平面的基本性质第2课时

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高三数学一轮复习 9.43 平面的基本性质及空间的两条直线课件 理 大纲人教版

高三数学一轮复习 9.43 平面的基本性质及空间的两条直线课件 理 大纲人教版

1.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成( ) A.5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分 答案:C
2.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中 点.那么,正方体的过P、Q、R的截面图形是( )
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
答案:C
4.下列各图是正方体和正四面体,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,过四 个点共面的图形是________.(写出符合要求序号)
解析:在④选项中,可证Q点所在棱与PRS平行,因此,P、Q、R、S四 点不共面.可证①中PQRS为梯形;③中可证PQRS为平行四边形;②中 如图取A1A与BC的中点分别为M、N,可证明PMQNRS为平面图形,且 PMQNRS为正六边形. 答案:①②③
2.利用公理2可证明点共线,线共点等问题.
3.求异面直线所成的角,是要将异面直线问题转化为相交直线所成的锐角或直角, 可通过余弦定理解三角形,而作辅助线主要是作已知直线的平行线, 具体可利用平行四边形对边平行,三角形或梯形的中位线与底边平行等,而 对两条异面直线的判定可根据“连结平面外一点和平面内一点的直线与平面 内不经过此点的直线是异面直线”. 这个结论是对异面直线直接判定的重要依据,也是求异面直线成角作辅助线 的 重要依据之一,也可利用向量的夹角求异面直线所成的角.
解法二:以D为空间坐标原点,如图,建立空间直角坐标系,则D1(0,0,2),
F(1,0,0),O(1,1,0),E(0,2,1),∴FD1=(-1,0,2),OE=(-1,1,1),∴FD1·OE
=3,∴cos θ=

即两条异面直线D1F与OE所成角的余弦值为
.

必修2课件:平面的基本性质

必修2课件:平面的基本性质

(2) 通常画平行四边形 平行四边形表示平面,当平面是水 平行四边形 平放置的时候,通常把平行四边形的锐角画成 45°横边画成邻边长的2倍。 (3)画直立平面时,要有一组对边为竖直 竖直。 竖直
水平平面: 水平平面: 直立平面
(4)在画图时,如果图形的一部分被另一部分遮住, )在画图时,如果图形的一部分被另一部分遮住, 可以把遮住部分画成虚线,也可以不画。 可以把遮住部分画成虚线,也可以不画。
点评:几何里的平面的特征 点评:几何里的平面的特征:
1.无限延展 1.无限延展 2.不计大小 2.不计大小 3.不计厚薄 3.不计厚薄
(没有边界) 没有边界) (无所谓面积) 无所谓面积) (没有质量) 没有质量)
2. 平面的画法 平面的画法: (1)通常用平行四边形表示 有时也可根据需要用 通常用平行四边形表示,有时也可根据需要用 通常用平行四边形表示 其它平面图形表示,如 矩形 菱形;三角形 矩形;菱形 三角形;圆 椭圆 椭圆) 其它平面图形表示 如:矩形 菱形 三角形 圆(椭圆 等等; 等等
2010. 12. 01
平静的水面
辽阔的草原
光滑的桌面、 光滑的桌面、地面
平静的湖面 、广阔 的草原 、光滑的桌 面的画面给你留下 怎样的印象?
课题: 课题:
平面的基本 性质
第一课时
1.平面的基本概念 平面的基本概念: 平面的基本概念
平面是一个只描述而不定义的最基本的概念, 平面是一个只描述而不定义的最基本的概念, 它是从日常见到的具体的平面抽象出来的理想化 的模型. 的模型.
β
α
P
l
课堂小结: 课堂小结:
(1)平面的概念、画法、表示方法; )平面的概念、画法、表示方法; 述点、 (2)文字语言、符号语言、图形语言描 述点、直 )文字语言、符号语言、 平面及相互位置关系,描述三个公理; 线、平面及相互位置关系,描述三个公理; (3)逐步培养空间想象能力。 )逐步培养空间想象能力。

平面的基本性质教案

平面的基本性质教案

课题:9.1平面的基本性质(一)教学目标:知识目标:(1)了解平面的概念,掌握平面的画法及表示法(2)掌握平面的基本性质及它们的作用能力目标:(3)会用文字语言、图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系(4)能够画出水平放置的平面的直观图(5)培养学生的空间想象能力情感目标:(6)渗透数学来源于实践又服务于实践的辩证观点(7)在数学学习活动中获得成功的体验,建立自信心教学重点与难点重点:(1)平面的概念。

“平面”是教材中只作描述说明,而不定义的最原始的基本概念,应让学生结合实例弄清平面的含义,认真体会平面与平面无大小之分,无厚薄之别,仅有位置上的不同。

(2)会正确画图表示两相交平面的位置关系(3)会用文字语言、图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系,并熟记它们,达到能得心应手运用他们的程度。

难点:(1)理解平面的无限延展性;(2)集合概念的符号语言的正确使用。

授课类型:新授课课时安排:1课时教学方法与教学手段:讲授法多媒体辅助教学教学过程一、创设情景导入新课:首先来讨论一个问题:“给你6根火柴棒能拼出四个三角形吗?”现在老师这里有6根火柴棒,想来尝试的同学请举手。

好,**同学请上来(可以不用把六根火柴棒放在同一个平面里考虑)做得非常好,大家看下,这是什么图形,这不是平面图形,是立体几何图形,大家想一下就知道这个问题在平面中是解决不了的,解决这个问题就需要运用立体几何知识。

那么今天我们就来学习与立体几何有关的知识,(立体几何章节中的第一节)——平面的基本性质二、讲解新课:平面的画法:首先让学生观察光滑的桌面、平静的湖面,象这些桌面、平静的湖面都给我们以平面的形象师:生活中还有哪些留给我们平面的形象呢?生:黑板、地面、镜面、海平面师:对,象这些镜面、桌面、黑板面、地面、海平面等都给我们以平面的印象那平面具有什么特点?生:平坦、光滑师:对,那还具什么特点?生:、、、、同学们有没发现镜面、桌面、地面、海平面,逐渐增大,但还是平面,说明平面还具有“无限延展”的特点下面我们来归纳总结下平面的特点(看PPT)(平面具有“平”、“无限延展”、“无厚薄”的特点。

《1.2.1 平面的基本性质》4PPT课件

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学 方
1.直线 l 与平面 α 有且仅有一个公共点 P,直线 l 是否 当 堂

设 在平面 α 内?有两个公共点呢?
双 基



【提示】 不在 在.










