任意角和弧度制知识点和练习
教师版__任意角和弧度制知识点和练习
9.一扇形半径长与弧长之比是3：，则该扇形所含弓形面积与该扇形的
面积之比为（ ）
（A）（B）（C） (D)
针对练习
1．下列角中终边与330°相同的角是（ ）
Α.30° B.-30° C.630° D.-630°
2．下列命题正确的是（ ）
A.终边相同的角一定相等 B.第一象限的角都是锐角。 C.锐角都是第一象
12．已知是第二象限角，且则的范围是
.
三、解答题
13. 在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象
限角？
（1）
（2）
（3）
14．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（用弧度制表示）
（1）
（2）
（3）
于的角是锐角。
其中正确的命题序号是
。
例2：写出终边在直线上的角的集合；
练习：写出终边在直线上的角的集合。 例3： 求两个集合的交集 已知集合，， 练习：1、集合，，则等于（ ）
A、 B、 C、 D、 2、集合，，则等于（ ） （A） （B） （C） （D） 3、，求 例4：判断下列角的集合的关系： 已知集合集合,则（ ）
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B．第一象限的角是锐角
C．第二象限的角比第一象限的角大 D．角α是第四象限角的充要条件 是2kπ－
＜α＜2kπ(k∈Z) 14．设k∈Z，下列终边相同的角是 （ ）
A．（2k+1）·180°与（4k±1）·180° B．k·90°与k·180°+90° C．k·180°+30°与k·360°±30° D．k·180°+60°与k·60° 15．若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边 （ ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．以上 都不对 16．设集合M={α|α=
高一任意角与弧度制题型练习(全)
任意角知识梳理一、角的概念的推广1.角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角．①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．例如，画出下列各角：，，．2.在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角．二、终边相同的角的集合设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为．集合的每一个元素都与的终边相同，当时，对应元素为．例如，如图，角、角和角都是以射线为终边的角，它们是终边相同的角．特别提醒：为任意角，“”这一条件不能漏；与中间用“”连接，可理解成；当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．三、区间角、区域角1.区间角、区域角的定义介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如．终边介于某两角终边之间的角的几何叫做区域角，显然区域角包括无数个区间角．2.区域角的写法（1）若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，然后在它的两端分别加上“”，右端末注明“”即可．（2）若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写区域角时，可以先写出终边落在一个扇形区域内的一个区间角，在此区间角的两端分别加上“”，右端末注明“”即可．例如，求终边落在图中阴影内（包括边界）的角的集合，可先求落在第一象限内的区间角，故终边落在图中阴影内（包括边界）的角的集合为．3.各象限角的集合象限角象限角的集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角四、倍角和分角问题已知角的终边所在的象限，求的终边所在象限．1.代数法由的范围求出的范围．通过分类讨论把写成的形式，然后判断的终边所在的象限．2.几何法画出区域：将坐标系每个象限等分，得个区域．标号：自轴正向起，沿逆时针方向把每个区域依次标上、、、，如图所示（此时）．确定区域：找出与角的终边所在象限标号一致的区域，即为所求．题型训练题型一任意角的概念1.下列四个命题中，正确的是（）A．第一象限的角必是锐角B．锐角必是第一象限的角C．终边相同的角必相等D．第二象限的角必大于第一象限的角2.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③锐角一定是第一象限的角；④小于的角一定是锐角；⑤终边相同的角一定相等．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．43.设集合，，则?题型二终边相同的角的集合1.下列各个角中与2020°终边相同的是（）A．-150°B．680°C．220°D．320°2.写出终边在图中直线上的角的集合．3.写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．4.下列各组中，终边相同的角是（）A．和（）B．和C．和D．和5.若角与的终边关于轴对称，且，则所构成的集合为．6.与2021°终边相同的最小正角是．7.写出角的终边在阴影中的角的集合．题型三象限角的定义1.在，，，，这五个角中，属于第二象限角的个数是（）A．2B．3C．4D．52.若是第四象限角，则一定是第几象限角？3.已知，则所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第一或第二象限D．第三或第四象限题型四角所在象限的研究1.已知α为第二象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限2.已知θ为第二象限角，那么是（）A．第一或第二象限角B．第一或四象限角C．第二或四象限角D．第一、二或第四象限角3.若是第二象限角，则，是第几象限角？弧度制知识梳理一、弧度制和弧度制与角度制的换算1.角度制角可以用度为单位进行度量，度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2.弧度制①弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．②弧度制定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．记法：用符号表示，读作弧度．特别提醒：（1）用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角可写成．而用度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略．（2）不管是以弧度还是以度为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．二、角度与弧度的换算1.弧度与角度的换算公式(1)关键:抓住互化公式rad=180°是关键;(2)方法：度数弧度数；弧度数度数2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表：【注意】①在同一问题中，角度制与弧度制不能混用；②弧度制下角可以与实数可以建立一一对应的关系，所以弧度制表示的角的范围可以用区间表示，如，但角度制表示的角的范围一般不用区间表示，即不用表示，因为区间表示的是数集，但角度数不是实数．三、弧长公式、扇形面积公式如图，设扇形的半径为，弧长为，圆心角为．1.弧长公式：．注意：在应用弧长公式时，要注意的单位是“弧度”，而不是“度”，如果一直角是以“度”为单位的，则必须先把它化为以“弧度”为单位，再代入计算．2.扇形面积公式：．3.弧长公式及扇形面积公式的两种表示角度制弧度制弧长公式扇形面积公式注意事项是扇形的半径，是圆心角的角度数是扇形的半径，是圆心角的弧度数题型训练题型一弧度制与角度制互化1.与角终边相同的最小正角是？（用弧度制表示）2.若四边形的四个内角之比为，则四个内角的弧度数依次为．3.对应的弧度数为4.把化为弧度的结果是5.如图，用弧度制表示终边落在下列阴影部分的角．6.若θ=-3rad，则θ的终边落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限题型二扇形的弧长、面积、与圆心角问题1.半径为，中心角为的角所对的弧长为（）A．B．C．D．2.已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（）A．2B．4C．6D．83.已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为？4.一个扇形的弧长与面积都是，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．5.已知弧度的圆心角所对的弦长为，那么，这个圆心角所对的弧长是（）A．B．C．D．6.半径为，圆心角为的扇形的弧长为（）A．B．C．D．7.设扇形的弧长为，半径为，则该扇形的面积为?8.已知扇形的周长为，面积为，则扇形圆心角的弧度数为?。
完整版)三角函数知识点归纳
完整版)三角函数知识点归纳三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角1)角的概念的推广角可以按照旋转方向分为正角、负角和零角，也可以按照终边位置分为象限角和轴线角。
2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)。
3)弧度制弧度制是一种角度量，1弧度的角是指长度等于半径长的弧所对的圆心角。
弧度与角度可以互相转换。
2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(x^2+y^2)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。
3．特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值可以通过计算得到，如30度角的正弦为1/2，余弦为√3/2，正切为√3/3，以此类推。
注意：删除了明显有问题的段落，同时对每段话进行了小幅度的改写以提高表达清晰度。
和周期；2掌握三角函数的图像及其性质；3熟练运用诱导公式和基本关系进行化简和求值。
二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1.同角三角函数的基本关系1)平方关系：sin^2α+cos^2α=1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）2)商数关系：sinα/cosα=tanα，cosα/sinα=1/tanα，1+tan^2α=sec^2α，1+ cot^2α=csc^2α。
2.诱导公式公式一：sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα，tan(α+2kπ)=tanα其中k∈Z.公式二：sin(π+α)=－sinα，cos(π+α)=－cosα，tan(π+α)=tanα.公式三：sin(π－α)=sinα，cos(π－α)=－cosα，XXX(π－α)=－tanα．公式四：sin(－α)=－sinα，cos(－α)=cosα，tan(－α)=－tanα.公式五：sin(π/2－α)=cosα，cos(π/2－α)=sinα.公式六：sin(π/2+α)=cosα，cos(π/2+α)=－sinα.诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍。
第5章-5.1.2-弧度制高中数学必修第一册湘教版
π
3
3π
，60∘
4
角
图5.1.2-3
的终边即 的终边,所以终边落在阴影部分内
（不包括边界）的角的集合为{|2π −
3π
4
π
3
< < 2π + , ∈ }.
（2）与（1）类似可写出终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为
π
6
π
2
π
6
π
2
{|2π + < < 2π + , ∈ } ∪ {|2π + π + < < 2π + π + ,
工制作零件，零件的截面如图5.1.2-6所示.为圆孔及轮廓
圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，
是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，
3
5
⊥ ，垂足为，tan ∠ = ,//, = 12 cm,
图5.1.2-6
= 2 cm,到直线和的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面
π
，则−
4
+ 2π <
π+
2
< 2π , ∈
π+
，
的终边
∵ 扇形面积 =
1
2
= 1，∴ =
∴ 周长 = + 2 =
2
+
2
，
2 ≥ 4，当且仅当 = 1时取等号.
∴ 当 = 1时，周长最小.
