 5 P sin 45 70.7(N m)
MO ( P ) 84.8i 70.7 j 38.2k
例 试求力F对OD之矩。F=10kN，各边长分别为20cm、 30cm、40cm。
②求力对轴的矩
M z ( P ) M z ( Px ) M z ( Py ) M z ( Pz ) 6 Px (5 Py ) 0 6P cos 45 sin 60 5P cos 45 cos 60 38.2(N m)
M x ( P ) M x ( Px ) M x ( Py ) M x ( Pz ) 0 0 6 Pz 6P sin 45 84.8(N m)
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) M x ( Fy ) M x ( Fz ) -zFy + yFz M y ( F ) M y ( Fz ) M y ( Fx ) -xFz + zFx M z ( F ) M z ( Fx ) M z ( Fy ) -yFx + xFy
定义：力对点之矩矢等于矩心到力作用点的矢径 与力的矢量积。
MO ( F ) r F
力矩矢的大小（转动效应的强度）
M O ( F ) Fr sin( r , F ) Fh = 2 S ΔOAB
方位：力与矩心所确定平面的法向
力矩矢的方向： （定位矢量） 指向：右手螺旋法则判定
2. 力对点之矩矢的解析表达式