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《平面的基本性质》课时同步详解

《平面的基本性质》课时同步详解

《平面的基本性质》课时同步详解问题情境导入在《西游记》中,如来佛对孙悟空说:“你一个跟头虽有十万八千里,但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心,如果把孙悟空看作是一个点,他的运动成为一条线,大家说如来佛的手掌像什么?新课自主学习自学导引1.平面的概念及表示.(1)平面的概念.平面是从现实世界中抽象出来的几何概念.它没有______,是______的.(2)平面的表示方法.①图形表示.平面通常用______来表示,当平面水平放置的时候,一般用水平放置的______的直观图作为平面的直观图(如图所示).②字母表示.平面通常用______表示,也可以用平行四边形的_______表示,如平面 、平面AC等.(3)点、线、面位置关系的符号表示.2.平面的基本性质.①平面的基本性质.(1)基本事实1:过不在一条直线上的三个点______,一个平面.基本事实1也可简单地说成,不共线的三点确定一个平面.②基本事实2:如果一条直线上的______在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.用符号表示为:A B αα∈⎫⇒⎬∈⎭______. ③基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条______的公共直线.用符号表示为:P P αβ∈⎫⇒⎬∈⎭_______. (2)推论.①推论1:经过_________________,有且只有一个平面.②推论2:经过______,有且只有一个平面.③推论3:经过______,有且只有一个平面.答案1. (1)厚薄 无限延展(2)①平行四边形 正方形②希腊字母,,,αβγ两个相对顶点的字母(3)P AB ∈ C AB ∉ M AC ∈平面 1A AC ∉平面AB BC B ⋂= AB AC ⊂平面 1AA ⊂/平面AC2. (1)①有且只有 ②两个点 AB α⊂ ③过该点 αβ⋂l =且P l ∈(2)①一条直线和这条直线外的一点 ②两条相交直线 ③两条平行直线预习测评1.用符号表示“点A 在直线l 上,l 在平面α外”,正确的是( )A.,A l l α∈∉B.,A l l α∈⊂/C.,A l l α⊂∉D.,A l l α⊂⊂/2.下列说法正确的是( )A.桌面是平面B.一个平面的面积是226mC.空间图形是由点、线、面构成的D.用平行四边形表示平面,2个平面重叠在一起,比一个平面要厚3.在下列命题中,不是基本事实的是( )A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面C.如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线4.线段AB 在平面α内,则直线AB 与平面α的位置关系是______.答案1.答案:B 解析:点A 在直线l 上,∴.A l l ∈在平面α外,∴.l α⊂/2.答案:C解析:由平面的概念可得选项C 正确.3.答案:A解析:选项B 是基本事实1,选项C 是基本事实2,选项D 是基本事实3,A 选项不是基本事实. 4.答案:直线 AB α⊂解析:由基本事实2知直线AB 在平面α内.新知合作探究探究点1 平面的概念及其表示知识详解1.平面的概念.“平面”是一个只描述而不定义的原始概念,常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象.几何里的平面就是从现实世界中抽象出来的几何概念,但是,几何里的平面没有厚薄,是无限延展的.特别提示(1)“平面”是平的(这是区别“平面”与“曲面”的依据).(2)“平面”无厚薄之分.(3)“平面”无边界,它可以向四周无限延展,这是区别“平面”与“平面图形”的依据.2.平面的画法.通常用平行四边形来表示平面当平面水平放置的时候,一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图.特别提示(1)表示平面的平行四边形,通常把它的锐角画成45°,横边长是其邻边的两倍.(2)两个相交平面的画法:当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画(如图).3.平面的表示法.(1)用一个希腊字母表示一个平面,如平面α、平面β、平面γ等.(2)用表示平面的平行四边形的四个字母表示,如平面ABCD.(3)用表示平面的平行四边形的两个相对顶点的字母表示,如平面AC或者平面BD.典例探究例1 下面的说法中正确的是()A.平行四边形是一个平面B.任何一个平面图形都是一个平面C.平静的太平洋面就是一个平面D.圆和平行四边形都可以表示平面解析利用平面的基本特征以及平面与平面图形的区别进行判断.A不正确.我们用平行四边形来表示平面,但不能说平行四边形是一个平面.平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形,它是不能无限延展的.B不正确,平面图形和平面是完全不同的两个概念,平面图形是有大小的,它是不可以无限延展的.C不正确,太平洋再大也会有边际,也不可能是绝对平面.D正确,在需要时,除用平行四边形表示平面外,还能用三角形、梯形、圆等来表示平面.答案 D总结升华平面与平面图形既有区别又有联系.平面没有角度、绝对平展、无边界,是一种理想的图形.平面可以用三角形、正方形、梯形、圆等平面图形来表示.但平面图形如三角形、正方形、梯形等,它们是有大小之分的,不能说三角形、正方形、梯形等是平面变式训练1 下列命题:(1)书桌面是平面;(2)8个平面重叠起来要比7个平面重叠起来厚;(3)有一个平面的长是30m,宽是10m;(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念.其中正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.4答案 A点拨只有(4)正确.探究点2 基本事实及推论知识详解1.三个基本事实2.三个推论:3.从集合角度理解点、线、面之间的关系.(1)直线可以看成无数个点组成的集合,故点与直线的关系是元素与集合的关系,用“∈”或“∉”表示.(2)平面也可以看成点集,故点与平面的关系也是元素与集合的关系,用“∈”或“∉”表示.(3)直线和平面都是点集,它们之间的关系可看成集合与集合的关系,故用“⊂”或“⊄”表示.典例探究例2 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,下列命题正确的是 .(1)直线1AC 在平面11CC B B 内;(2)设正方形ABCD 与正方形1111A B C D 的中心分别为1,O O ,则平面11AAC C 与平面11BB D D 的交线为1OO ;(3)由点,,A O C 可以确定一个平面;(4)由点11,,A C B 确定的平面为11ADC B ;(5)由点11,,A C B 确定的平面与由点1,,A C D 确定的平面是同一个平面.解析 (1)错误.因为点A ∉平面11CC B B ,所以1AC 不在平面11CC B B 内.(2)正确.因为点O ∈直线AC ,直线AC ⊂平面11AAC C ,所以点O ∈平面11AAC C .同理,点1O ∈平面11AAC C ,所以直线1OO ⊂平面11AAC C .同理,直线1OO ⊂平面11BB D D .故1OO 为平面11AAC C 与平面11BB D D 的交线.(3)错误.因为点,,A O C 在同一直线上,故不能确定一个平面.(4)正确.因为点11,,A C B 不共线,故可确定一个平面,又11//AD B C ,所以点D 平面11AB C ,故由点A ,11,C B 确定的平面为11ADC B .(5)正确.因为点11,,A C B 确定的平面为平面11ADC B ,而由点1,,A C D 确定的平面也是平面11ADC B ,故它们确定的是同一个平面.答案 (2)(4)(5)变式训练2 下列说法正确的是 .(1)一点和一条直线确定一个平面;(2)经过一点的两条直线确定一个平面;(3)两两相交的三条直线确定一个平面;(4)首尾依次相接的4条线段在同一平面内.答案 (2)点拨 (1)不正确.如果点在直线上,可以确定无数个平面;如果点不在直线上,在已知直线上任取两个不同的点,由基本事实1知,有且只有一个平面,或直接由推论1知,有且只有一个平面.(2)正确.经过同一点的两条直线是相交直线,由推论2知,有且只有一个平面.(3)不正确.3条直线可能交于同一点,也可能有三个不同交点,如下图(1)(2)所示.前者,由推论2知,可以确定1个或3个平面;后者,由推论2及基本事实2知,能确定一个平面.(4)不正确.四边形中三点可确定一个平面,而第4点不一定在此平面内,如上图(3),因此这4条线段不一定在同一平面内.易错易混解读例 已知A,B,C,D,E 五点中,A,B,C,D 共面,,,,B C D E 共面,则,,,,A B C D E 五点一定共面吗?错解因为,,,B C D E共面,所以点E也A B C D共面,所以点A在,,B C D所确定的平面内,因为,,,在B,,C D所确定的平面内,所以点,A E都在,,A B C D E五点一定共B C D所确定的平面内,即,,,,面.错因分析错解忽略了基本事实1中“不在一条直线上的三点”这个重要条件.实际上,,B C D三点有可能共线.正解(1)如果,,B C D三点不共线,则它们确定一个平面α.因为,,,A B C D共面,所以点A在平面α内.因为,,,B C D E共面,所以点E在平面α内.所以点,A E都在平面α内,即,,,,A B C D E五点一定共面.(2)若,,C D E五点一定共面;∈∈,则,A B,,,B C D三点共线于l,若,A l E l若,A E中有且只有一个在l上,则,,,,A B C D E五点一定共面;若,A E都不在l上,则,,,,A B C D E五点可能不共面.纠错心得在立体几何中,空间点、线、面之间的位置关系不确定时,要注意分类讨论,避免片面地思考问题.对于确定平面问题,在应用基本事实1及三个推论时一定要注意它们成立的前提条件.课堂快速检测1.若点Q在直线b上,b在平面β内,则,,Q bβ之间的关系可记作()A.Q bβ∈∈∈⊂B.Q bβC.Q bβ⊂⊂D.Q bβ⊂∈2.两个平面若有三个公共点,则这两个平面()A.相交B.重合C.相交或重合D.以上都不对3.下列对平面的描述语句:①平静的太平洋面就是一个平面;②9个平面重叠起来比8个平面重叠起来厚;③四边形确定一个平面;④平面可以看成空间中点的集合,它当然是一个无限集.其中正确的是______.4.设平面α与平面β交于直线,,l A B αα∈∈,且直线AB ⋂l C =,则直线AB β⋂=______. 答案1.答案:B解析:点Q (元素)在直线b (集合)上,∴Q b ∈.又直线b (集合)在平面β(集合)内,,.b Q b ββ∴∴∈⊂⊂2.答案:C解析:若这三个点在同一直线上,则两平面可能相交或重合;若这三个点不在同一直线上,则这两个平面重合.3.答案:④解析:太平洋面只是给我们以平面的形象,而平面是抽象的,且无限延展的,故①不正确.平面是无大小、无厚薄之分的,故②不正确.③不正确,如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能确定一个平面.平面是空间中点的集合,是无限集,故④正确.4.答案:C解析:,,,AB l C C l C AB ⋂=∴∈∈又,l αβ⋂=,.C AB C ββ∴∈∴⋂=要点概括整合11/ 11。

《4.1.2 平面的基本性质》作业设计方案-中职数学高教版21拓展模块一上册

《4.1.2 平面的基本性质》作业设计方案-中职数学高教版21拓展模块一上册

《平面的基本性质》作业设计方案(第一课时)一、作业目标通过本次作业,学生应达到以下目标:1. 理解并掌握平面的基本性质,包括平行公理、推论及其应用;2. 运用平面基本性质进行相关推理和计算;3. 提高分析问题和解决问题的能力,增强数学素养。