【学会了吗丨变式题】
2.已知扇形的周长为100 cm，则该扇形的面积的最大值为( B
A.100 cm2
高中数学《7、1角与弧度》知识点+教案课件+习题
知识点：1．弧度制(1)弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．(2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零．(3)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是2．角度制与弧度制的换算(1)(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系视频教学：练习：1.将表的分针拨慢20分钟,则分针转过的角的弧度是( )A. B. C. D.2.集合，，则有( )A. B. C. D.3.与角的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A. B. C. D.4.若扇形的半径为2，面积为，则它的圆心角为( )A. B. C. D.5.已知扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为( )A. B. C. D.课件：教案：教材分析前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程一、情景导入度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
任意角的概念与弧度制知识点习题附答案
典型题一 有关角的概念的问题
1.下列命题正确的是： （ ）
A.终边相同的角一定相等。
B.第一象限的角都是锐角。
C.锐角都是第一象限的角。
D.小于 900 的角都是锐角。
2.下列结论：①第一象限角都是锐角
②锐角都是第一象限角
③第一象限角一定不是负角
④第二象限角是钝角
⑤小于 180°的角是钝角、直角、或锐角。
4.与角 终边相同的角的集合为 k 360 , k k 180 45, k
1）终边落在 y=x 上：
45 +k 360, k
2）终边落在第一象限角平分线上：
5.弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度。 以弧度为单位来度量角的单位制度叫弧度制。
C.3 个
D.4 个
2.[四川遂宁 2019 高一测试]将表的分针拨慢 20 分钟,则分针转过的角的弧度是（
）
A. 2 3
B. 3
C. 2 3
D.
3
3.已知扇形的周长为 6cm,半径是 2cm,则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．4
B.1
C.1 或 4
D.2
4.若角α是第二象限角,则 是(
)
2
D. α-β=90°+ k 360 （k∈Z）
12.已知角α与β的终边关于 y 轴对称，则α与β的关系为（ ）
A. α-β=π+2kπ B. α-β=π +2kπ
2
13.若α=2kπ+π （k∈Z），则α的终边在（
3
3
2
C. α+β=2kπ ）
A．第一象限
B．第四象限
5.1任意角和弧度制课件(人教版)
问题3：上述问题2中，射线上的一点(不同于点)，= ，在旋转过程中，点所形成的圆弧的长为，求弧长 与半径 的比值，其与问题2中的比值有何关系?
【解析】：因为<m></m>，所以<</m>.故<m></m>.
结论：可以发现，圆心角所对的弧长与半径的比值只与的大小有关.也就是说，这个比值随的确定而唯一确定.
【解析】:(1)设扇形的弧长为 ，因为圆心角 ，所以扇形的弧长，故扇形的面积 (2)设扇形圆心角的弧度数为，弧长为，半径为，面积为，则 ，所以 ，所以，所以当 时， 最大，且 ，因此 ．
反思感悟
方法总结
扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是(其中是扇形的弧长，是扇形的半径，是扇形圆心角的弧度数，).(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
跟踪训练2 将下列角度与弧度进行互化： (1) ；(2)；(3)；(4)．
【解析】(1) .(．(3) .(4) .
探究二：扇形的弧长及面积公式
如图所示，设公路弯道处弧的长为.(图中长度单位：)
问题1：弧 的长是多少?求扇形的面积 ?
【解析】：.
新知生成
知识点二 扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为，弧长为，为其圆心角，为圆心角的角度数，则(1)弧长公式：.(2)扇形面积公式：
C
B
A
一、弧度制的概念
例题1 下列说法正确的是( ).A. 1 弧度的圆心角所对的弧长等于半径B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大C.所有1弧度的圆心角所对的弧长都相等D.用弧度表示的弧度的定义知，1弧度的圆心角所对的弧长等于半径，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误．
任意角和弧度制
任意角和弧度制任意角和弧度制、任意角的三角函数1. 角的有关概念：①从运动角度看：②从终边的位置看：③象限角的集合表示：④轴线角的集合表示：2. 弧度与角度的互化：⑴1弧度角的定义：⑵角的弧度数公式：⑶角度与弧度的互化：⑷扇形的面积公式：3. 任意角三角函数定义：⑴ ⑵⑶各象限内符号：⑷各三角函数定义域：练习：⒈ 870 的终边在第象限⒉下列说法不正确的有：⑴小于90 的角是锐角；⑵第二象限角大于第一象限角；⑶终边相同的角相等；⑷钝角都是第二象限角；⑸第一象限角都是正角⒊如果是第三象限角，那么,2 ,2的终边的位置。
4⒋已知角的终边上有一点p(m, 3)，且cos ，则m的值5，则tan ⒍若Q(4,y)是角终边上一点，且sin y⒌已知角的终边与单位圆的交点p(msin⒎给出下列各函数值：①sin( 1000 );②cos( 2200 );③tan( 10 );④7cos 其中值tan9为负的有⒏已知扇形的周长为10，面积是4，求扇形的圆心角。
变：若扇形的周长为10，当它的半径和圆心角分别为多少时，扇形的面积最大？⒐圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数是⒑若1弧度的圆心角所对的弦长等于2，则这个圆心角所对的弧长是。
4. 同角三角函数基本关系平方关系：商数关系5.诱导公式：练习：⒈sin600 +tan240 值为⒉ ABC中，cosA1，则sin(B C) 3) ⒊化简sin( )cos(2 ) 2sin( )2⒋如果sin( A) ⒌已知sin(cos(13 ,那么cos( A)的值是2217 ) ,则cos( )的值等于*****⒍已知f(x) asin( x ) bcos( x ) 4，其中（a,b, , 为常数），f(20XX年) 5 那么f(20XX年)33⒎若cos ,且,那么tan 值为（）52⒏记cos( 80 ) k,那么tan100A.⒐若3sin +cos 0，则变：⑴求C.D.1cos2 +sin2sin 3cos值⑵求sin2 +sin2 2值sin cos2⒑如果f(tanx) sinx 5cosxsinx,那f(5)=1x 0，sinx cosx ，求⑴若sinxcosx的值⑵求sinx cosx的值25⑶求sin4x cos4x的值⑷求sin4x+cos4x的值⒒已知⒓已知(0, ),sin cos则tan 的值为。
(完整版)任意角和弧度制知识点和练习
知识点一：任意角的表示⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角知识点二：象限角的范围2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z o o o 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z o o o o 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z o终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z o o 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z o知识点三：终边角的范围3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z o4、已知α是第几象限角，确定()*n n α∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α终边所落在的区域．知识点四：弧度制的转换5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=o ，1180π=o ，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭oo ． 知识点五：扇形8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．例题分析【例1】如果α角是第二象限的角，那么2α角是第几象限的角？说说你的理由。
第01讲 任意角和弧度制及三角函数的概念 (精讲+精练)(教师版)
第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：象限角、区域角、终边相同的角角度1:象限角角度2:区域角角度3角:终边相同的角高频考点二：角度制与弧制度的相互转化高频考点三：弧长公式与扇形面积公式角度1：弧长的有关计算角度2：与扇形面积有关的计算角度3：题型归类练角度4：扇形弧长公式与面积公式的应用高频考点四：任意角的三角函数角度1：单位圆法与三角函数角度2：终边上任意点法与三角函数角度3：三角函数值符号的判定高频考点五：三角函数线高频考点六：解三角不等式第四部分：高考真题感悟第五部分：第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念（精练）1、角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角． ③终边相同的角：终边与角α相同的角可写成360()k k Z βα=+⋅∈．2、弧度制的定义和公式①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，||lrα=，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关． ④弧度与角度的换算：3602rad π=；180rad π=． 若一个角的弧度数为α，角度数为n ，则180()rad απ=，180n n rad π=⋅．3、任意角的三角函数3.1.单位圆定义法：任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么 （1）点P 的纵坐标叫角α的正弦函数，记作sin y α=； （2）点P 的横坐标叫角α的余弦函数，记作cos x α=； （3）点P 的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作tan yxα=（0x ≠）.它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．3.2.终边上任意点法：设(,)P x y 是角α终边上异于原点的任意一点，它到原点的距离为r （0r >）那么：sin y r α=；cos x rα=；tan yx α=（0x ≠）(1)弧长公式在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角大小为α，则||lrα=变形可得||l r α=，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．(2)扇形面积公式211||22S lr r α== 5、三角函数线正弦线：MPOM正切线：AT6常用结论（1）三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.（2）角度制与弧度制可利用180rad π=进行相互转化，在同一个式子中，采用的度量方式必须统一，不可混淆. 30 60 90 150 180）象限角：,k k ∈360180,}k k Z +∈36090,}k k Z +∈ 360270,}k k Z +∈180,}k k Z ∈ 18090,}k k Z +∈ 90,}k k Z ∈一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）“角α是第一象限的角”是“角2α是第一象限的角”的充分不必要条件.( ) 【答案】错误 【详解】由α是第一象限角可举例380α=︒， 则1902α=︒，得角2α是第二象限的角， 即由“角α是第一象限的角”推不到“角2α是第一象限的角”，所以不是充分条件，所以错误.故答案为：错误. 2．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是1或4.( ) 【答案】正确 【详解】设扇形所在圆的半径为r ，则扇形弧长l r α=，于是得226122r r r αα+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得21r α=⎧⎨=⎩或14r α=⎧⎨=⎩，所以扇形的圆心角的弧度数α是1或4. 故答案为：正确3．（2022·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）已知角α的终边经过点()P m ，0m ≠，且sin α=，则cos α= ) 【答案】正确 【详解】因为角α的终边经过点()P m ，0m ≠，且sin α=，=m =所以cos α==故答案为：正确4．