平面的基本性质第2课时
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平面的基本性质第二课时
复习回顾
公 理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点 所有的点都在这个平面 那么这条直线上所有的点都在这个平面 内．
A ∈ l , B ∈ l , A ∈α , B ∈α ⇒ l ⊂ α
公理2 如果两个平面有一个公共点， 公理 如果两个平面有一个公共点，那么它们还 有其他公共点， 有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一 条过这个公共点的直线。 条过这个公共点的直线。
推论3 经过两条平行直线， 平行直线 推论 经过两条平行直线，有且只有一个平面
证明：设直线a 由平行线的定义， 证明：设直线a、b满足a平行于b ，由平行线的定义， 满足a平行于b 直线a 在同一平面内，这就是说，过直线a 直线a、b在同一平面内，这就是说，过直线a、b有平 面α。 设点A为直线a上任一点，则点A在直线b 设点A为直线a上任一点，则点A在直线b外，点A 和直线b在过直线a 的平面α 由公理3的推论1 和直线b在过直线a、b的平面α内，由公理3的推论1， 过点A和直线b的平面只有一个。过直线a 过点A和直线b的平面只有一个。过直线a、b的平面只 有一个。 有一个。
证共面问题，可先由公理3（或推论）证某些元素确定一个平面， 证共面问题，可先由公理 （或推论）证某些元素确定一个平面，再证其余元素 都在此平面内；或者指出给定的元素中的某些元素在一个平面内， 都在此平面内；或者指出给定的元素中的某些元素在一个平面内，再证两个平面 重合． 重合．
怎样的直线a我们就说它在平面外？ 怎样的直线a我们就说它在平面外？
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点， 推论 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 求证：过点 和直线 和直线a可以确定一个平面 求证：过点A和直线 可以确定一个平面
唯一性: 如果经过点A和直线 的平面还有一个平面β， 和直线a的平面还有一个平面 唯一性: 如果经过点A和直线a的平面还有一个平面β，那么 A∈β， B ∈ β，因为 ∈α，C∈α，所以 ∈β，C∈β.(公理 故 公理1)故 ∈ ， ，因为B∈ ， ∈ ，所以B∈ ， ∈ 公理 不共线的三点A， ， 既在平面 内又在平面β内 所以平面 既在平面α内又在平面 所以平面α和平 不共线的三点 ，B，C既在平面 内又在平面 内.所以平面 和平 重合.(公理 面β重合 公理 重合 公理3) 所以经过点A和直线 有且只有一个平面 所以经过点 和直线a有且只有一个平面 和直线
其它解法 其它解法
反馈练习
1.三条直线两两相交，由这三条直线所确定平面的 三条直线两两相交， 三条直线两两相交 个数是（ 个数是（ D ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．1 或3 空间四点中， 2.空间四点中，三点共线是这四个点共面的( A ) 空间四点中 三点共线是这四个点共面的( A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分条件 既非充分条件， C.充分必要条件 D.既非充分条件，也非必要条件 下列各个条件中， 3.下列各个条件中，可以确定一个平面的是( D ) 下列各个条件中 可以确定一个平面的是( A.三个点 B.两条不重合的直线 A.三个点 B.两条不重合的直线 C.一个点和一条直线 D.不共点的两两相交的三条直线 C.一个点和一条直线 D.不共点的两两相交的三条直线 4.怎样用两根拉紧的细线来检验桌子的四条腿的底端 怎样用两根拉紧的细线来检验桌子的四条腿的底端 是否共面？ 是否共面？
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点， 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有 且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线， 相交直线 推论 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线， 平行直线 推论 经过两条平行直线，有且只有一个平面
例题讲解
直线AB BC、CA两两相交 交点分别为A AB、 两两相交， 例1 直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C， 判断这三条直线是否共面，并说明理由。 如图) 判断这三条直线是否共面，并说明理由。(如图)
同学们 再见
例题讲解
解法二:因为 在直线 和直线BC确定 解法二 因为A在直线 外 ， 所以过点 和直线 确定 因为 在直线BC外 所以过点A和直线 ⊂ 平面α. 推论 推论1) 因为A∈ ， ∈ ，所以B∈ 故 平面 (推论 ，因为 ∈α，B∈BC，所以 ∈α.故AB α，同 ， 共面. 理AC α，所以 ，AC，BC共面 ， ⊂ 所以AB， ， 共面 解法三:因为 因为A， ， 三点不在一条直线上 所以过A， 三点不在一条直线上， 解法三 因为 ，B，C三点不在一条直线上，所以过 ， B， C三点可以确定平面 (公理 因为 ∈α，B∈α， 所以 三点可以确定平面α. 公理3) ， 三点可以确定平面 公理 因为A∈ ， ∈ ， ⊂公理 同理BC α，AC α，所以 ，BC， ⊂ AB α.(公理 同理 公理1)同理 ， ，所以AB， ， ⊂ CA三直线共面 三直线共面. 三直线共面