二、作业内容1. 理解并背诵平行公理、推论及其应用,包括以下内容:a. 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有点都在这个平面内;b. 过一条直线的两条相交直线都在同一个平面内;c. 过一条直线的任意点都不存在同时与这条直线平行的两条直线。

2. 完成以下练习题:(1)判断正误:a. 若两条直线在同一平面内不相交,则这两条直线一定平行。

()b. 若两个平面都垂直于同一个直线,则这两个平面也垂直。

()c. 三角形ABC中,若AB=AC,D是BC的中点,则直线AD 平行于平面ABC。

()d. 圆上有两点在同一个平面内,则圆心一定在这个平面内。

()(2)完成下述推理论证:已知四边形ABCD中,E、F分别为AB、CD的中点,求证:AD//平面EF。

3. 阅读相关材料,了解其他平面几何学基本性质的应用,如三角形的中位线定理等。

三、作业要求1. 独立完成作业,不要抄袭;2. 认真阅读和理解相关材料,不要误解题目;3. 书写规范,证明过程要清晰明了;4. 完成练习题后,核对答案,如有错误及时更正。

四、作业评价本次作业的评价将根据学生的完成情况、正确率以及书写规范程度进行。

评价标准如下:1. 完成情况:是否全部完成作业;2. 正确率:是否正确运用平面的基本性质进行推理和计算;3. 书写规范程度:书写是否规范,证明过程是否清晰明了;4. 学习态度:是否认真阅读和理解相关材料,作业中是否存在敷衍了事、不负责任的学习态度。

五、作业反馈在完成作业后,学生需将作业提交给教师。

教师将对作业进行批改,并在批改后将反馈意见及时反馈给学生。

对于存在的问题和不足,教师将给予指导并给出改进建议。

【优创课件】8.4.1平面(人教A版2019必修二)

【优创课件】8.4.1平面(人教A版2019必修二)

【探究3】把三角尺的一个角立在课桌面上,三角尺所在平面与课桌面只有一个公共点吗? [提示]由于平面是无限延展的,所以不可能只有一个公共点,它们应该有一条公共直线.
基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那 么它们有且只有一条过该点的公共直线。 图形:
符号:P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l
【思考1】几何里的“平面”有边界吗?用什么 图形表示平面?
【提示】 没有.平行四边形. 【思考2】一个平面把空间分成了几部分? 【提示】 二部分.
知识点二 点、线、面之间的关系及符号表示 A是点,l,m是直线,α,β是平面.
文字语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 l在α内 l在α外
l,m相交于A l,α相交于A α,β相交于l
证明:若EF、GH交于一点P, 则E,F,G,H四点共面, 又因为EF⊂平面ABD,GH⊂平面CBD, 平面ABD∩平面CBD=BD, 所以P∈平面ABD,且P∈平面CBD, 由基本事实3可得P∈BD.
(四)操作演练 素养提升
1.下列有关平面的说法正确的是( )
A.平行四边形是一个平面
B.任何一个平面图形都是一个平面
(三)典型例题
4.三点共线问题
例4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q, 求证:B,Q,D1三点共线.
证明:如图,连接A1B,CD1,BD1,显然B∈平面A1BCD1,D1∈平面A1BCD1, ∴BD1⊂平面A1BCD1. 同理,BD1⊂平面ABC1D1, ∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1=BD1.∵A1C∩平面ABC1D1=Q, ∴Q∈平面ABC1D1. 又∵A1C⊂平面A1BCD1,∴Q∈平面A1BCD1. ∴Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上,即Q∈BD1,∴B,Q,D1三点共线.

三课时上课用时公理,及推论的证明题平面的基本性质(习题课)课件

三课时上课用时公理,及推论的证明题平面的基本性质(习题课)课件
证明:如图(1)
a b M , a c N, a d P,b c Q,b d S,c d R
a bM a,b可确定一个平面
N a,Q b
N ,Q NQ 即 c
同理:ad, b,c,d共面.
变式2
如图2所示已知a,b,c,d是两两相交且 不共点的四条直线,求证:a,b,c,d共 面.
C
A1 D1
A
D
∴由推论 3 可知, AA1 与 CC1 可确定平面 AC1 ,
AA CC ∴ 与 在同一平面内
1
1
新疆 王新敞
奎屯
口答
B1 C1
A1 D1
点 B,C1,D是否在同一平面内?
B
A
C
D
解:∵ 点 B C1D 不共线,
由公理
可知,点
B,,C 1
D
可确定平面
BC 1
D

B,C , D ∴点
❖ 例4、空间三个点能确定几个平面? 空间四个点能确定几个平面?
❖ 例5、 空间三条直线相交于一点,可以确定几个平面? 空间四条直线相交于一点,可以确定几个平面?
❖ 例6、两个平面可以把空间分成________部分, 三个平面呢?_________________。
三条直线相交于一点,可以确定几个平面?
2个平面分空间有两种情况:
(1)两平面没有公共点时
(2)两平面有公共点时
两个平面把空间分成3或4个部分。
3个平面把空间分成4,6,7或8个部分。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
14.1平面及其基本性质(1)
❖ 课时小结 ❖ 1、数学知识:
(1)平面的定义 (2)平面的表示方法 (3)平面的基本性质 ❖ 2、数学思想方法:

平面的基本性质教案

平面的基本性质教案

学生活动
感悟与改进
通 过学 生演 示引 出平 面的概念
学生自主推导,教师适,根据情况进行 点评
在平面α上(外) ,记作 A∈α(A∉α) ;若直线 a 在平面α内,记做 a⊂α,若直线 a 不在平面α内, 记做 a⊄α。这里的“⊂、∈”借用了集合的符号, 其含义仍然与集合符号的意义一致。 (2)公理一:若一条直线上有两个点在一个 教师提出问题,学生思 平面内,则该直线上所有的点都在这个平面内。即 考,提高认知,强化理 A∈α,B∈α ⇒ AB ⊂ α。 解 说明:此时即直线在平面内,或者说平面经过 直线。公理一是判定直线在平面内的依据。 位置关系 点 p 在直线 AB 上 点 C 不在直线 AB 上 点 M 在平面 AC 上 点 A1 不在平面 AC 上 直线 AB 与直线 BC 交于 点B 直线 AB 在平面 AC 上 直线 AA1 不在平面 AC 上 3、两个平面相交的依据(这里所指的两个平面都 是指不重合的平面) : (1)当一条直线 a 既在平面α内,又在平面 β内,即α和β有一条公共的直线 a,则称α与β 相交,交线是 a,记做α∩β=a。 (2)公理二:如果两个平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 即 教师提出问题,学生练 习。知识应用意识与能 A∈α,A∈β ⇒ α∩β=a 且 A∈a。 “公理二” 说明: ①若两个平面有一个公共点, 力的培养 则必定还有第二个、第三个……,必有无限多个公 共点,所有这些公共点都在同一条直线上,反之, 该直线上的每一点都是两个平面的公共点。因此, 两平面若有公共点,则必有公共直线。②两平面若 相交,则有且只有一条交线。 [课堂检测]:课本 22 页 1,2,3,4 板书 设计 教师提出问题,学生练 习,在思维训练过程中 提高认知,强化理解, 增强能力。 符号表示

平面的基本性质教案

平面的基本性质教案

平面的基本性质教案一、教学目标1. 知识与技能:(1)理解平面的基本性质;(2)学会用平面图形来表示和证明平面的基本性质;(3)能够运用平面的基本性质解决实际问题。

2. 过程与方法:(1)通过观察、操作、思考、交流等活动,培养学生的空间观念和几何思维能力;(2)学会运用归纳法、演绎法、类比法等数学方法。

3. 情感态度价值观:(1)培养学生对数学的兴趣和好奇心;(2)培养学生勇于探索、克服困难的意志品质;(3)培养学生合作交流、分工协作的能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点:(1)平面的基本性质;(2)平面图形的表示和证明;(3)运用平面的基本性质解决实际问题。

2. 教学难点:(1)平面的性质的证明和理解;(2)平面图形表示方法的灵活运用;(3)实际问题中平面的基本性质的应用。

三、教学方法与手段1. 教学方法:(1)情境教学法:通过实物、模型、图片等创设情境,引发学生兴趣;(2)问题驱动法:引导学生提出问题,自主探究,合作交流;(3)案例教学法:分析实际问题,培养学生的应用能力。

2. 教学手段:(1)多媒体课件:生动展示平面图形,提高学生的空间观念;(2)教具:实物模型、平面图形等,帮助学生直观理解;(3)练习软件:巩固所学知识,提高解题能力。