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）角θ终边经过点（-3,4），则7cos 225θ=-.( ) 【答案】正确 【详解】由角θ终边经过点()3,4-，可得3cos 5θ==-，而2237cos 22cos 12()1525θθ=-=--=-.故答案为：正确.5．（2022·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）tan 300︒= ) 【答案】错误 【详解】tan 300tan(36060)tan 60︒=︒-︒=-︒=故答案为：错误高频考点一：象限角、区域角、终边相同的角①象限角角度1：确定已知角所在象限例题1．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）若()45180k k α=+⋅∈Z ，则α的终边在（ ） A ．第二或第三象限 B ．第一或第三象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限【答案】B 【详解】当k 为奇数时，记21,k n n =+∈Z ，则()225360n n α+⋅∈︒=Z ，此时α为第三象限角；当k 为偶数时，记2,k n n =∈Z ，则()45360n n α+⋅∈︒=Z ，此时α为第一象限角. 故选：B例题2．（2022·上海市宝山中学高一期中）平面直角坐标系中，若角532α=︒，则α是第________象限的角. 【答案】二##2 【详解】532360172︒=︒+︒，因此532︒与172︒终边相同，而172︒是第二象限角．所以α是第二象限角． 故答案为：二．角度1题型归类练1．（2022·江西抚州·高一期中）若34πα=-，则α是第（ ）象限角． A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】C 【详解】34πα=-，α终边落在第三象限，α为第三象限角.故选：C.2．（2022·河南南阳·高一期中）“α是第一象限角”是“0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【详解】若α是第一象限角，则22,2k k k Z ππαπ<<+∈，无法得到α一定属于0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，充分性不成立， 若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则α一定是第一象限角，必要性成立，所以“α是第一象限角”是“0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭”的必要不充分条件.故选：B3．（多选）（2022·广东·韶关市田家炳中学高一期末）下列四个角为第二象限角的是（ ）A ．200-B ．100C ．220D ．420【答案】AB 【详解】对于A 选项，200160360-=-，故200-为第二象限角； 对于B 选项，100是第二象限角； 对于C 选项，220是第三象限角；对于D 选项，42060360=+，故420为第一象限角. 故选：AB.角度2：由已知角所在的象限确定某角的范围例题1．（多选）（2021·全国·高一专题练习）有一个小于360︒的正角α，这个角的6倍的终边与x 轴的非负半轴重合，则这个角可以为（ ） A ．60︒ B ．90︒ C ．120︒ D ．300︒【答案】ACD 【详解】由题意，62180k α=⨯︒且k Z ∈，则1803kα︒=，又0360α︒<<︒， ∴1k =时，60α=︒；2k =时，120α=︒；3k =时，180α=︒；4k =时，240α=︒；5k =时，300α=︒； 故选：ACD6．（多选）（2021·全国·高一专题练习）若α为第一象限角，则180()k k Z α⋅︒+∈的终边所在的象限可能是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】AC 【详解】由题设，36036090k k α''︒<<︒+︒，k Z '∈，∴(2)180180(2)18090k k k k k α''+⋅︒<⋅︒+<+⋅︒+︒，令12k k k Z '=+∈，∴1118018018090k k k α⋅︒<⋅︒+<⋅︒+︒，故180()k k Z α⋅︒+∈的终边所在的象限可能是第一、三象限. 故选：AC角度2题型归类练1．（2021·全国·高一专题练习）若α是第一象限角，则2α-是（ ）A ．第一象限角B ．第一、四象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角【答案】D 【详解】由题意知，36036090k k α⋅︒<<⋅︒+︒，k ∈Z ，则180180452k k α⋅︒<<⋅︒+︒，所以180451802k k α-⋅︒-︒<-<-⋅︒，k ∈Z ．当k 为偶数时，2α-为第四象限角；当k 为奇数时，2α-为第二象限角．所以2α-是第二或第四象限角.故选：D.2．（2021·广东·中山纪念中学高一阶段练习）若α是第四象限角，则90º－α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】B 【详解】由题知，(90360,360)k k α∈-+⋅⋅，k Z ∈， 则90(90360,180360)k k α-∈-⋅-⋅，在第二象限， 故选：B3．（多选）（2022·安徽·界首中学高一期末）若α是第二象限角，则（ ） A ．πα-是第一象限角 B ．2α是第一或第三象限角 C ．32πα+是第二象限角D ．2α是第三或第四象限角【答案】AB 【详解】解：因为α与α-关于x 轴对称，而α是第二象限角，所以α-是第三象限角，所以πα-是第一象限角，故A 选项正确；因为α是第二象限角，所以222k k ππαππ+<<+，k ∈Z ，所以422k k παπππ+<<+，k ∈Z ，故2α是第一或第三象限角，故B 选项正确；因为α是第二象限角，所以32πα+是第一象限角，故 C 选项错误；因为α是第二象限角，所以222k k ππαππ+<<+，k ∈Z ，所以4224k k ππαππ+<<+，k ∈Z ，所以2α的终边可能在y 轴负半轴上，故D 选项错误． 故选：AB.角度3：确定n 倍角所在象限例题1．（2022·广东广州·高一期末）已知α是锐角，那么2α是（ ）． A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．小于180°的正角 D ．第一或第二象限角【答案】C 【详解】因为α是锐角,所以0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()20,απ∈,满足小于180°的正角.其中D 选项不包括90，故错误. 故选：C2．（2021·上海·高一课时练习）角θ的终边在第二象限，则角2θ的终边在_________． 【答案】第三、四象限或y 轴非正半轴 【详解】解：θ是第二象限角，36090360180k k θ∴︒+︒<<︒+︒，k Z ∈．236018022360360k k θ︒+︒<<︒+︒，k Z ∈．2θ的终边的位置是第三或第四象限，y 的非正半轴．故答案为：第三、第四象限或y 轴的非正半轴角度3题型归类练1．（2021·上海·高一课时练习）若α是第三象限角，则α-是第_________象限角． 【答案】二 【详解】因为α是第三象限角，所以α的终边在第三象限， 又α-的终边与α的终边关于x 轴对称，所以α-的终边在第二象限，所以α-是第二象限角， 故答案为：二.2．（2018·广西·高一阶段练习）已知α终边在第四象限，则2α终边所在的象限为_______________． 【答案】第三象限或第四象限或y 轴负半轴 由于α是第四象限角,故π2π2π2k k α-<<,故4ππ24πk k α-<<,即2α终边在” 第三象限或第四象限或y 轴负半轴”. 角度4：确定n 分角所在象限例题1．（2021·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）若角α是第一象限角，则2α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第三象限角 D ．第二或第四象限角【答案】C 【详解】因为α是第三象限角，所以36036090,k k k Z α⋅<<⋅+∈， 所以18018045,2k k k Z α︒⋅<<⋅+∈，当k 为偶数时，2α是第一象限角， 当k 为奇数时，2α是第三象限角. 故选：C ．例题2．（多选）（2022·辽宁·抚顺县高级中学校高一阶段练习）如果α是第三象限的角，那么3α可能是下列哪个象限的角（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】ACD 【详解】α是第三象限的角，则32,22k k παπππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈，所以22,33332k k αππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈； 当=3,k n n Z ∈，2,2,332n n n Z αππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，在第一象限； 当=31,k n n Z +∈，72,2,36n n n Z αππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，在第三象限； 当=32,k n n Z +∈，5112,2,363n n n Z αππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，在第四象限； 所以3α可以是第一、第三、或第四象限角． 故选：ACD角度4题型归类练1．（2022·河南新乡·高一期末）“α是第四象限角”是“2α是第二或第四象限角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】当α是第四象限角时，3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈，则3,42k k k Z παπππ+<<+∈，即2α是第二或第四象限角.当324απ=为第二象限角，但32πα=不是第四象限角，故“α是第四象限角”是“2α是第二或第四象限角”的充分不必要条件． 故选：A2．（多选）（2022·江西·南昌十五中高一阶段练习）已知角α是第一象限角，则角3α可能在以下哪个象限（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】ABC 【详解】解：因为角α是第一象限角，所以222k k ππαπ<<+，k Z ∈，所以223363k k παππ<<+，k Z ∈， 当3k t =，t Z ∈时，2236t t απππ，t Z ∈，3α位于第一象限，当31k t =+，t Z ∈时，2522336t t παπππ，t Z ∈，3α位于第二象限，当32k t =+，t Z ∈时，4322332t t παπππ，t Z ∈，3α位于第三象限，综上可得3α位于第一、二、三象限； 故选：ABC3．（2022·上海师大附中高一期末）设α是第三象限的角，则2α的终边在第______象限. 【答案】二或四 【详解】因为α是第三象限角，所以3222k k ππαππ+<<+，k Z ∈，所以3224k k παπππ+<<+，k Z ∈， 当k 为偶数时，2α为第二象限角， 当k 为奇数时，2α为第四象限角. 故答案为：二或四.②区域角例题1．（2022·湖南·高一课时练习）已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．【答案】{α|k ·360°＋45°＜α＜k ·360°＋150°，k ∈Z } 【详解】观察图形可知，终边落在边界上的角分别是36045,360150,k k k Z ⋅︒+︒⋅︒+︒∈, 所以角α的集合是{α|k ·360°＋45°＜α＜k ·360°＋150°，k ∈Z }． 故答案为：{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k ∈Z} 例题2．（2020·全国·高一课时练习）如图所示,终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是________.【答案】{}90180120180,k k k αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈Z 【详解】因为终边落在y 轴上的角为90180,k k Z ︒+⋅︒∈，终边落在虚线上的角为1203601202180,k k ︒︒+⋅︒=+⋅︒k Z ∈； 3003601201802180120(21)180,n n n n Z ︒︒︒+⋅︒=+︒+⋅︒=++⋅︒∈，即终边在虚线上的角为120180k ︒+⋅︒，k Z ∈，所以终边落在阴影部分的角为90180120180,k k k Z α︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈， 故答案为：{}90180120180,k k k Z αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈题型归类练1．（2022·上海·华师大二附中高一期中）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角θ的集合是__________．【答案】32,2,Z 64k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【详解】由题图，终边OB 对应角为26k ππ-且Z k ∈，终边OA 对应角为324k ππ+且Z k ∈， 所以阴影部分角θ的集合是32,2,Z 64k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：32,2,Z 64k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦2．