公理3 经过不在同一条直线上的三点， 公理 经过不在同一条直线上的三点，有 且只有一个平面
A, B, C不共线 ⇒ A, B, C确定一平面
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 一条直线上的两点在一个平面内 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点 所有的点都在这个平面内 那么这条直线上所有的点都在这个平面内 公理2 如果两个平面有一个公共点， 两个平面有一个公共点 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们 还有其他公共点， 还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一 条过这个公共点的直线。 条过这个公共点的直线。 公理3 经过不在同一条直线上的三点 三点， 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只 有一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点， 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点， 有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线， 相交直线 推论 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线， 平行直线 推论 经过两条平行直线，有且只有一个平面
小结】 五、【小结】
1.公理 的三个推论： 公理3的三个推论 公理 的三个推论： 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点， 推论 经过一条直线和这条直线外的一点，有且 只有一个平面 推论2 经过两条相交直线， 相交直线 推论 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线， 平行直线 推论 经过两条平行直线，有且只有一个平面 2.公理 及其三个推论的作用是确定平面 公理3及其三个推论的作用是 公理 及其三个推论的作用是确定平面 3.证明若干个点、线共面的方法． 证明若干个点、 证明若干个点 线共面的方法． (先证其中某些点、 线确定一个平面 再证剩余点 、 先证其中某些点、 再证剩余点、 先证其中某些点 线确定一个平面,再证剩余点 线落在此平面内) 线落在此平面内
怎样用两根拉紧的细 线来检验桌子的四条 腿的底端是否共面？ 腿的底端是否共面？
经过一条直线和这条直线外的一点， 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面
空间四点中，三点共线是这四个点共面的 空间四点中，三点共线是这四个点共面的(
)
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 ． ． C．充分必要条件 ． D．既非充分条件，也非必要条件 ．既非充分条件，
推论2 经过两条相交直线， 相交直线 推论 经过两条相交直线，有且只有一个平面
百度文库
α
证明：设直线a、b相交于点C,在a、b上分别取不同于点C 证明：设直线a 相交于点C,在 上分别取不同于点C C, 的点A和点B 是不在同一条直线上的三点（ 的点A和点B，点A，B，C是不在同一条直线上的三点（否 则与a 为两条相交直线矛盾）由公理3 则与a、b为两条相交直线矛盾）由公理3，过A、B、C三点 有且只有一个平面α 因为a 各有两点在平面α 有且只有一个平面α，因为a、b各有两点在平面α内，所 以直线a 因此过直线a 有平面α 以直线a、b在α内，因此过直线a、b有平面α。 因为点A、B、C分别在直线a、b上，所以它们在过a、 因为点A 分别在直线a 所以它们在过a 的平面内。由由公理3 三点的平面只有一个， b的平面内。由由公理3，过A、B、C三点的平面只有一个， 过直线a 的平面只有一个。 过直线a、b的平面只有一个。
这三条直线共面，因为直线AB和直线 相交于点A， 和直线AC相交于点 解：这三条直线共面，因为直线 和直线 相交于点 ，所以 直线AB和 确定一个 平面α. 推论 推论2) 直线 和AC确定一个 平面 (推论 因为B∈ ， ∈ ，所以B∈ ， ∈ ， α 公理 公理1) 因为 ∈AB，C∈AC，所以 ∈α，C∈α，故BC ⊂(公理 因此直线AB， ， 都在平面 都在平面α内 即它们共面. 因此直线 ，BC，CA都在平面 内，即它们共面
三条直线两两相交，由这三条直线所确 三条直线两两相交， 定平面的个数是（ 定平面的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．1 或3
下列各个条件中， 下列各个条件中，可以确定一个平面的是
A.三个点 A.三个点 B.两条不重合的直线 B.两条不重合的直线
看一看
C.一个点和一条直线 D.不共点的两两相交的三条直线 C.一个点和一条直线 D.不共点的两两相交的三条直线