四、教学内容与课时安排1. 教学内容:(1)平面的定义及表示方法;(2)平面的基本性质及证明;(3)平面图形的分类及特点;(4)运用平面的基本性质解决实际问题。

2. 课时安排:(1)第一课时:平面的定义及表示方法;(2)第二课时:平面的基本性质及证明;(3)第三课时:平面图形的分类及特点;(4)第四课时:运用平面的基本性质解决实际问题。

五、教学评价1. 过程性评价:关注学生在学习过程中的表现,如参与程度、合作意识、问题解决能力等;2. 结果性评价:检测学生对平面基本性质的理解和运用,如课堂练习、课后作业、实践活动等;3. 综合性评价:结合学生的学习态度、方法、成果等多方面进行评价,全面反映学生的学习情况。

平面的基本性质说课稿

平面的基本性质说课稿

平面的基本性质说课稿(总7页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--平面的基本性质说课稿(第一课时)南京市第九中学宗园一、教材分析和学情分析1.教材地位及作用本节课选自苏教版《数学》必修二的平面的基本性质第一课时,主要内容是平面的概念及三个公理。

平面的基本性质虽然在高考中一般以选择和填空题型为主,但是它是研究立体几何的理论基础,也是以后论证推理的逻辑依据。

这节内容是学生已有的平面几何观念的拓展,帮助学生观念逐步从平面转向空间。

因此,掌握平面的三条基本性质至关重要。

2. 学情分析学生已经掌握了平面内点和直线的概念和性质,可以进行顺应性的建构;但由于学生想象能力、思维能力较弱,一旦涉及到抽象的总结归纳,难免会束手无策。

二、定位和设计1.教学目标根据本节课的教学内容、特点及教学大纲对学生的要求,结合学生现有的知识水平和理解水平,确定本节课的教学目标:【知识目标】(1)通过列举实例,类比直线,准确抽象出平面的特点;(2)通过观察、联想,快速地用图形和符号语言表示平面并进一步表示空间中点、直线线和平面的位置关系;(3)通过操作、实验,准确理解并表述平面的三个基本性质;【能力目标】(1)通过实例和多媒体直观教学,培养学生的观察能力和空间想象能力;(2)通过对生活中平面及其性质的举例、分析、解释过程,培养学生逻辑思维能力。

【情感目标】通过学生的观察、实验、操作和思维辩证,培养学生勇于批判、敢于创新的科学精神以及“数学来源于生活”的唯物主义精神。

2.重点难点同样根据教材和学生的需要确定本节课的:【重点】准确理解平面的特点和基本性质。

因为研究立体几何时,往往将有关点、线归结到一个平面内,再利用平面图形的性质解决,所以要求学生对平面的基本性质有较深刻的理解。

【难点】空间点、线、面位置关系的符号表示和平面的基本性质的掌握与运用。

因为平面的基本性质既抽象又枯燥,而学生想象和思维都较弱,所以掌握与运用三个平面的基本性质会有一定的难度。

平面2

平面2

α ∩ β = l P ∈α ∩ β P ∈ l
公理2应用 公理 应用 (1)确定两个平面的交线 确定两个平面的交线; 确定两个平面的交线
α
β
P l
(2)证明点在直线上 如证三点共线或三线共点 证明点在直线上(如证三点共线或三线共点 证明点在直线上 如证三点共线或三线共点); (3)确定直线与平面交点的位置 确定直线与平面交点的位置. 确定直线与平面交点的位置
平 面
第二课时
目标
1.理解平面的基本性质 公理 、2、3及其推论 理解平面的基本性质(公理 及其推论); 理解平面的基本性质 公理1、 、 及其推论 2.能利用图形语言理解公理及其推论; 2.能利用图形语言理解公理及其推论; 能利用图形语言理解公理及其推论 3.能用符号语言准确描述公理及推论 能用符号语言准确描述公理及推论; 能用符号语言准确描述公理及推论 4.掌握公理及其推论的应用 掌握公理及其推论的应用. 掌握公理及其推论的应用
公理3 公理
经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面 经过不在同一直线上的三点 有且只有一个平面 公理3应用 公理 应用 (1)确定平面的个数 确定平面的个数; 确定平面的个数 (2)作辅助平面 作辅助平面; 作辅助平面 (3)证明有关点、线共面. 证明有关点、线共面 证明有关点 实际应用 1.为什么照相机支架只用三条腿就够了 为什么照相机支架只用三条腿就够了? 为什么照相机支架只用三条腿就够了 2.为什么有的自行车后轮旁只安装一只撑脚 为什么有的自行车后轮旁只安装一只撑脚? 为什么有的自行车后轮旁只安装一只撑脚
公理3推论 公理 推论2 推论
经过两条相交直线,有且只有一个平面 经过两条相交直线 有且只有一个平面
a ∩ b = P 有且只有一个平面 α 使 a α,b α