（2021·全国·高一专题练习）如图所示，终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为______．【答案】{}4518060180,n n n Z αα+⋅≤≤+⋅∈ 【详解】终边在直线OM 上的角的集合为：{}{}45360,225360,M k k Z k k Z αααα==︒+⋅︒∈⋃=︒+⋅︒∈{}(){}452180,4521180,k k Z k k Z αααα==︒+⋅︒∈⋃=︒++⋅︒∈{}45180,n n Z αα==︒+⋅︒∈．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{}60180,n n Z αα=︒+⋅︒∈，所以终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为{}4518060180,n n n Z αα︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈． 故答案为：{}4518060180,n n n Z αα︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈3．（2020·全国·高一课时练习）如下图，终边落在OA 位置时的角的集合是__________；终边落在OB 位置，且在360360-︒︒内的角的集合是________；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是______．【答案】 {|360120,}k k αα=︒+︒∈Z {45,315}-︒︒ {|36045360120,}k k k αα︒-︒︒+︒∈Z 【详解】由题意以OA 为终边的一个角是120︒，因此以OA 为终边的角的集合是{|360120,}k k αα=︒+︒∈Z ；以OB 为终边的角的集合是{|36045,}k k αα=︒-︒∈Z ，在已知范围内的有45,315-︒︒两个角，集合表示为{45,315}-︒︒；∴终边落在阴影部分（含边界）的角的集合为{|36045360120,}k k k αα︒-︒︒+︒∈Z ． 故答案为：{|360120,}k k αα=︒+︒∈Z ；{45,315}-︒︒；{|36045360120,}k k k αα︒-︒︒+︒∈Z ．4．（2019·江苏·海安市南莫中学高一期中）如图所示，阴影部分表示的角的集合为（含边界）______（用弧度表示）．【答案】{|,}3k k k Z παπαπ≤≤+∈【详解】如图，阴影部分表示的角α位于一、三象限， 在第一象限，03πα≤≤；在第三象限，43ππα≤≤， ∴阴影部分表示的角的集合为（含边界）： {|223k k παπαπ≤≤+或()()21213k k ππαπ+≤≤++，}{|,}3k Z k k k Z παπαπ∈=≤≤+∈．故答案为{|,}3k k k Z παπαπ≤≤+∈．③终边相同的角例题1．（2022·北京师大附中高一期中）将x 轴正半轴绕原点逆时针旋转30，得到角α，则下列与α终边相同的角是（ ） A ．330︒ B ．330-︒C ．210︒D ．210-︒【答案】B 【详解】由题意得：{}30360,k k Z αα=︒+⋅︒∈，当1k =-时，330α=-︒，B 正确，其他选项经过验证均不正确. 故选：B例题2．（2017·天津市红桥区教师发展中心高一期末）在0~180范围内，与950-终边相同的角是______．【答案】130 【详解】与950-终边相同的角的集合为}{()950360Z k k αα=-+∈， 当3k =时，9503603130α=-+⨯=，所以在0~180范围内， 与950-终边相同的角是130.故答案为：130题型归类练1．（2022·辽宁·凌源市实验中学高一阶段练习）下列与角23π的终边一定相同的角是（ ） A ．53πB ．()43k k Z ππ-∈ C ．()223k k Z ππ+∈ D ．()()2213k k Z ππ++∈ 【答案】C 【详解】 对于选项C ：与角23π的终边相同的角为()223k k Z ππ+∈，C 满足. 对于选项B ：当()2k n n Z =∈时， ()442,33k n k Z n Z ππππ-=-∈∈成立； 当()21k n n Z =+∈时，()()44212,333k n n k Z n Z ππππππ-=+-=-∈∈不成立. 对于选项D ：()()2521233k k k Z ππππ++=+∈不成立. 故选: C2．（2022·上海市奉贤区奉城高级中学高一阶段练习）与1920°终边相同的角中，最小的正角是________ 【答案】120° 【详解】19205360120︒=⨯︒+︒,所以与1920°终边相同的角中，最小的正角为120°. 故答案为：120°.高频考点二：角度制与弧制度的相互转化例题1．（2022·河南南阳·高一期中）把π5化成角度制是（ ）A ．36°B ．30°C ．24°D ．12°【答案】A 【详解】由角度制与弧度制的互化知，π180=︒， 所以ππ180()3655π=⨯︒=︒， 故选：A例题2．（2022·陕西汉中·高一期中）如图，时钟显示的时刻为12：55，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的锐角为（ ）A ．π3B ．23π72C ．11π36D ．3π10【答案】B 【详解】由图可知，该时刻的时针与分针所夹的锐角为2π112π23π12121272+⨯=． 故选：B.题型归类练1．（2022·安徽·砀山中学高一期中）将210°化成弧度为（ ） A ．5π6-B ．5π6C ．4π3D ．7π6【答案】D 【详解】 7210=210=1806ππ︒⨯， 故选：D.2．（2022·上海市七宝中学高一开学考试）经过50分钟，钟表的分针转过___________弧度的角. 【答案】5π3-【详解】根据题意，分针转过的弧度为5052603ππ-⨯=-. 故答案为：53π-.3．（2022·湖南·高一课时练习）将下表中的角度和弧度互化：180π=︒∴1180π︒=，1801π︒=故：高频考点三：弧长公式与扇形面积公式角度1：弧长的有关计算例题1．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期中）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（ ） A ．2 B ．sin 2 C ．2sin1D ．2sin1【答案】C 【详解】2弧度的圆心角所对的弦长为2，∴半径1sin1r =，∴所求弧长为22sin1r =. 故选：C.例题2．（2022·湖南·高一课时练习）已知相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮顺时针转动一周时，小轮转动的角是多少度？多少弧度？如果大轮的转速是150r/min ，小轮的半径为10cm ，那么小轮圆周上的点每秒转过的弧长是多少？ 【答案】小轮转动的角是864︒，245π弧度，小轮圆周上的点每秒转过的弧长为120π cm 【详解】由题意得，相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿， 所以当大轮旋转一周时，大轮转了48个齿，小轮转了20齿， 所以小轮转动了4812205=周，即123608645⨯︒=︒，1224255ππ⨯=，所以当大轮的转速为150r/min 时，小轮的转速为121503605⨯=r/min ， 所以小轮圆周上的点每秒转过的弧度数为 36026012ππ⨯÷=，因为小轮的半径为10cm ，所以小轮圆周上的点每秒转过的弧长 1210120ππ⨯= cm角度1题型归类练1．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一期末）已知扇形的圆心角为2rad 5，半径为10，则扇形的弧长为（ ）A ．12 B ．1 C ．2 D ．4【答案】D 【详解】解：因为扇形的圆心角为2rad 5，半径为10，所以由弧长公式得：扇形的弧长为21045l r α=⋅=⨯=故选：D2．（2022·北京·汇文中学高一期中）一圆锥的侧面展开图为一圆心角为23π的扇形，该圆锥母线长为6，则圆锥的底面半径为________． 【答案】2 【详解】因为圆锥的母线长为6，所以侧面展开图扇形的半径为6，设该圆锥的底面半径为r ， 所以有26223r r ππ⋅=⇒=， 故答案为：2.角度2：与扇形面积有关的计算例题1．（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）已知扇形OAB 的圆心角为8rad ，其周长是，则该扇形的面积是___2cm ． 【答案】8 【详解】设扇形的半径为R ，弧长是88l R R =⨯=，则其扇形周长是82R R +=R =22188cm 2R ⨯⨯=． 故答案为：8例题2．（2022·重庆八中高一期末）如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为3π，弧所在的圆的半径为4，则弧田的面积是___________.【答案】6π-【详解】解：根据题意，只需计算图中阴影部分的面积， 设AOB α∠=，因为弧田的弧AB 长为3π，弧所在的圆的半径为4， 所以34πα=，所以阴影部分的面积为113444sin 622παπ⨯⨯-⨯⨯⨯=-所以弧田的面积是6π-故答案为：6π-例题3．（2022·湖南·雅礼中学高一期中）中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆O （半径为20cm ）中作出两个扇形OAB 和OCD ，用扇环形ABDC （图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC 的面积为1S ，扇形OAB 的面积为2S，当12S S =时，扇形的现状较为美观，则此时扇形OCD 的半径为__________cm【答案】1) 【详解】设,AOB θ∠=，半圆O 的半径为r ，扇形OCD 的半径为1r ，1252S S =，所以2212112212r r rθθθ-，即2212r r r -，所以2212r r===，所以1r r =20,r cm =，所以11)r cm=， 故答案为：1).角度2题型归类练1．（2022·上海市行知中学高二期中）已知圆锥的表面积为28π，其侧面展开扇形的圆心角大小为3π，则这个圆锥的底面半径为______. 【答案】2 【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， 由题意，有228rl r πππ+=①， 由于侧面展开扇形的圆心角大小为3π， 所以23l r ππ=，即6l r =②，由①②得12l =，2r =， 即圆锥的底面半径为2， 故答案为：2.2．（2022·上海市七宝中学高一开学考试）已知扇形的圆心角为3π，弧长为45π，则扇形的面积为___________.【答案】2425π 【详解】依题意，扇形的半径412553lrππα===，所以扇形的面积1141224225525S lrππ==⨯⨯=，故答案为：2425π.3．（2022·上海·高三专题练习）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【答案】(1)9π2m)；(2)少1.522m．试题解析：(1) 扇形半径，扇形面积等于弧田面积=（m2）（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=.平方米按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.角度3：扇形中的最值问题例题1．（2022·吉林·长春十一高高一期末）已知扇形周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角为（）A．32B．52C．3 D．2【答案】D 【详解】设扇形半径为r ,易得020r <<,则由已知该扇形弧长为402r -.记扇形面积为S ,则()()()22014022010024r r S r r r r +-=-=-≤=,当且仅当20r r =-，即10r =时取到最大值，此时记扇形的圆心角为θ，则40220210r r θ-=== 故选：D例题2．（2022·江西·奉新县第一中学高一阶段练习）如果一个扇形的周长为60cm ，那么当它的半径和圆心角分别为多少时，扇形的面积最大？【答案】当扇形的半径为15cm ，圆心角为2rad 时，扇形的面积最大 【详解】解：设该扇形的半径为cm r ，圆心角为θ，弧长为cm l ，面积为2cm S ， 则260l r +=，所以602l r =-，其中030r <<，所以，()()2211602301522522S lr r r r r r ==-=-+=--+，所以当15cm r =时，S 最大，最大值为2225cm ， 此时()602152rad 15l r θ-⨯===. 例题3．（2022·广西梧州·高一期中）已知扇形的周长为30． (1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角α，弧长l 及面积S ; (2)求该扇形面积S 的最大值及此时扇形的半径 . 【答案】(1)1α=，10l =，50S =； (2)2254，152. (1)由题知扇形的半径10r =，扇形的周长为30， ∴22030l r l +=+=， ∴10l =，10110lr α，1110105022S lr ==⨯⨯=.(2)设扇形的圆心角α，弧长l ，半径为r ，则230l r +=， ∴302l r =-，∴()()21522530112222154S lr r r r r r r -+⎛⎫--=⎪=⎭≤⎝== 当且仅当15r r -=，即152r =取等号， 所以该扇形面积S 的最大值为2254，此时扇形的半径为152.1．