复习回顾
公 理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点 所有的点都在这个平面 那么这条直线上所有的点都在这个平面 内．
A ∈ l , B ∈ l , A ∈α , B ∈α ⇒ l ⊂ α
公理2 如果两个平面有一个公共点， 公理 如果两个平面有一个公共点，那么它们还 有其他公共点， 有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一 条过这个公共点的直线。 条过这个公共点的直线。
推论3 经过两条平行直线， 平行直线 推论 经过两条平行直线，有且只有一个平面
证明：设直线a 由平行线的定义， 证明：设直线a、b满足a平行于b ，由平行线的定义， 满足a平行于b 直线a 在同一平面内，这就是说，过直线a 直线a、b在同一平面内，这就是说，过直线a、b有平 面α。 设点A为直线a上任一点，则点A在直线b 设点A为直线a上任一点，则点A在直线b外，点A 和直线b在过直线a 的平面α 由公理3的推论1 和直线b在过直线a、b的平面α内，由公理3的推论1， 过点A和直线b的平面只有一个。过直线a 过点A和直线b的平面只有一个。过直线a、b的平面只 有一个。 有一个。
证共面问题，可先由公理3（或推论）证某些元素确定一个平面， 证共面问题，可先由公理 （或推论）证某些元素确定一个平面，再证其余元素 都在此平面内；或者指出给定的元素中的某些元素在一个平面内， 都在此平面内；或者指出给定的元素中的某些元素在一个平面内，再证两个平面 重合． 重合．
怎样的直线a我们就说它在平面外？ 怎样的直线a我们就说它在平面外？
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点， 推论 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 求证：过点 和直线 和直线a可以确定一个平面 求证：过点A和直线 可以确定一个平面
唯一性: 如果经过点A和直线 的平面还有一个平面β， 和直线a的平面还有一个平面 唯一性: 如果经过点A和直线a的平面还有一个平面β，那么 A∈β， B ∈ β，因为 ∈α，C∈α，所以 ∈β，C∈β.(公理 故 公理1)故 ∈ ， ，因为B∈ ， ∈ ，所以B∈ ， ∈ 公理 不共线的三点A， ， 既在平面 内又在平面β内 所以平面 既在平面α内又在平面 所以平面α和平 不共线的三点 ，B，C既在平面 内又在平面 内.所以平面 和平 重合.(公理 面β重合 公理 重合 公理3) 所以经过点A和直线 有且只有一个平面 所以经过点 和直线a有且只有一个平面 和直线
其它解法 其它解法
反馈练习
1.三条直线两两相交，由这三条直线所确定平面的 三条直线两两相交， 三条直线两两相交 个数是（ 个数是（ D ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．1 或3 空间四点中， 2.空间四点中，三点共线是这四个点共面的( A ) 空间四点中 三点共线是这四个点共面的( A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分条件 既非充分条件， C.充分必要条件 D.既非充分条件，也非必要条件 下列各个条件中， 3.下列各个条件中，可以确定一个平面的是( D ) 下列各个条件中 可以确定一个平面的是( A.三个点 B.两条不重合的直线 A.三个点 B.两条不重合的直线 C.一个点和一条直线 D.不共点的两两相交的三条直线 C.一个点和一条直线 D.不共点的两两相交的三条直线 4.怎样用两根拉紧的细线来检验桌子的四条腿的底端 怎样用两根拉紧的细线来检验桌子的四条腿的底端 是否共面？ 是否共面？
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点， 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有 且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线， 相交直线 推论 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线， 平行直线 推论 经过两条平行直线，有且只有一个平面
例题讲解
直线AB BC、CA两两相交 交点分别为A AB、 两两相交， 例1 直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C， 判断这三条直线是否共面，并说明理由。 如图) 判断这三条直线是否共面，并说明理由。(如图)
同学们 再见
例题讲解
解法二:因为 在直线 和直线BC确定 解法二 因为A在直线 外 ， 所以过点 和直线 确定 因为 在直线BC外 所以过点A和直线 ⊂ 平面α. 推论 推论1) 因为A∈ ， ∈ ，所以B∈ 故 平面 (推论 ，因为 ∈α，B∈BC，所以 ∈α.故AB α，同 ， 共面. 理AC α，所以 ，AC，BC共面 ， ⊂ 所以AB， ， 共面 解法三:因为 因为A， ， 三点不在一条直线上 所以过A， 三点不在一条直线上， 解法三 因为 ，B，C三点不在一条直线上，所以过 ， B， C三点可以确定平面 (公理 因为 ∈α，B∈α， 所以 三点可以确定平面α. 公理3) ， 三点可以确定平面 公理 因为A∈ ， ∈ ， ⊂公理 同理BC α，AC α，所以 ，BC， ⊂ AB α.(公理 同理 公理1)同理 ， ，所以AB， ， ⊂ CA三直线共面 三直线共面. 三直线共面