职高数学第九章平面的基本性质 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

职高数学第九章平面的基本性质 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

【课题】9.1 平面的基本性质【教学目标】知识目标:(1)了解平面的概念、平面的基本性质;(2)掌握平面的表示法与画法.能力目标:培养学生的空间想象能力和数学思维能力.【教学重点】平面的表示法与画法.【教学难点】对平面的概念及平面的基本性质的理解.【教学设计】教材通过观察平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面等,引入平面的概念,并介绍了平面的表示法与画法.注意,平面是原始概念,原始概念是不能定义的,教材是用“光滑并且可以无限延展的图形”来描述平面.在教学中要着重指出,平面在空间是可以无限延展的.在讲“通常用平行四边形表示平面”时要向学生指出:(1) 所画的平行四边形表示它所在的整个平面,需要时可以把它延展出去;(2) 有时根据需要也可用其他平面图形,如三角形、多边形、圆、椭圆等表示平面,故加上“通常”两字;(3) 画表示水平平面的平行四边形时,通常把它的锐角画成 45 °,横边画成邻边的2倍.但在实际画图时,也不一定非按上述规定画不可;在画直立的平面时,要使平行四边形的一组对边画成铅垂线;在画其他位置的平面时,只要画成平行四边形就可以了;(4) 画两个相交平面,一定要画出交线;(5) 当用字母表示平面时,通常把表示平面的希腊字母写在平行四边形的锐角内,并且不被其他平面遮住的地方;(6) 在立体几何中,被遮住部分的线段要画成虚线或不画.“确定一个平面”包含两层意思,一是存在性,即“存在一个平面”;二是唯一性,即“只存在一个平面”.故“确定一个平面”也通常说成“有且只有一个平面”.【教学备品】教学课件.【课时安排】2课时.(90分钟) 【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题9.1 平面的基本性质*创设情境兴趣导入观察平静的湖面(图9−1(1))、窗户的玻璃面(图9−1(2))、黑板面、课桌面、墙面等,发现它们都有一个共同的特征:平坦、光滑,给我们以平面的形象,但是它们都是有限的.(1)(2)图9−1介绍质疑引导分析了解思考启发学生思考8*动脑思考探索新知【新知识】平面的概念就是从这些场景中抽象出来的.数学中的平面是指光滑并且可以无限延展的图形.平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面、课桌面、墙面等,都是平面的一部分.我们知道,直线是可以无限延伸的,通常画出直线的一部分来表示直线.同样,我们也可以画出平面的一部分来表示平面.通常用平行四边形表示平面,并用小写的希腊字母αβγ、、、来表示不同的平面.如图9−2,记作平面α、平面β.也可以用平行四边形的四个顶点的字母或两个相对顶点的字母来命名,如图9−2(1)中的平面α也可以记作平面ABCD,平面AC或平面BD.【说明】根据具体情况,有时也用其他的平面图形表示平面,如圆、三角形等.当平面水平放置的时候,通常把平行四边形的锐角画成45°,讲解说明引领分析思考理解带领学生分析过 程行为 行为 意图 间横边画成邻边的2倍长(如图9−2(1)).当平面正对我们竖直放置的时候,通常把平面画成矩形(如图9−2(2)).仔细 分析关键 语句记忆20 *巩固知识 典型例题例1 表示出正方体1111ABCD A B C D -(如图9−3)的6个面1. 【说明】如图9−3所示的正方体一般写作正方体1111ABCD A B C D -,也可以简记作正方体1A C .图9−3解 这6个面可以分别表示为:平面AC 、平面11A C 、平面1AB 、平面1BC 、平面1CD 、平面1DA . 【试一试】请换一种方法表示这6个面.说明 强调引领讲解 说明 观察 思考 主动 求解通过例题进一步领会27 *运用知识 强化练习1.举出生活中平面的实例.2.画出一个平面,写出字母并表述出来. 提问 指导 思考 口答领会知识 32 *创设情境 兴趣导入 【实验】αABC Dβ(2)图9−2(1)过程行为行为意图间把一根铅笔平放在桌面上,发现铅笔的一边就紧贴在桌面上.也就是铅笔紧贴桌面的一边上的所有的点都在桌面上(如图9−4).图9−4质疑引导分析思考启发学生思考37*动脑思考探索新知【新知识】直线与平面都可以看做点的集合.点A、B在直线l上,记作A l B l∈∈、;点A、B在平面α内,记作A Bαα∈∈、.(如图9−5)由上述实验和大量类似的事实中,归纳出平面的性质1:如果直线l上的两个点都在平面α内,那么直线l上的所有点都在平面α内.此时称直线l在平面α内或平面α经过直线l.记作lα⊆.画直线l在平面α内的图形表示时,要将直线画在平行四边形的内部(如图9−5).讲解说明引领分析思考理解带领学生分析42 *创设情境兴趣导入【观察】观察教室里墙角上的一个点,它是相邻两个墙面的公共点,可以发现,除这个点外两个墙面还有其他的公共点,并且这些公共点的集合就是这两个墙面的交线.质疑思考带领学生分析45 *动脑思考探索新知【新知识】由上述观察和大量类似的事实中,归纳出平面的性质2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,并且图9−5桌子BA铅笔过 程行为 行为 意图 间所有公共点的集合是过这个点的一条直线(如图9−6). 此时称这两个平面相交,并把所有公共点组成的直线l 叫做两个平面的交线.平面α与平面β相交,交线为l ,记作l αβ=.【说明】本章中的两个平面是指不重合的两个平面,两条直线是指不重合的两条直线.画两个平面相交的图形时,一定要画出它们的交线.图形中被遮住部分的线段,要画成虚线(如图9−7(1)),或者不画(如图9−7(2)). 【试一试】请画出两个相交的平面,并标注字母. 讲解 说明 引领 分析 仔细 分析 讲解 关键 词语思考 理解 记忆带领 学生 分析 引导 式启 发学 生得 出结 果55*创设情境 兴趣导入【实验】在桌面上只放一颗或两颗尖朝上的图钉,是否能将一块硬纸板架起?如果在桌面上放置三颗尖朝上的图钉,那么结果会怎样?质疑思考带领 学生 分析60 *动脑思考 探索新知【新知识】由上述实验和大量类似的事实中,归纳出平面的性质3:不在同一条直线上的三个点,可以确定一个平面(如图9−8).讲解图9−7图9−6过程行为行为意图间【说明】“确定一个平面”指的是“存在着一个平面,并且只存在着一个平面”.利用三角架可以将照相机放稳(图9−9),就是性质3的应用.图9−9根据上述性质,可以得出下面的三个结论.1.直线与这条直线外的一点可以确定一个平面(如图9−10(1)).2.两条相交直线可以确定一个平面(如图9−10(2)).3.两条平行直线可以确定一个平面(如图9−10(3)).(3)【试一试】请用平面的性质说明这三个结论.工人常用两根平行的木条来固定一排物品(如图9−11(1));营业员用彩带交叉捆扎礼品盒(如图9−11(2)),说明引领分析仔细分析讲解关键词语引领分析思考理解记忆理解带领学生分析引导式启发学生得出结果图9−8 Aα(1)α(2)α过 程行为 行为 意图 间都是上述结论的应用.(1) (2) 图9−11【想一想】如何用两根细绳来检查一把椅子的4条腿的下端是否在同一个平面内?仔细 分析 讲解 关键词语记忆70*巩固知识 典型例题例2 在长方体1111ABCD A B C D -(如图9−12)中,画出由A 、C 、1D 三点所确定的平面γ与长方体的表面的交线.分析 画两个相交平面的交线,关键是找出这两个平面的两个公共点.解 点A 、1D 为平面γ与平面11ADD A 的公共点,点A 、C 为平面γ与平面ABCD 的公共点,点C 、1D 为平面γ与平面11CC D D 的公共点,分别将这三个点两两连接,得到直线11AD AC CD 、、就是为由1A C D 、、三点所确定的平面γ与长方体的表面的交线(如图9−12(2)).图9−12【想一想】为什么这三条连线都画成虚线?说明强调引领讲解 说明观察 思考 主动 求解 思考 通过例题进一步领会 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点78 *运用知识 强化练习1.“平面α与平面β只有一个公共点”的说法正确吗? 2.梯形是平面图形吗?为什么?提问 巡视思考 求解了解 学生 知识γ【教师教学后记】【课题】9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质【教学目标】知识目标:(1)了解两条直线的位置关系;(2)掌握异面直线的概念与画法,直线与直线平行的判定与性质;直线与平面的位置关系,直线与平面平行的判定与性质;平面与平面的位置关系,平面与平面平行的判定与性质.能力目标:培养学生的空间想象能力和数学思维能力.【教学重点】直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质.【教学难点】异面直线的想象与理解.【教学设计】本节结合正方体模型,通过观察实验,发现两条直线的位置关系除了相交与平行外,在空间还有既不相交也不平行,不同在任何一个平面内的位置关系.由此引出了异面直线的概念.通过画两条异面直线培养学生的画图、识图能力,逐步建立空间的立体观念.空间两条直线的位置关系既是研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的开始,又是学习后两种位置关系的基础.因此,要让学生树立考虑问题要着眼于空间,克服只在一个平面内考虑问题的习惯.通过观察教室里面墙与墙的交线,引出平行直线的性质,在此基础上,提出问题“空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角的度数存在着什么关系?请通过演示进行说明.”这样安排知识的顺序,有利于学生理解和掌握所学知识.要防止学生误认为“一条直线平行于一个平面,就平行于这个平面内的所有的直线”,教学时可通过观察正方体模型和课件的演示来纠正学生的这个错误认识.平面与平面的位置关系是通过观察教室中的墙壁与地面、天花板与地面而引入的.【教学备品】教学课件.【课时安排】2课时.(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质*创设情境 兴趣导入观察图9−13所示的正方体,可以发现:棱11A B 与AD 所在的直线,既不相交又不平行,它们不同在任何一个平面内.图9−13观察教室中的物体,你能否抽象出这种位置关系的两条直线?介绍质疑引导 分析了解 思考启发 学生思考0 2 *动脑思考 探索新知在同一个平面内的直线,叫做共面直线,平行或相交的两条直线都是共面直线.不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.图9-13所示的正方体中,直线11A B 与直线AD 就是两条异面直线.这样,空间两条直线就有三种位置关系:平行、相交、异面.将两支铅笔平放到桌面上(如图9−14),抬起一支铅笔的一端(如D 端),发现此时两支铅笔所在的直线异面.图9 −14(请画出实物图)受实验的启发,我们可以利用平面做衬托,画出表示两条异面直线的图形(如图9 −15).讲解 说明 引领 分析思考 理解带领 学生 分析桌子 BA C D两支铅笔(1) (2) 图9−15 利用铅笔和书本,演示图9−15(2)的异面直线位置关系.仔细 分析关键语句 记忆5*创设情境 兴趣导入我们知道,平面内平行于同一条直线的两条直线一定平行.那么空间中平行于同一条直线的两条直线是否一定平行呢? 观察教室内相邻两面墙的交线(如图9−16).发现:1AA ∥1BB ,1CC ∥1BB ,并且有1AA ∥1CC .质疑引导 分析思考启发 学生思考7*动脑思考 探索新知由上述观察及大量类似的事实中,归纳出平行线的性质:平行于同一条直线的两条直线平行.我们经常利用这个性质来判断两条直线平行. 【想一想】空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角的度数存在着什么关系?请通过演示进行说明. 讲解 说明 引领 分析 思考 理解 带领 学生 分析 10 *创设情境 兴趣导入 将平面 内的四边形ABCD 的两条边AD 与DC ,沿着对角线AC 向上折起,将点D 折叠到1D 的位置(如图9−17).此时A 、B 、C 、1D 四个点不在同一个平面内.图9−17质疑 引领 分析思考带领 学生 分析13图9−16图9−18*运用知识强化练习1.结合教室及室内的物品,举出空间两条直线平行的例子.2.把一张矩形的纸对折两次,然后打开(如第2题图),说明为什么这些折痕是互相平行的?2为了叙述简便起见,将线段1DD 所在的直线,直接写作直线1DD ,本章教材中都采用这种表述方法.线延伸到平行四边形外(如图9−19(2)).如果一条直线与一个平面没有公共点,那么就称这条直线与这个平面平行. 直线l 与平面α平行,记作l ∥α.画直线与平面平行的图形时,要把直线画在平行四边形外,并与平行四边形的一边平行(如图9−19(3)).(1) (2)(3)这样,直线与平面的位置关系有三种:直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.直线与平面相交及直线与平面平行统称为直线在平面外.引领 分析 仔细 分析 讲解 关键 词语 思考 理解 记忆 带领 学生 分析 引导 式启 发学 生得 出结 果30*创设情境 兴趣导入在桌面上放一张白纸,在白纸上画出两条平行直线,沿着其中的一条直线将纸折起(如图9−20).观察发现:在折起的各个位置上,另一条直线始终与桌面保持平行.图9−20质疑思考引导 学生 分析32 *动脑思考 探索新知从大量实验中归纳出判定直线与平面平行的方法: 如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行. 讲解 说明 理解 记忆 带领 学生 分析 35 *巩固知识 典型例题例2 如图9−21,长方体1111ABCD A B C D -中,直线1DD 2平行于平面11BCC B 吗?为什么?lαlααl图9−21解 在长方体1111ABCD A B C D -中,因为四边形11DCC D 边是长方形,所以DD 1∥CC 1,又因为CC 1在平面BCC 1B 1内,DD 1在平面BCC 1B 1外,因此直线1DD 平行于平面11BCC B .说明 强调引领 讲解 说明观察 思考 主动 求解 通过例题进一步领会 识 点 40*创设情境 兴趣导入将铅笔放到与桌面平行的位置上, 用矩形硬纸片的面紧贴铅笔,矩形硬纸片的一边紧贴桌面(如图9−22),观察铅笔及硬纸片与桌面的交线,发现它们是平行的.图9−22(请画出实物图)质疑 引导 分析思考启发 学生思考42*动脑思考 探索新知从大量的实验与观察中,归纳出直线与平面平行的性质: 如果一条直线与一个平面平行,并且经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线与交线平行. 如图9−23所示,设直线l 为平面α与平面β的交线,直线m 在平面β内且m α∥,则m l ∥.图9-23讲解 说明 引领 分析思考 理解 带领 学生 分析45*巩固知识 典型例题例 3 在如图9−24所示的一块木料中,已知BC ∥平面1111A B C D ,BC ∥11B C ,要经过平面11A C 内的一点P 与棱BC 将说明 观察铅笔木料锯开,应当怎样画线?分析 设点P 和棱BC 确定的平面α,则EF 是α与平面1111A B C D 的交线,由于BC ∥平面1111A B C D ,故EF ∥BC ,11B C BC ∥.所以11EF B C ∥.解 画线的方法是:在平面1111A B C D 内,过点P 作直线11B C 的平行线EF ,分别交直线11A B 及直线11D C 与点E 、F ,连接EB 和FC . 强调 引领 讲解 说明思考 主动 求解通过例题进一步领会48*运用知识 强化练习1.试举出一个直线和平面平行的例子.2.请在黑板上画一条直线与地面平行,并说出所画的直线与地面平行的理由.3.如果一条直线平行于一个平面,那么这条直线是不是和这个平面内所有的直线都平行?4.说明长方体的上底面各条边与下底面平行的理由. 提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况50 *创设情境 兴趣导入教室中的墙壁与地面相交于一条直线,而天花板与地面,没有公共点.质疑思考 引导 学生 分析 52 *动脑思考 探索新知如果两个平面没有公共点,那么称这两个平面互相平行.平面α与平面β平行,记做α∥β.画两个互相平行平面的图形时,要使两个平行四边形的对应边分别平行(如图9−25).这样,空间两个平面就有两种位置关系:平行与相交.讲解 说明 引领 分析思考 理解带领 学生 分析55 *创设情境 兴趣导入进行乒乓球或台球比赛时,必需要保证台面与地面平行.技术人员利用水准器来进行检测.水准器内的玻璃管装有水,管内的水柱相当于一条直线,水准器内的水泡在中央,表示水准器所在的直线与地平面平行.把水准器在平板上交叉放图9−25 αβ图9−24置两次(如图9−26),如果两次检测,水准器内的水泡都在中央,就表示台面与地面平行,可以进行比赛,否则就需要进行调整.图9−26质疑思考引导学生分析57 *动脑思考探索新知实例中,技术人员使用的方法就是我们常用的判定平面与平面平行的方法:如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行,那么这两个平面平行.【想一想】如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面内的一条直线 , 那么这两个平面是否一定平行讲解说明思考理解带领学生分析60 *巩固知识典型例题例4设平面α内的两条相交直线m,n分别平行于另一个平面β内的两条直线k,l(如图9−27),试判断平面α,β是否平行?解因为m在β外、l在β内,且m∥l,所以直线m∥平面β.同理可得直线n∥平面β.由于m、n是平面α内两条相交直线,故可以判断α∥β.说明强调引领讲解说明观察思考主动求解通过例题进一步领会65*创设情境兴趣导入将一本书放在与桌面平行的位置,用作业本靠紧书一边,绕着这条边移动作业本,观察作业本和书的交线与作业本和桌面的交线之间的关系(如图9−28).质疑思考引导学生分析70图9−27A mnβαkl放到不同位置的本图9−28(请画出实物图) *动脑思考 探索新知由大量的观察和实验得到两个平面平行的性质:如果一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行.如图9−29所示,如果αβ∥,平面γ与α、β都相交,交线分别为m 、n ,那么m ∥n .讲解 说明 引领 分析思考 理解 带领 学生 分析75 *运用知识 强化练习1.画出下列各图形:(1)两个水平放置的互相平行的平面. (2)两个竖直放置的互相平行的平面. (3)与两个平行的平面相交的平面.2.如图所示,//αβ,M 在α与β同侧,过M 作直线a 与b ,a 分别与α、β相交于A 、B ,b 分别与、β相交于C 、D .⑴ 判断直线AC 与直线BD 是否平行;⑵ 如果 4M A =cm ,5AB =cm ,3MC =cm ,求MD 的长.提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况80 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题:异面直线的定义?质疑回答及时了解学生ba第2题图βαMACD B 桌子 书图9−29【教师教学后记】。