（2022·浙江·高三专题练习）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10OA =，()010OB x x =<<，线段BA ，CD 与BC ，AD 的长度之和为30，圆心角为θ弧度.(1)求θ关于x 的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值. 【答案】(1)210(010)10x x x θ+=<<+； (2)52x =，2254. (1)解：根据题意，可算得()m BC x θ=，()10m AD θ=． 因为30AB CD BC AD +++=，所以()2101030x x θθ-++=， 所以，()21001010x x x θ+=<<+. (2)解：根据题意，可知()()()2222251011102210AOD BOCx x y S S x x θ+-=-=-=⨯+扇形扇形 ()()22522551055024x x x x x ⎛⎫=+-=-++=--+⎪⎝⎭， 当()5m 2x =时，()2max 225m 4=y .综上所述，当5m 2x =时铭牌的面积最大，且最大面积为2225m 4. 2．（2022·全国·高一阶段练习）已知一扇形的圆心角为()0αα>，周长为C ，面积为S ，所在圆的半径为r ． (1)若35α=︒，8r =cm ，求扇形的弧长；(2)若16C =cm ，求S 的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 【答案】(1)149πcm ； (2)S 的最大值是216cm ，此时扇形的半径是4 cm ，圆心角为2． 【解析】35α=︒＝735rad rad 18036ππ⨯=， 扇形的弧长7148369l r αππ==⨯=cm ； (2)设扇形的弧长为l ，半径为r ，则216r l +=，∴162l r =-()08r <<，则()()2211162841622S lr r r r r r ==-=-+=--+，当4r =时，2max 16cm S =，16248l =-⨯=cm ，2l rα，∴S 的最大值是216cm ，此时扇形的半径是4 cm ，圆心角2α=．3．（2022·河北张家口·高一期末）已知扇形的圆心角是α，半径为r ，弧长为l . (1)若135α=，10r =，求扇形的弧长l ；(2)若扇形AOB 的周长为22，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形面积的最大值. 【答案】(1)152π； (2)当2α=时，扇形面积最大值max 1214S =. (1)31354πα==，∴扇形的弧长3151042l r ππα==⨯=；(2)扇形AOB 的周长()22222L r l r r r αα=+=+=+=，222rα∴=-， ∴扇形AOB 面积2221111112S r r r r r α⎛⎫==-=-+ ⎪⎝⎭，则当112r =，max 1214S =， 即当2α=时，扇形面积最大值max 1214S =. 角度4：扇形弧长公式与面积公式的应用例题1．（2022·陕西·西安中学高一期中）中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.《乐府诗集》中《夏歌二十首》的第五首曰：“叠扇放床上，企想远风来轻袖佛华妆，窈窕登高台.”如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打开时圆心角为67π，扇面所在大圆的半径为20cm ，所在小圆的半径为8cm ，那么这把折扇的扇面面积为（ ）A ．288πB ．144πC ．487π D ．以上都不对【答案】B 【详解】 由题意得，大扇形的面积为11612002020277S ππ=⨯⨯⨯=， 小扇形的面积为21619288277S ππ=⨯⨯⨯=， 所以扇面的面积为12120019214477S S πππ-=-=. 故选：B6．（2022·全国·高一课时练习）已知扇形面积为225cm ，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取得最小值？ 【答案】当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值． 【详解】解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，扇形的周长为y ，则2y l R =+． 由题意，得1252lR =，则50l R =，故502522(0)y R R R R R ⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭． 利用函数单调性的定义，可得当05R <时，函数502y R R=+是减函数； 当5R >时，函数502y R R=+是增函数． 所以当5R =时，y 取得最小值20，此时10l =，2lRα==， 即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值． 【点睛】要求周长的最小值，可考虑将周长写成某个变量的函数式，利用函数的单调性求最值.函数()()0,0kf x x x k x=+≠>在(x ∈-∞上单调递减，在)x ∈+∞上单调递增.角度4题型归类练1．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）已知扇形所在圆的半径为2，圆心角的弧度数是2，则该扇形的弧长为（ ） A ．1 B ．4C ．6D ．8【答案】B因为扇形所在圆的半径2r =，圆心角的弧度数α=2， 所以该扇形的弧长224l r α==⨯=. 故选：B2．（2022·北京·高一期中）已知某扇形的圆心角为6π，弧长为23π，则该扇形的半径为___________；面积为___________. 【答案】 4 43π##43π 【详解】由题设，该扇形的半径2436r ππ=÷=，面积为1244233S ππ=⨯⨯=. 故答案为：4，43π3．（2022·江苏省木渎高级中学高一期末）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面所在扇形的圆心角为____rad ，此时扇面．．面积为____cm 2．【答案】 52704 【详解】解：如图，设AOB θ∠=，OA OB r ==，由题意可得：2464(16)r r θθ=⎧⎨=+⎩，解得：485r =，52θ=. 所以，21481486416247042525OCD OAB S S S cm ⎛⎫=-=⨯⨯+-⨯⨯=⎪⎝⎭．故答案为：5;7042．高频考点四：任意角的三角函数角度1：单位圆法与三角函数例题1．（2022·全国·高三专题练习）设0a <，角α的终边与圆221x y +=的交点为(34)P a a -，，那么sin 2cos αα+=（ ） A ．25-B ．15-C ．15D ．25【答案】D 【详解】画图，角α的终边与圆221x y +=的交点为(34)P a a -，，设()P x y ，，则3x a =-，4y a =，代入得22(3)(4)1a a -+=，解得2125a =， ∵0a <， ∴15a =-，∴34()55P -，， 又∵在单位圆中，cos x α=，sin y α=， ∴3cos 5α=，4sin 5α=-， ∴2sin 2cos 5αα+=， 故选：D例题2．（2022·北京师大附中高三期中）已知正角α的终边经过点1(2P -，则角α的值可以是_______（写出一个就可以）．【详解】因为1(2P -，所以2tan 12α==-所以角α的值可以是23π.故答案为：23π（答案不唯一）角度1题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）点P 为圆221x y +=与x 轴正半轴的交点，将点P 沿圆周逆时针旋转至点P '，当转过的弧长为2π3时，点P '的坐标为（ ）A．1,2⎛ ⎝⎭ B．12⎛- ⎝⎭C．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D．12⎫-⎪⎪⎝⎭【答案】B 【详解】设旋转角为θ，则22123θπππ⨯⨯=，得23πθ=，从而可得1(2P '-. 故选：B.2．（2022·四川凉山·高一期末）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与以原点为圆心，半径为1的圆相交于点则34,55A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则 tan α=（ ）A ．34B ．43C ．34-D ．43-【答案】B 【详解】由题意可得：角α的终边与单位圆的交点为34,55A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以35x =-，45y =-，所以445tan 335y x α-===-，故选：B.角度2：终边上任意点法与三角函数例题1．（2022·北京师大附中高一期中）若角α的终边经过点(2,4)P -，则tan α=（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．2-由题设，4tan 22α==--. 故选：D例题2．（2022·北京·人大附中高一期中）已知角α的终边过点()4,3(0)P a a a ->，则cos α的值是（ ） A ．35 B ．35C ．45D ．45-【答案】C 【详解】 由题意知：44cos 55a a α===.故选：C.角度2题型归类练1．（2022·山东山东·高一期中）已知点(1)P -是角α终边上一点，则cos α=（） A ． B ．12-C D ．12【答案】A 【详解】因为点(1)P -是角α终边上一点，所以cos α==故选：A.2．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））已知角θ的终边上有一点(4,3)(0)a a a P ->，则2sin cos θθ+的值是（ ） A ．25-B ．25C ．25或25-D ．不确定【答案】B 【详解】角θ的终边上点(4,3)(0)aa a P ->，则||5r OP a ==， 于是得3344sin ,cos 5555a a a a θθ-====-， 所以3422sin cos 2()555θθ+=⨯+-=.故选：B3．（2022·河南焦作·高一期中）若角θ的终边经过点(),3P x -，且3sin 5θ=-，则tan θ=（ ）A ．43-B ．43±C ．34-D ．34±由三角函数的定义可得3sin 5θ==-，解得4x =±，因此3tan 4θ=±．故选：D.4．（2022·四川自贡·高一期末）角α的终边过点()12,5P ，则cos α=（ ） A ．513B ．1213C ．125D ．512【答案】B 【详解】由题意P 到原点的距离为13r OP ==， 所以12cos 13α=． 故选：B ．角度3：三角函数值符号的判定例题1．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）若3α=，则（ ） A ．sin 0,cos 0αα>> B ．sin 0,cos 0αα>< C ．sin 0,cos 0αα<> D ．sin 0,cos 0αα<<【答案】B 【详解】 因32παπ<=<，则α是第二象限象限角， 所以sin 0,cos 0αα>< . 故选：B例题2．（2022·北京房山·高一期中）若sin 0θ<且tan 0θ<，则角θ所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【详解】sin 0θ<，则角θ在第三，四象限，tan 0θ<，则角θ在第二，四象限，所以满足sin 0θ<且tan 0θ<，角θ在第四象限. 故选：D3．（2022·全国·高三专题练习（理））若tan 0α<，则下列结论一定正确是（ ） A ．sin 0α< B ．sin 20α<C ．cos 0α<D ．cos20α<【答案】B 【详解】。
任意角和弧度制(基础知识+基本题型)(含解析)
5.1 任意角和弧度制（基础知识+基本题型）知识点一 任意角 1.角的概念(1)角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
(2)角的表示：如图射线OA 为始边，射线OB 为终边，点O 为角的顶点，图中角α可记为“角α”或“α∠”，也可简记为“α”。
2.角的分类 名称定义 图形正角一条射线按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线按顺时针方向旋转形成的角零角 一条射线没有做任何旋转形成的角拓展：（1）角的概念的推广重在“旋转”，理解“旋转”二字应明确以下三个方面： ①旋转的方向；②旋转角的大小；③射线未作任何旋转时的位置。
（2）角的范围不再限于0360.BOAOABOABA（BO知识点二 象限角与终边相同的角 1.象限角（1）象限角的概念：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
（2）象限角的集合表示}36090360,x k k Z <<+⋅∈}90360180360,k x k k Z +⋅<<+⋅∈ }180360270360,k x k k Z +⋅<<+⋅∈}270360360360,k x k k Z ⋅<<+⋅∈2.终边相同的角（1）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{S ββα==+}360,k k Z ⋅∈，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