公理3 经过不在同一条直线上的三点， 公理 经过不在同一条直线上的三点，有 且只有一个平面
A, B, C不共线 ⇒ A, B, C确定一平面
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 一条直线上的两点在一个平面内 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点 所有的点都在这个平面内 那么这条直线上所有的点都在这个平面内 公理2 如果两个平面有一个公共点， 两个平面有一个公共点 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们 还有其他公共点， 还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一 条过这个公共点的直线。 条过这个公共点的直线。 公理3 经过不在同一条直线上的三点 三点， 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只 有一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点， 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点， 有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线， 相交直线 推论 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线， 平行直线 推论 经过两条平行直线，有且只有一个平面
小结】 五、【小结】
1.公理 的三个推论： 公理3的三个推论 公理 的三个推论： 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点， 推论 经过一条直线和这条直线外的一点，有且 只有一个平面 推论2 经过两条相交直线， 相交直线 推论 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线， 平行直线 推论 经过两条平行直线，有且只有一个平面 2.公理 及其三个推论的作用是确定平面 公理3及其三个推论的作用是 公理 及其三个推论的作用是确定平面 3.证明若干个点、线共面的方法． 证明若干个点、 证明若干个点 线共面的方法． (先证其中某些点、 线确定一个平面 再证剩余点 、 先证其中某些点、 再证剩余点、 先证其中某些点 线确定一个平面,再证剩余点 线落在此平面内) 线落在此平面内
怎样用两根拉紧的细 线来检验桌子的四条 腿的底端是否共面？ 腿的底端是否共面？
经过一条直线和这条直线外的一点， 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面
空间四点中，三点共线是这四个点共面的 空间四点中，三点共线是这四个点共面的(
)
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 ． ． C．充分必要条件 ． D．既非充分条件，也非必要条件 ．既非充分条件，
推论2 经过两条相交直线， 相交直线 推论 经过两条相交直线，有且只有一个平面
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α
证明：设直线a、b相交于点C,在a、b上分别取不同于点C 证明：设直线a 相交于点C,在 上分别取不同于点C C, 的点A和点B 是不在同一条直线上的三点（ 的点A和点B，点A，B，C是不在同一条直线上的三点（否 则与a 为两条相交直线矛盾）由公理3 则与a、b为两条相交直线矛盾）由公理3，过A、B、C三点 有且只有一个平面α 因为a 各有两点在平面α 有且只有一个平面α，因为a、b各有两点在平面α内，所 以直线a 因此过直线a 有平面α 以直线a、b在α内，因此过直线a、b有平面α。 因为点A、B、C分别在直线a、b上，所以它们在过a、 因为点A 分别在直线a 所以它们在过a 的平面内。由由公理3 三点的平面只有一个， b的平面内。由由公理3，过A、B、C三点的平面只有一个， 过直线a 的平面只有一个。 过直线a、b的平面只有一个。
这三条直线共面，因为直线AB和直线 相交于点A， 和直线AC相交于点 解：这三条直线共面，因为直线 和直线 相交于点 ，所以 直线AB和 确定一个 平面α. 推论 推论2) 直线 和AC确定一个 平面 (推论 因为B∈ ， ∈ ，所以B∈ ， ∈ ， α 公理 公理1) 因为 ∈AB，C∈AC，所以 ∈α，C∈α，故BC ⊂(公理 因此直线AB， ， 都在平面 都在平面α内 即它们共面. 因此直线 ，BC，CA都在平面 内，即它们共面
三条直线两两相交，由这三条直线所确 三条直线两两相交， 定平面的个数是（ 定平面的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．1 或3
下列各个条件中， 下列各个条件中，可以确定一个平面的是
A.三个点 A.三个点 B.两条不重合的直线 B.两条不重合的直线
看一看
C.一个点和一条直线 D.不共点的两两相交的三条直线 C.一个点和一条直线 D.不共点的两两相交的三条直线