9.1 第2课时 平面的基本性质

9.1 第2课时 平面的基本性质



A
A
B
答:(1)错误 答:(2)错误
3、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是 AC 的中点. 判断下列命题是否正确,并说明理由:
(1) 由点A,O,C可以确定一个平面; (2)由A,C1,B1确定的平面是 ADC1B1 ;
(3)由 A,C1,B1确定的平面与由A,D,C1 确定的平面是同 一个平面.
m =__________________;

l

m
B
n
A
(4)直线 l 与直线 m 确定的平面为=_____________; (5)点A与直线 n 确定的平面为=_____________;


1、把三角板的两个顶点落在平整的桌面上时,你发现这条边与桌面有怎样的关 系? 图片展示:
A
l

B
公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
若 A ,B


AB
2、把三角板的一个顶点落在平整的桌面上时,你能看到三角板和桌面有几个交点? 三角板所在的平面和桌面相交时,三角板所在平面和桌面有怎样的关系? 图片展示:
B

A
C
公理 3 经过不在同一条直线上的三点,有且只 有一个平面。 这个公理也可以简单说成“不共线的三点确定一 个平面”
由公理3可以得到下面三个结论: 推论1:一条直线和这条直线外的一点可以确定一个平面。 推论2:两条相交直线可以确定一个平面。 推论3:两条平行直线可以确定一个平面。
总结:
公理1 面内. 公理2 直线. 公理3 推论1 推论2 推论3 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面 . 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共 如果一条直线上有两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平

平面与平面平行 第二课时课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册

平面与平面平行 第二课时课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
解 如图,分别取 AB,C1D1 的中点 M,N, 连接 A1M,MC,CN,NA1. ∵ 平 面 A1B1C1D1 ∥ 平 面 ABCD , 平 面 A1MCN∩ 平 面 A1B1C1D1=A1N,平面 ABCD∩平面 A1MCN=MC,
∴A1N∥MC.同理 A1M∥NC. ∴四边形 A1MCN 是平行四边形.
22
课堂精讲
【例 3】 如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E,F,P,Q 分别是 BC,C1D1,AD1,BD 的中点. (1)求证:PQ∥平面 DCC1D1; (2)求 PQ 的长; (3)求证:EF∥平面 BB1D1D. 所以平面 EE1F∥平面 BB1D1D. 又 EF⊂平面 EE1F, 所以 EF∥平面 BB1D1D.
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课堂精讲
【例 3】 如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E,F,P,Q 分别是 BC,C1D1,AD1,BD 的中点. (1)求证:PQ∥平面 DCC1D1; (2)求 PQ 的长; (3)求证:EF∥平面 BB1D1D.
所以 BE∥FO1,BE=FO1, 所以四边形 BEFO1 为平行四边形, 所以 EF∥BO1. 又 EF⊄平面 BB1D1D,BO1⊂平面 BB1D1D, 所以 EF∥平面 BB1D1D.
线线平行
且 A′D′∩AA′=A′,
∴平面 AA′D′D∥平面 BB′C′C.
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面面平行
课堂精讲
【例 2】 如图所示,平面四边形 ABCD 的四个顶点 A,B,C, D 均在平行四边形 A′B′C′D′外,且 AA′,BB′,CC′,DD′互相 平行,求证:四边形 ABCD 是平行四边形.
又∵平面 ABCD∩平面 AA′D′D=AD, 平面 ABCD∩平面 BB′C′C=BC, ∴AD∥BC. 同理可证 AB∥CD.∴四边形 ABCD 是平行四边形.