（2）角的终边在坐标轴上的角的集合表示,k Z ∈}360,k k Z +⋅∈}180,k k Z ⋅∈}90360,k k Z +⋅∈}90360,k k Z +⋅∈终边落在y 轴上的角{}90180,x x k k Z =+⋅∈终边落在坐标轴上的角{}90,x x k k Z =⋅∈注意：（1）相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360的整数倍。
(完整版)三角函数知识点归纳
三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．终边与角α相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= ④若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为(r r =，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号） (2)商数关系：sin αcos α＝tan α. （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα 2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，απαtan )2tan(=+k 其中k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，()tan tan παα-=-． 公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，()tan tan αα-=-. 公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin_α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角．．．．时，根据k ·π2±α在哪个象限判断原．三角．．函数值的符号，最后作为结果符号．B.方法与要点 一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． （ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin 三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ= sin2π＝tan π4 （4）齐次式化切法：已知k =αtan ，则nmk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin 三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如x y sin =与x y cos =的周期是π）。
高一数学 任意角与弧度制及练习
任意角和弧度制【学习目标】1.理解任意角的概念.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法。
2.了解弧度制的意义；掌握角的不同度量方法，能对弧度制和角度制进行正确的换算.3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积的计算公式，并能结合具体问题进行正确地运算。
【要点梳理】要点一：任意角的概念1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.正角:按逆时针方向旋转所形成的角.负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.要点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.2.终边相同的角、象限角终边相同的角为{}|360k k Z βββα∈=+∈o g ，角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.要点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(3)终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍.3．常用的象限角α是第一象限角，所以|36036090,k k k Z αα<<+∈o o o g gα是第二象限角，所以(){}|36090360180,k k k Z αα+<<+∈o o o o g gα是第三象限角，所以(){}|360180360270,k k k Z αα+<<+∈o o o o g gα是第四象限角，所以(){}|360270360360,k k k Z αα+<<+∈o o o o g g要点二：弧度制1．弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).2．角度与弧度的换算弧度与角度互换公式： 180rad π︒=1rad=0180π⎛⎫ ⎪⎝⎭≈57.30°=57°18′，1°=180π≈0.01745(rad) 3．弧长公式：r l ||α=(α是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：2||2121r r l S α==. 要点诠释：(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如2ππ--，等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角α的弧度数的绝对值是：rl =α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 【典型例题】类型一：角的概念的理解例1．下列结论：①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角是钝角；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角。
(完整word版)高一三角函数知识点加练习题
《三角函数》一、任意角的概念与弧度制1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角2、同终边的角可表示为{}()360k k Z ααβ︒=+∈gx 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o gy 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒︒+<<+∈o g g第二象限角：{}()90360180360k k k Z αα︒︒+<<+∈o o g g第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα︒︒+<<+∈oo g g第四象限角：{}()270360360360k k k Z αα︒︒+<<+∈oo g g4、区分第一象限角、锐角以及小于90o的角 第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒︒+<<+∈o g g 锐角：{}090αα<<o小于90o的角：{}90αα<o5、若α为第二象限角，那么2α为第几象限角？ ππαππk k 222+≤≤+ππαππk k +≤≤+224,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k 所以2α在第一、三象限6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad .7、角度与弧度的转化：01745.01801≈=︒π 815730.571801'︒=︒≈︒=π8、角度与弧度对应表： 角度 0︒ 30︒ 45︒ 60︒ 90o 120︒ 135︒ 150︒ 180︒ 360︒弧度6π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π2π9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=⨯；面积：21122S l R R α=⨯=⨯，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数ry)(x,P1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan yxα= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，22r x y =+.2、三角函数值对应表：3、三角函数在各象限中的符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c ”）例题：1.已知α∠为第二象限角，135sin =α求αcos 、αtan 、αcot 的值2.已知α∠为第四象限角，3tan -=α求αcos 、αsin 、αcot 的值方法：①画直角三角形 ②利用勾股定理先算大小后看正负4、同角三角函数基本关系式22sin cos 1αα+= sin tan tan cot 1cos ααααα=⇒=g ααααcos sin 21)cos (sin 2+=+ ααααcos sin 21)cos (sin 2-=-(ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin •，三式之间可以互相表示)例题：1.已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为_____________.度 0o30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o︒270360o弧度 0 6π4π 3π 2π 23π 34π 56π π32π 2π sin α 0 12 22 32 1 32 2212 01cos α 1 32 22 12 0 12- 22- 32-1- 0 1tan α 0 33 1 3 无 3- 1- 33-无已知2tan =α，则1.ααααcos sin cos sin -+=_____________.2.αααα22cos sin cos sin -=_____________. 3.1cos sin +αα=_____________.（“1”的代换）2.已知三角函数αsin 和αcos 的和或差的形式求αsin .αcos方法：等式两边完全平方（注意三角函数中判断正负利用角的范围进行取舍）例题：已知πα<∠<0，αsin +αcos =21，求①αsin .αcos ②αcos -αsin6、诱导公式口诀：奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是απ+2n 中整数n 的奇偶性，把α看作锐角)212(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n n co n απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数；212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n n co n απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数. ①.公式（一）：α与()2,k k Z απ+∈απαsin )2sin(=+k ；απαcos )2cos(=+k ；απαtan )2tan(=+k②.公式（二）：α与α-()sin sin αα-=-；()cos cos αα-=；()tan tan αα-=-③.公式（三）：α与πα+()sin sin παα+=-；()cos cos παα+=-；()tan tan παα+=④.公式（四）：α与πα-()sin sin παα-=；()cos cos παα-=-；()tan tan παα-=-⑤.公式（五）：α与2πα+sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭；cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭； ⑥.公式（六）：α与2πα-sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭；cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭； ⑦.公式（七）：α与32πα+ 3sin cos 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭；3cos sin 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭；⑧.公式（八）：α与32πα- 3sin cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭； 例题1.)619sin(π-的值等于（ ）A. 21B. 21-C. 23D.23-2. 若⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==z k k M ,52ππαα，{}παπα<<-=N 则N M I 等于（ ）A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-ππ103,5B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-ππ54,107C. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧--ππππ107,54,103,5D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-ππ107,103 3. 已知33)6cos(=-απ求)6(sin )65cos(2πααπ+-+的值。
