总复习：函数的概念及其表达式

知识梳理：
1、函数的定义：设A，B是两个非__空__的__数_集__，如果按 某种对应法则f，对于集合A中的____每__一_个__元__素__x__， 在集合B中都有__唯_一__的__元__素_y__和它对应，那么这样的 对应叫从A到B的一个函数。通常记为y f (x), x A
在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有输入值x组成的 集合A称为函数y＝f(x)的 定义域 ； 将 所 有 输 出 值 y 组成的集合叫做函数y＝f(x)的 值域 .
值域
错解：g(x) lg x 1 x 1
函数的值域由定义域和对应法则唯一确定，只有定义域 和对应法则都相同的函数才是同一函数.
知识梳理：
3、函数的表示方法：
表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法.
表示方法
表达形式
优点
解析法
用等式表示两个变量之间的函数 关系
1、函数关系清楚、精确. 2、容易从自变量的值求出其对应的函数 值. 3、便于研究函数的性质. 解析法是中学研究函数的主要表达方式.
f (x) 2 x 1 33
构造方程组法
典例剖析
（4）若y是x的函数，且
x
y
t t
1 t (t
1 t
0)，求 f ( x) 的 解析式. 分析：求y与x的关系式，只要消去t
解法1：Q
x
y
t 1 t (t
t 1 t
0)
解法2：Q
x
y
t t
1 t
1 t
(t
0)
消元法
y2 (t 1)2 t 2 2 1
1
x0 表示同一函数；
x
-1 x0
（2）函数y=f ( x) 的图象与直线x=1的交点最多有1个；
（3）f ( x) x2 2 x 1与g (t ) t 2 2t 1是同一函数；
（4）若f ( x)
x 1
x
, 则f
(
f
1 ( ))=0.
2
其中正确判断的是（ ）
A(1)(2) B(2)(3) C(3)(4) D(3 )(4)
4、分段函数
是在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式的 函数.
它是一个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集.
典例剖析
例1（1）求函数f (x) 1 2 log6 x 的定义域.
解析：Q
1-2 log x 0
6
x
0
x x
0
6
0 x
6
函数f (x) 1 2 log6 x定义域为 0，6
解析：对任意实数x,都有ax2 ax+3 0
（1）a=0，则3 0，符合题意；
（2）a 0, a2 4a.3 0，则0 a 12;
综上：a 0,12
另解：ax2 ax 3 0无解
已知函数的定义域，求参数的取值范围，一般将问题转化 为含有参数的不等式(组）的解集问题.
变式1：若函数y ax2 ax+3 的定义域为R,求实数 a的取值范围.
典例剖析
(2)已知f (x)是一次函数，且满足3 f ( x 1) 2 f ( x 1) 2x 17, 求f (x)的解析式.
解析：令f (x) kx b（ , k, b R)则f (x 1) k (x 1) b
f (x 1) k (x 1) b
3k (x 1) b 2k (x 1) b 2x 17
2020
函数的概念及其表示
高二 数学
授课教师：江苏省天一中学
吴利华
指导教师：锡山区教师发展中心 姚敬东
考点概述
内容
要求
A
B
C
函 函数的概念
√
考 纲
数 函数的基本性质 概 念 指数与对数
√ √
与 基
指数函数的图像与性质
√
本 对数函数的图像与性质
√
初 等
幂函数
√
函 数
函数与方程
√
函数模型及应用
√
知识的考查要求依次为了解、理解、掌握三个层次，在上表中分别用A、B、C表示 了解：掌握对所列知识的含义有初步的、感性的认识，并能解决相关的简单问题； 理解：要求对所列知识有较深刻的理性认识，并能解决有一定综合性的问题； 掌握：要求系统地把握知识的内在联系，并能解决综合性较强的问题.
解析：设g ( x)图像上任一点P(x,y)
P(x,y)关于（-1,2）的对称点P（’-2-x,4 y)
点P'在y f (x)图像上
4-y (2 x)3 2(2 x)2 1 y (x 2)3 2(x 2)2 5
g(x) (x 2)3 2(x 2)2 5
代入法
求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时， 一般用代入法.