平面基本性质第二课时PPT课件

平面基本性质第二课时PPT课件
因为点A、B、C分别在直线a、b上,所以它们在过a、 b的平面内。由由公理3,过A、B、C三点的平面只有一个, 过直线a、b的平面只有一个。
平面的基本性质 推论3:经过两条平行直线,有且只 有一个平面.
b
a
a // b 有且只有一个平面,使a ,b
推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面
(3)空间四点中,三点共线是这四个点共面的( ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分条件,也非必要条件
直 l在 线 内 平l, 面 , 记 l不 直 作 在 内 线平 l, ;
直 l 和 线 m 相 直 A , 交 线 l m 记 于 A ( A 是 作 点 A 的简
直 l于 线 平 相面 交 A , 于 l记 点 A 作
平与 面平 相面 交l, 与记 直 作 线 l。
公理1:如果一条直线上的两个点在 平面内,那么这条直线上所有的点 都在这个平面内.
AB
符号语言 作用
怎样的直线a我们就说它在平面外?
平面的基本性质
公理2:如果两个平面有一个公共点, 那么它们还有其他的公共点,且所 有的这些点的集合是一条过这个点 的直线
符号语言 作用
l
P
平面的基本性质 公理3:经过不在同一条直线上的三 个点,有且只有一个平面.
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面
求证:过点A和直线a可以确定一个平面
唯一性: 如果经过点A和直线a的平面还有一个平面β,那么
A∈β, a β,因为B∈a,C∈a,所以B∈β,C∈β.(公理1)故不
共线的三点A,B,C既在平面α内又在平面β内.所以平面α和平面 β重合.(公理3)
(A)0 (B)1 (C)2 (D)0或无数

中职数学基础模块9.1.2平面的基本性质教学设计教案人教版

中职数学基础模块9.1.2平面的基本性质教学设计教案人教版

课时教学设计首页(试用)第页(总页)课时教学流程☆补充设计☆课时教学流程点M在平面AC内M乏平面AC点A,不在平面AC内A它平面AC 直线AB与直线BC交于点B AB n BC=B 直线AB在平面AC内AB二平面AC 直线AA不在平面AC内AAQ:平面AC学生观察理解,条件容许时可作为练习,让学生分小组讨论完成.与区别.基本性质2如果两个不重合的平面有一个公共点,练习二观察长方体,你能发现长方体中两个相交平面的公共直线吗?基本性质3过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.推论1经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面.练习三在正方体ABCD-A I B I C I D I中,0是AC的中点.判断下列命题是否正确,并说明理由:⑴ 由点A, O, C可以确定一个平面;(2)由A, C I,B I确定的平面是平面ADC I B I;(3)由A, C I,B I确定的平面与由A, D, C I确定的平面是同一个平面.教师讲解基本性质2, 同时教会学生怎样画两个平面相交.学生观察长方体,回答问题.教师创设实际情境:生活中经常看到用三角架支撑照相机.并让学生找出生活中类似的现象.例如自行车、门等.教师强调存在性和唯一性.学生在教师的引导下,理解三个推论.教师逐个结合学生身边的现象或实例讲解三个推论.如教师可结合学生身边熟悉的现象,提出问题:木匠用两根细绳分别沿桌子四条腿底端的对角线拉直,以判断桌子四条腿的底端是在同一平面内,其依据是什教师结合生活经验启发学生.在这个过程中,逐步培养学生空间想象能力.学生体验生活中处处存在数学知识.学生对于“有且只有一个”进行理解.课时教学流程课时教学设计尾页(试用)板书设计9.1.2平面的基本性质作业设计教材P113练习B组第2题.教学后记☆补充设计☆1.平面的基本性质1以及推论4•例题与练习2.平面的基本性质2以及推论3.平面的基本性质3以及推论。

苏教版高中数学必修教案立体几何初步平面的基本性质(二)

苏教版高中数学必修教案立体几何初步平面的基本性质(二)

第6课时平面的基本性质(二)教学目标:使学生进一步掌握平面的画法、表示方法;会用集合符号语言推证简单命题;掌握确定平面的依据。

教学重点:公理的理解与运用。

教学难点:用符号语言推证简单命题。

教学过程:一、复习巩固:1、复习公理1、2;2、将下列命题改写成语言叙述,并判断它们是否正确:⑴当A∈α,B∉α时,线段AB⊂α;⑵A∈α,B∈α,C∈AB,则C∈α;⑶A∈α,A∈β,A∈а,则а=α∩β。

3、如图,△ABC的两边AB、AC分别与平面α交于点D、E,R若直线BC与平面α交于点F,请画出F的位置。

二、新课讲解:1、公理3及三个推论:(1)问题:经过一点有几个平面?经过二点、三点、四点?……。

(注意“经过”的意思),四边形一定是平面图形吗?(2)由上述讨论,归纳出公理3:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(或叙述为:不共线的三点确定一个平面)。

强调:⑴“不共线”,⑵这个公理是确定一个平面的依据。

过A、B、C三点的平面又可记为“平面ABC”。

(3)推论:推论一:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面。

从“存在性”和“唯一性”两方面口述证明本推理的正确性,以及和公理3的关系。

证明:(1)存在性点A是直线a外的一点,在a上任取两点B、C,根据公理3,经过不共线的三点A、B、C有一个平面,设为平面α。

因为点B、C都在平面α内,所以根据公理1,直线a在平面α内,即平面α是经过直线a和点A的平面。

(2)唯一性(反证法)假设过直线a和点A还有另一个平面β,因为点B、C在直线a上,所以点B、C在平面β内,即不共线的三点A、B、C在平面β内,这样过不共线的三点A、B、C有两个平面α、β,这与公理3矛盾,所以过直线a和点A只有一个平面。

由(1)、(2)可知,命题成立。

说明:唯一性问题一般可以用反证法。

推论二:两条相交直线确定一个平面;推论三:两条平行直线确定一个平面。

(直接提出即可,也可证明)说明:在立体几何中,平面几何中的定义、公理、定理等,对于同一个平面内的图形仍然成立。

空间点、直线、平面之间的位置关系(2个课时)(课件)(人教A版2019 必修第二册)

空间点、直线、平面之间的位置关系(2个课时)(课件)(人教A版2019 必修第二册)