专题32 任意角和弧度制(解析版)
专题32 任意角和弧度制知识点一任意角1.中午12点15分时，钟表上的时针和分针所成的角是（）A．90°B．75°C．82.5°D．60°【答案】C【解析】根据钟面的特征可知12点15分时，分针指向3，而时针在12和1之间，而15分等于四分之一小时，故时针走了四分之一大格，根据每大格30°即可得到结果.×30°＝82.5°.中午12点15分时，钟表上的时针和分针所成的角是90°－142.如果时钟上的时针、分针和秒针都是匀速地转动，那么从3时整（3∶00）开始，在1分钟的时间内，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有（）A．1次B．2次C．3次D．4次【答案】D【解析】从3时整（3∶00）开始，在1分钟的时间内，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有：①当秒针转到大约45°的位置时，以及大约225°的位置时，秒针平分时针与分针.②当秒针转到大约180°的位置时，时针平分秒针与分针.③当秒针转到大约270°的位置时，分针平分秒针与时针.综上，共4次.3.如图，钟表中9点30分时，时钟的分针与时针所成角的度数为（）A．90°B．105°C．120°D．135°【答案】B【解析】钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，钟表上9点30分，时针指向9.5，分针指向6，两者之间相隔3.5个数字.3×30°＋15°＝105°，∴钟面上9点30分时，分针与时针所成的角的度数是105°.4.400°角终边所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】400°＝360°＋40°，∵40°是第一象限，∴400°角终边所在象限是第一象限.5.给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角；对于②：如图2所示，225°角是第三象限角；对于③：如图3所示，475°角是第二象限角；对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角.6.如果α是第三象限的角，则下列结论中错误的是（）A．－α为第二象限角B．180°－α为第二象限角C．180°+α为第一象限角D．90°+α为第四象限角【答案】B【解析】若α是第三象限角，则360°·k＋180°＜α＜360°·k＋270°；则360°·k＋90°＜－α＜360°·k＋180°，360°·k＋270°＜180°－α＜360°·k＋360°此时为第四象限角.7.终边与x轴重合的角α的集合是（）A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°，k∈Z}C．{α|α＝k·90°，k∈Z}D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}【答案】B【解析】设终边在x轴上的角为α，当α在x轴正半轴时，α＝k·360°＝2k·180°，其中k∈Z；当α在x轴负半轴时，α＝2k·180°＋180°＝（2k＋1）·180°，其中k∈Z，综上所述：α的集合是{α|α＝k·180°，k∈Z}.8.若角α满足α＝k·120°＋30°（k∈Z），则α的终边一定在（）A．第一象限或第二象限或第三象限B．第一象限或第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限或x轴非负半轴上D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上【答案】D【解析】当k＝3n，n∈Z时，α＝n·360°＋30°，为第一象限角；当k＝3n＋1，n∈Z时，α＝n·360°＋150°，为第二象限角；当k＝3n＋2，n∈Z时，α＝n·360°＋270°，为y轴非正半轴上的角.则α的终边一定在第一象限或第二象限或y轴非正半轴上.9.与－457°角的终边相同的角的集合是（）A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}【答案】C【解析】由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}.10.与405°角终边相同的角是（）A．k·360°－45°，k∈ZB．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈ZD．k·180°＋45°，k∈Z【答案】C【解析】405°＝360°＋45°，故选C.11.集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当k＝2n时，{α|2n·180°＋45°≤α≤2n·180°＋90°，n∈Z}，此时α的终边和45°≤α≤90°的终边一样.当k＝2n＋1时，{α|2n·180°＋180°＋45°≤α≤2n·180°＋180°＋90°，n∈Z}，此时α的终边和225°≤α≤270°的终边一样.12.下列说法正确的是（）A．小于90°的角是锐角B．钝角必是第二象限角，第二象限角必是钝角C．第三象限的角大于第二象限的角D．角α与角β的终边相同，角α与角β可能不相等【答案】D【解析】小于90°的角除了锐角还有零角与负角，故A错；钝角必是第二象限角，但第二象限角不一定为钝角，故B错；第三象限角不一定大于第二象限角，如224°，500°，故C错；D正确.13.判断下列各组角中，哪些是终边相同的角.（1）k·90°与k·180°＋90°（k∈Z）；（2）k·180°±60°与k·60°（k∈Z）；（3）（2k＋1）·180°与（4k±1）·180°（k∈Z）；（4）k·180°＋30°与k·180°±30°（k∈Z）.【答案】（1）由于k·90°表示90°的整数倍，而k·180°＋90°＝（2k＋1）·90°表示90°的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角.（2）由于k·180°±60°＝（3k±1）·60°表示60°的非3的整数倍.而k·60°表示60°的整数倍，故这两个角不是终边相同的角.（3）由于（2k＋1）·180°表示180°的奇数倍，（4k±1）·180°也表示180°的奇数倍，故（2k＋1）·180°与（4k±1）·180°（k∈Z）是终边相同的角.（4）由于k·180°＋30°＝（6k＋1）·30°表示30°的（6k＋1）倍，而k·180°±30°＝（6k±1）·30°表示30°的（6k±1）倍，故这两个角不是终边相同的角.14.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：（1）终边落在射线OB上；（2）终边落在直线OA上；（3）终边落在阴影区域内（含边界）.【答案】（1）终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}；（2）终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}；（3）终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}.15.已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合.【答案】（1）{x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}.（2）{x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或（2k＋1）·180°＋30°≤x≤（2k＋1）·180°＋60°，k∈Z}＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}.16.如图所示，阴影表示角α终边所在的位置，写出角α的集合.【答案】（1）终边落在x轴非负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}，终边落在60°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}，终边落在130°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋130°，k∈Z}，终边落在220°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋220°，k∈Z}，∴终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α|k·360°≤α≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{α|k·360°＋130°≤α≤k·360°＋220°，k∈Z}，（2）终边落在75°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋75°，k∈Z}，终边落在－45°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}，故终边落在阴影部分的角的集合为{α|k·360°－45°≤α＜k·360°＋75°，k∈Z}.17.写出如图所示阴影部分的角α的范围.【答案】（1）因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式.所以图（1）阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°＜α≤45°＋k·360°，k∈Z}.（2）同理可表示图（2）中角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}.知识点二弧度制18.下列说法中，错误的是（）A．半圆所对的圆心角是πradB．周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度【答案】D【解析】根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误. 19.比值lr （l 是圆心角α所对的弧长，r 是该圆的半径）（ ）A ．既与α的大小有关，又与r 的大小有关B ．与α及r 的大小都无关C ．与α的大小有关，而与r 的大小无关D ．与α的大小无关，而与r 的大小有关 【答案】C【解析】由题意，比值lr ＝|α|，∴比值lr 与α的大小有关，而与r 的大小无关，故选C.20.下列转化结果错误的是（ ） A ．60°化成弧度是π3 B ．－103π化成度是－600° C ．－150°化成弧度是－7π6 D ．π12化成度是15° 【答案】C【解析】对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－10π3＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°. 21.在△ABC 中，满足∠A ＝π6，∠B ＝π3，则∠C 等于（ ）A ．120°B ．90°C ．75°D ．135°【答案】B【解析】∵三角形的内角和为π，∴∠C ＝π－π3－π6＝π2，∵π＝180°，∴∠C ＝90°.22.圆的半径是6cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（） A ．π2cm 2B ．3π2cm 2C ．πcm 2D ．3πcm 2【答案】B【解析】15°化为弧度为π180×15＝π12.∴15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是12|α|r 2＝12×π12×36＝3π2（cm 2）23.扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为（）A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9【答案】B【解析】设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ，则R ＝r ＋rsin π6＝r ＋2r ＝3r . ∴S 内切＝πr 2.S 扇形＝12|α|R 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2，∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.24.若2弧度的圆心角所对的弧长为2cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ ） A ．4cm 2B ．2cm 2C ．4πcm 2D ．1cm 2【答案】D【解析】弧度是2的圆心角所对的弧长为2，所以根据弧长公式，可得圆的半径为1，所以扇形的面积为：12×2×1＝1（cm 2）. 25.已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（ ）A ．4cm 2B ．6cm 2C ．8cm 2D ．16cm 2【答案】A【解析】设扇形的半径为R，所以2R＋2R＝8，所以R＝2，扇形的弧长为4，半径为×4×2＝4（cm2）.2，扇形的面积为：1226.若角α，β的终边关于y轴对称，则α与β的关系一定是（其中k∈Z）（）A．α＋β＝πB．α－β＝π2C．α－β＝π＋2kπ2D．α＋β＝（2k＋1）π【答案】D【解析】可以取几组特殊角代入检验.27.已知集合A＝{α|2kπ≤α≤（2k＋1）π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于（）A．∅B．{α|－4≤α≤π}C．