函数的定义域必须写成集合或区间的形式
(2)求函数f(x) = ln(1+ 1 ) 1 x2的定义域. x
x 0
解析Q
1
1 x
0
1 x2 0
0 x 1
函数f(x)= ln(1+ 1 ) 1 x2的定义域为0,1
x
解法提炼
求函数定义域：
(1)解题方向：根据函数有意义的条件建立不等式（组）.
2、已知函数f
(
x)
x x2
x0 ,则f ( f (-2))= _______ .
x0
3、函数f (x) 1 +ln(1+x)的定义域为 _________ . 1-x
4、已知f
(
x)的定义域是
0,4
，则f
(x 1)
f
(x 1)
的定义域是 ______ .
课后练习
5、如果函数f (x) ln(2x a)的定义域为-，1，那么实数a 的值为_______.
解法提炼
求函数解析式的常用方法有： （1） 配凑法：当已知的表达式比较简单时，可用配凑法； （2）待定系数法：已知函数的类型（如一次函数或二次函
数），可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数 f (g(x)) 解析式时，可用换元法,注
意“新元”的取值范围;
（4）代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对
6、已知f (x)是一次函数，且f ( f (x)) x 2，则f (x) ______. 7、已知f ( x 1) x 2 x-1,则f (x) __________. 8、定义在R上的函数f (x)满足f (x 1) 2 f (x),若当0 x 1 时，f (x) x(1 x), 则当-1 x 0 时，f (x) ___________.
f (x) x2 -（ 1 x 1)
解法2：令 x 1 t(t 1)
x t 12
f (t) (t 1)2 2t 2 f (x) x2 1(x 1)
配凑法 换元法
换元法是求函数解析式的常用方法之一，已知复合函数 f (g(x)) 求 f (x) 的解析式时可用换元法，要注意新元的范围.
kx 5k b 2x 17
k b
2 7
f (x)的解析式为f (x) 2x 7
待定系数法
待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于
已知所求函数类型（如一次函数，二次函数等）及函数的某
些特征求其解析式的题目，可首先设出所求函数的解析式，
再根据题意列出方程组求出系数.
典例剖析
（3）设函数是定义在 0，+ 上的函数，且有f (x) 2 f ( 1 )
函数概念是近代数学思想之花——英国数学家托马斯
基础导练：
已知M =x 0 x 2, N y 0 y 3，给出下列四个图形，其中能
表示从集合M 到集合N的函数关系是哪些？
解析： ② ③
知识梳理：
2、函数的三要素：定义域、对应法则、值域.
下列各对函数中，
①f (x) lg x2, g(x) 2 lg x
课堂小结
定义域
定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据， 对函数问题的研究，必须在定义域上进行。
三
对应法则
要
函数
素
分段函数
在解决 数学问 题时，
值域
表示方法
熟练应 用分类
讨论、
数形结
列表法
解析法
图像法
合、转 化化归
三者可以互相转化
等数学 思想
课后练习
1、有以下判断：
（1）f ( x)
x
与g ( x)
典例剖析
变式1：若函数y ax2 ax+3 的定义域为R,求实数 a 的取值范围.
解析：对任意实数x,都有ax2 +ax+3 0
（1）若a 0,则3 0,符合题意;
（2）若a
0,
则
a
0 a2
4.a.3
0
a 0
0 a
12
0 a 12
实数a的范围为0,12
变式2：若函数y log2 ax2 ax 3 的定义域为R,求实数 a 的取值范围.
x
求f (x)的解析式.
x 1
解析：Q f (x) 2 f (1x) x 1，
将
1 x
换成x,得f
( 1x )
2
f
(
x)
1 x
1
f
(1x) 2
f
(x)
1x 1
f
(x) 2
f
(1x)1
构造方程组法适用于自变量的对称规律.