作用:证明点共线、线共点.
证:P,Q,R三点共线 证:AB,CD,l三线共点
点共线的证明
课本P132-8.已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,
AC∩α=R,BC∩α=Q,求证:P,Q,R三点共线.
证明:∵ AB P,P 且P AB,
又∵ AB 平面ABC,P 平面ABC.
设平面ABC 平面 l,P l.
l
A
①直线l在平面α内:直线l上的所有点都在平面α上. 记为l
l ②直线l与平面α相交:直线l与平面α只有一个公共点A. 记为l A ③直线l与平面α平行:直线l与平面α没有公共点.记为l //.
3.点、直线、平面的关系
a
(4)直线与直线的位置关系:
o
b
共面直线平 相行 交::
a a
// b b
D
αβ
C
空间四边形
例.三个平面最多能把空间分成____部分,最少能把空 间分成____部分。 [考]三个平面能把空间分成4或6或7或8部分.
面与面的交线
例.正方体中,平面ACC1与平面BDC1的交线是_____.
D1C1基本Fra bibliotek实2.若一条直线
A1
B1
上的两点在一个平面内,
那么这条直线在此平面
内.
(√) P131-4.直线a⊂α,b⊂β,α//β,判断直线a,b的位置关系. 平行或异面
[考]若a⊂α,b⊂β,α//β,则a与b平行或异面.
P131-132习题8.4
2.若直线a不平行于平面α,且a⊂α,则下列结论成立的是( B ) a
A.α内的所有直线与a是异面直线 B.α内不存在与a平行的直线
O
(a
b)
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例题讲解
解法二:因为 在直线 和直线BC确定 解法二 因为A在直线 外 , 所以过点 和直线 确定 因为 在直线BC外 所以过点A和直线 ⊂ 平面α. 推论 推论1) 因为A∈ , ∈ ,所以B∈ 故 平面 (推论 ,因为 ∈α,B∈BC,所以 ∈α.故AB α,同 , 共面. 理AC α,所以 ,AC,BC共面 , ⊂ 所以AB, , 共面 解法三:因为 因为A, , 三点不在一条直线上 所以过A, 三点不在一条直线上, 解法三 因为 ,B,C三点不在一条直线上,所以过 , B, C三点可以确定平面 (公理 因为 ∈α,B∈α, 所以 三点可以确定平面α. 公理3) , 三点可以确定平面 公理 因为A∈ , ∈ , ⊂公理 同理BC α,AC α,所以 ,BC, ⊂ AB α.(公理 同理 公理1)同理 , ,所以AB, , ⊂ CA三直线共面 三直线共面. 三直线共面
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点, 推论 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面 求证:过点 和直线 和直线a可以确定一个平面 求证:过点A和直线 可以确定一个平面
唯一性: 如果经过点A和直线 的平面还有一个平面β, 和直线a的平面还有一个平面 唯一性: 如果经过点A和直线a的平面还有一个平面β,那么 A∈β, B ∈ β,因为 ∈α,C∈α,所以 ∈β,C∈β.(公理 故 公理1)故 ∈ , ,因为B∈ , ∈ ,所以B∈ , ∈ 公理 不共线的三点A, , 既在平面 内又在平面β内 所以平面 既在平面α内又在平面 所以平面α和平 不共线的三点 ,B,C既在平面 内又在平面 内.所以平面 和平 重合.(公理 面β重合 公理 重合 公理3) 所以经过点A和直线 有且只有一个平面 所以经过点 和直线a有且只有一个平面 和直线
平面的基本性质第二课时
复习回顾
公 理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点 所有的点都在这个平面 那么这条直线上所有的点都在这个平面 内.
A ∈ l , B ∈ l , A ∈α , B ∈α ⇒ l ⊂ α
公理2 如果两个平面有一个公共点, 公理 如果两个平面有一个公共点,那么它们还 有其他公共点, 有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一 条过这个公共点的直线。 条过这个公共点的直线。
证共面问题,可先由公理3(或推论)证某些元素确定一个平面, 证共面问题,可先由公理 (或推论)证某些元素确定一个平面,再证其余元素 都在此平面内;或者指出给定的元素中的某些元素在一个平面内, 都在此平面内;或者指出给定的元素中的某些元素在一个平面内,再证两个平面 重合. 重合.
怎样的直线a我们就说它在平面外? 怎样的直线a我们就说它在平面外?
其它解法 其它解法
反馈练习
1.三条直线两两相交,由这三条直线所确定平面的 三条直线两两相交, 三条直线两两相交 个数是( 个数是( D ) A .1 B .2 C .3 D .1 或3 空间四点中, 2.空间四点中,三点共线是这四个点共面的( A ) 空间四点中 三点共线是这四个点共面的( A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分条件 既非充分条件, C.充分必要条件 D.既非充分条件,也非必要条件 下列各个条件中, 3.下列各个条件中,可以确定一个平面的是( D ) 下列各个条件中 可以确定一个平面的是( A.三个点 B.两条不重合的直线 A.三个点 B.两条不重合的直线 C.一个点和一条直线 D.不共点的两两相交的三条直线 C.一个点和一条直线 D.不共点的两两相交的三条直线 4.怎样用两根拉紧的细线来检验桌子的四条腿的底端 怎样用两根拉紧的细线来检验桌子的四条腿的底端 是否共面? 是否共面?
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点, 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点,有 且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线, 相交直线 推论 经过两条相交直线,有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线, 平行直线 推论 经过两条平行直线,有且只有一个平面
例题讲解
直线AB BC、CA两两相交 交点分别为A AB、 两两相交, 例1 直线AB、BC、CA两两相交,交点分别为A、B、C, 判断这三条直线是否共面,并说明理由。 如图) 判断这三条直线是否共面,并说明理由。(如图)
推论3 经过两条平行直线, 平行直线 推论 经过两条平行直线,有且只有一个平面
证明:设直线a 由平行线的定义, 证明:设直线a、b满足a平行于b ,由平行线的定义, 满足a平行于b 直线a 在同一平面内,这就是说,过直线a 直线a、b在同一平面内,这就是说,过直线a、b有平 面α。 设点A为直线a上任一点,则点A在直线b 设点A为直线a上任一点,则点A在直线b外,点A 和直线b在过直线a 的平面α 由公理3的推论1 和直线b在过直线a、b的平面α内,由公理3的推论1, 过点A和直线b的平面只有一个。过直线a 过点A和直线b的平面只有一个。过直线a、b的平面只 有一个。 有一个。
小结】 五、【小结】
1.公理 的三个推论: 公理3的三个推论 公理 的三个推论: 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点, 推论 经过一条直线和这条直线外的一点,有且 只有一个平面 推论2 经过两条相交直线, 相交直线 推论 经过两条相交直线,有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线, 平行直线 推论 经过两条平行直线,有且只有一个平面 2.公理 及其三个推论的作用是确定平面 公理3及其三个推论的作用是 公理 及其三个推论的作用是确定平面 3.证明若干个点、线共面的方法. 证明若干个点、 证明若干个点 线共面的方法. (先证其中某些点、 线确定一个平面 再证剩余点 、 先证其中某些点、 再证剩余点、 先证其中某些点 线确定一个平面,再证剩余点 线落在此平面内) 线落在此平面内
同学们 再见
推论2 经过两条相交直线, 相交直线 推论 经过两条相交直线,有且只有一个平面
α
证明:设直线a、b相交于点C,在a、b上分别取不同于点C 证明:设直线a 相交于点C,在 上分别取不同于点C C, 的点A和点B 是不在同一条直线上的三点( 的点A和点B,点A,B,C是不在同一条直线上的三点(否 则与a 为两条相交直线矛盾)由公理3 则与a、b为两条相交直线矛盾)由公理3,过A、B、C三点 有且只有一个平面α 因为a 各有两点在平面α 有且只有一个平面α,因为a、b各有两点在平面α内,所 以直线a 因此过直线a 有平面α 以直线a、b在α内,因此过直线a、b有平面α。 因为点A、B、C分别在直线a、b上,所以它们在过a、 因为点A 分别在直线a 所以它们在过a 的平面内。由由公理3 三点的平面只有一个, b的平面内。由由公理3,过A、B、C三点的平面只有一个, 过直线a 的平面只有一个。 过直线a、b的平面只有一个。
怎样用两根拉紧的细 线来检验桌子的四条 腿的底端是否共面? 腿的底端是否共面?
经过一条直线和这条直线外的一点, 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面
空间四点中,三点共线是这四个点共面的 空间四点中,三点共线是这四个点共面的(
)
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 . . C.充分必要条件 . D.既非充分条件,也非必要条件 .既非充分条件,
公理3 经过不在同一条直线上的三点, 公理 经过不在同一条直线上的三点,有 且只有一个平面
A, B, C不共线 ⇒ A, B, C确定一平面
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 一条直线上的两点在一个平面内 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点 所有的点都在这个平面内 那么这条直线上所有的点都在这个平面内 公理2 如果两个平面有一个公共点, 两个平面有一个公共点 公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们 还有其他公共点, 还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一 条过这个公共点的直线。 条过这个公共点的直线。 公理3 经过不在同一条直线上的三点 三点, 公理3 经过不在同一条直线上的三点,有且只 有一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点, 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点, 有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线, 相交直线 推论 经过两条相交直线,有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线, 平行直线 推论 经过两条平行直线,有且只有一个平面
这三条直线共面,因为直线AB和直线 相交于点A, 和直线AC相交于点 解:这三条直线共面,因为直线 和直线 相交于点 ,所以 直线AB和 确定一个 平面α. 推论 推论2) 直线 和AC确定一个 平面 (推论 因为B∈ , ∈ ,所以B∈ , ∈ , α 公理 公理1) 因为 ∈AB,C∈AC,所以 ∈α,C∈α,故BC ⊂(公理 因此直线AB, , 都在平面 都在平面α内 即它们共面. 因此直线 ,BC,CA都在平面 内,即它们共面
三条直线两两相交,由这三条直线所确 三条直线两两相交, 定平面的个数是( 定平面的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .1 或3
下列各个条件中, 下列各个条件中,可以确定一个平面的是
A.三个点 A.三个点 B.两条不重合的直线 B.两条不重合的直线
看一看
C.一个点和一条直线 D.不共点的两两相交的三条直线 C.一个点和一条直线 D.不共点的两两相交的三条直线
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