互为倒数，如f (x)与f (1); x
互为相反数，如f (x)与f (x) 通过对称代换构造一个对称方程组， 解方程组即得的 f (x) 解析式.
解析：对任意实数x,都有ax2 +ax+3 0
（1）若a 0,则3 0,符合题意;
（2）若a
0,
则
a
0 a
2
4.a.3 0
0 a 12
实数a的范围为0,12
典例剖析
例2、（1）已知f ( x 1) x 2 x , 求f (x)的解析式.
解法1：f ( x 1) ( x )2 2 x 1 1 ( x 1)2 1
称函数时，一般用代入法；
（5）构造方程组法、消元法、赋值法:
若已知抽象的函数表达式，根据题目的条件特征，可用赋值法 或解方程组消元的方法求解析式.
例3、某专卖店经市场调查得知，一种商品的月销售量Q(单位：吨)
与销售价格x(单位：万元 / 吨)的关系可用下图的一 条折线表示.
写出月销售量Q关于销售价格 x 的函数关系.
（ f x)的定义域为-，0 0，+，g(x)的定义域为0，+
f
② f (x) lg x 1, g(x) lg(x 1) lg(x 1) x 1
f (x)的定义域为-，-1 1，+，g(x)的定义域为（1，+）
③ f (u) 1 u , g(v) 1 v
1u
1 v
④f (x) x, g(x) x2
图象法
用图象表示两个变量间的函数关 能形象直观的表示出函数的变化趋势，
系
是利用数形结合思想解题的基础.
列表法
用列表来表示两个变量之间的函 数关系
不必通过计算就知道当自变量取某些值 时函数的对应值.当自变量的值的个数较 少时使用.列表法在实际生产和生活中有 广泛的应用.
三种函数的表示方法在一定条件下，可以互相转化.
② 已知函数f (x)的定义域为1, 2，
求函数f (x 1)的定义域.
解析：Q f (x)的定义域为1, 2
对于函数 f (x 1)有 1 x 1 2 0 x 1
函数f (x 1)的定义域为0,1
同一对应法则
变式： 已知函数f (2x )定义域为1, 2，
求y f (log 1 x)的定义域.
t
t2
x2
t
1 t
2
t2
2
1 t2
t 1
x 2
y
y x
t 2
1 x y . y x
22
y2 x2 4( y 2，x R)
y2 x2 4( y 2，x R)
y x2 4(x R)
y x2 4(x R)
典例剖析
（5）若g (x)与f (x) x3 2x2 1关于点-1, 2 对称，求g ( x)
2
解析：Q f (2x )的定义域为1, 2
=2x 2, 4
2 log1 x 4
2
1 x1
16
4
函数的定义域为
1 16
，1 4
典例剖析
Baidu Nhomakorabea
③
若函数y
3
ax 2
3x 1 ax+3
定义域为R,
求实数
a
取 值范围.
分析：定义域为R可以转化为 对任意的实数都有ax2 ax+3 0
二次项系数讨论
分段函数
解析：由题意：当5 x 8时，Q ax b
是一个函
85aa
b b
12.5
5
a b
5 2
25
Q=- 5 x 25 2
数，要正 确表示，
它与不等
同理8 x 12时，Q=-x 13
式结合是
Q=
5 2
x
25
5 x8
高考的热 点
x 13
8 x 12
用函数的观点处理实际问题，形成函数、数形结合等数学思想.
(2)实现策略：求解不等式（组）.在求解函数定义域时关注
①分式中，分母不为零； ②偶次方根中，被开方数为非负数； ③对于y x0，要求x 0； ④对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1； . ⑤由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束. 函数的定义域必须写成集合或区间的形式
典例剖析
f (x) x, g(x) x
其中表示同一函数的是 ________（填写序号）
解析： ③
解法提炼 判断函数是否为同一函数: (1)解题方向：利用错函解： 数的定义；
(2)实现策略：抓住函数的“三要素”分别逐项检查是否相同.
定义域 对应法则
② f (x) lg x 1, g(x) lg(x 1) lg(x 1) x 1