{α|0≤α≤π}D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}【答案】D【解析】集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上.28.给出下列命题，其中正确的是（）（1）弧度角与实数之间建立了一一对应关系；（2）终边相同的角必相等；（3）锐角必是第一象限角；（4）小于90°的角是锐角；（5）第二象限的角必大于第一象限角.A．（1）B．（1）（2）（5）C．（3）（4）（5）D．（1）（3）【答案】D【解析】∵角的弧度制是与实数一一对应的，第一个命题正确，终边相同的角有无数个，它们的关系可能相等，也可能不等，锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，小于90°的角可能是负角，象限角不能比较大小，∴（1）（3）的说法是正确的，故选D.29.圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，则点A第一次回到点P的位置时，点A走过的路径的长度为________.【答案】（【解析】由图可知：∵圆O 的半径r ＝1，正方形ABCD 的边长a ＝1，∴以正方形的边为弦时所对的圆心角为π3，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，∴当点A 首次回到点P 的位置时，正方形滚动了3圈共12次，设第i 次滚动，点A 的路程为Ai ，则A 1＝π6×|AB |＝π6， A 2＝π6×|AC |＝√2π6， A 3＝π6×|DA |＝π6，A 4＝0，∴点A 所走过的路径的长度为3（A 1＋A 2＋A 3＋A 4）＝2+√22π. 30.一条弦的长度等于半径r ，求：（1）这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.【答案】（1）在半径为r 的⊙O 中弦AB ＝r ，则△OAB 为等边三角形，所以∠AOB ＝π3，则弦AB 所对的劣弧长为π3r .（2）∵S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin ∠AOB ＝√34r 2， S 扇形OAB ＝12|α|r 2＝12×π3×r 2＝π6r 2，∴S 弓形＝S 扇形OAB －S △AOB ＝π6r 2－√34r 2＝(π6−√34)r 2. 31.如图，一长为√3dm ，宽为1dm 的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为π6，试求点A 走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积.（圆心角为正）【答案】在扇形ABA 1中，圆心角恰为π2，弧长l 1＝π2·|AB |＝π2·√3+1＝π，面积S 1＝12·π2·|AB |2＝12·π2·4＝π.在扇形A 1CA 2中，圆心角也为π2，弧长l 2＝π2·|A 1C |＝π2·1＝π2，面积S 2＝12·π2·|A 1C |2＝12·π2·12＝π4.在扇形A 2DA 3中，圆心角为π－π2－π6＝π3，弧长l 3＝π3·|A 2D |＝π3·√3＝√33π，面积S 3＝12·π3·|A 2D |2＝12·π3·（√3）2＝π2，∴点A 走过的路程长l ＝l 1＋l 2＋l 3＝π＋π2＋√3π3＝(9+2√3π6)，点A 走过的弧所在的扇形的总面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＝π＋π4＋π2＝7π4.32.用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合（不包括边界）.【答案】（1）∵330°的终边也可看作－30°的终边，∴－30°＝－π6，75°＝5π12，∴{θ|−π6＝2kπ<θ<5π12+2kπ，k∈Z?}（2）∵225°的终边也可看作－135°的终边，∴－135°＝－3π4，135°＝3π4，∴{θ|−3π4+2kπ<θ<3π4+2kπ，k∈Z?}。
第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数(经典练习及答案详解)
第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数知识梳理1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形. (2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. (2)公式3.任意角的三角函数 (1)定义(2)定义的推广设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝yr；cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0).1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.3.象限角4.轴线角诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()(3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.( ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 解析 (1)锐角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角.2.已知角θ的终边过点P (－12，m )，cos θ＝－1213，则m 的值为( ) A.－5 B.5C.±5D.±8答案 C解析 由三角函数的定义可知cos θ＝－12（－12）2＋m2＝－1213，解得m ＝±5. 3.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________. 答案 {－675°，－315°}解析 所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )，得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z ). 解得k ＝－2或k ＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.4.(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则( ) A.cos 2α>0 B.cos 2α<0 C.sin 2α>0D.sin 2α<0答案 D解析 ∵α是第四象限角，∴sin α<0，cos α>0，∴sin 2α＝2sin αcos α<0，故选D. 5.(多选题)(2021·武汉调研)下列说法正确的是( ) A.时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B.钝角大于锐角C.三角形的内角必是第一或第二象限角D.若α是第二象限角，则α2是第一或第三象限角 答案 BD解析 对于A ，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误； 对于B ，钝角一定大于锐角，显然正确；对于C ，若三角形的内角为90°，则是终边在y 轴正半轴上的角，故错误； 对于D ，∵角α的终边在第二象限， ∴2k π＋π2＜α＜2k π＋π，k ∈Z ， ∴k π＋π4＜α2＜k π＋π2，k ∈Z .当k ＝2n ，n ∈Z 时，2n π＋π4＜α2＜2n π＋π2，n ∈Z ，得α2是第一象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，(2n ＋1)π＋π4＜α2＜(2n ＋1)π＋π2，n ∈Z ，得α2是第三象限角，故正确.6.(2021·菏泽质检)密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是6 000密位制，即将一个圆周分成6 000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于________rad. 答案 π50解析 ∵周角为2π rad ， ∴1密位＝2π6 000＝π3 000(rad)， ∴60密位＝π3 000·60＝π50(rad).考点一 角的概念及其表示1.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，排除A 、B ，易知D 错误，C 正确.2.(多选题)(2021·海南调研)已知α为第三象限角，则α2的终边所在的象限可能是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限答案 BD解析 ∵α为第三象限角， ∴π＋2k π<α<3π2＋2k π，k ∈Z ， ∴π2＋k π<α2<3π4＋k π，k ∈Z ，当k ＝2m ，m ∈Z 时，π2＋2m π<α2<3π4＋2m π，m ∈Z ，此时α2在第二象限， 当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，3π2＋2m π<α2<7π4＋2m π，m ∈Z ， 此时α2在第四象限.综上，α2的终边在第二或第四象限.3.终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________. 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3解析 终边在直线y ＝3x 上的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π3＋k π，又由α∈[－2π，2π)，即－2π≤π3＋k π<2π，k ∈Z ， 解得k ＝－2，－1，0，1，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.感悟升华 1.确定nα，αn (n ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出nα或αn 的范围，然后根据n 的可能取值讨论确定nα或αn 的终边所在位置(也可采用等分象限角的方法). 2.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角. 考点二 弧度制及其应用【例1】已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l ，若α＝π3，R ＝10 cm ，求：(1)扇形的面积；(2)扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 解 (1)由已知得α＝π3，R ＝10， ∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2). (2)l ＝α·R ＝π3·10＝10π3(cm)，S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3 ＝12×10π3·10－12×102×32＝50π－7533(cm 2).感悟升华 应用弧度制解决问题时应注意：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 【训练1】 (1)(多选题)(2020·青岛质检)已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的有( ) A.圆的半径为2 B.圆的半径为1 C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2(2)已知扇形的周长为8 cm ，则该扇形面积的最大值为________cm 2. 答案 (1)ABC (2)4解析 (1)设扇形半径为r ，圆心角弧度数为α，则由题意得⎩⎨⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，α＝1，可得圆心角的弧度数是4或1. (2)设扇形半径为r cm ，弧长为l cm ， 则2r ＋l ＝8，S ＝12rl ＝12r ×(8－2r ) ＝－r 2＋4r ＝－(r －2)2＋4， 所以S max ＝4(cm 2).考点三 三角函数的定义及应用角度1 求三角函数值【例2】已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α等于( )A.－33 B.±33C.－32D.±32答案 C解析 由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3， 此时sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3， 此时，sin α·tan α＝－32. 综上sin α·tan α＝－32. 角度2 由三角函数值求参数【例3】已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12 B.－32 C.12D.32答案 C解析 由题意得点P (－8m ，－3)，r ＝64m 2＋9，所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，所以m >0，解得m ＝12.角度3 三角函数值的符号【例4】 (多选题)(2021·重庆调研)已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则角θ2的终边可能在( ) A.第二、四象限 B.第一、三象限 C.y 轴上D.x 轴上答案 AD解析∵|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，∴cos θ≥0，tan θ≤0，∴角θ的终边在第四象限或x轴正半轴上，∴角θ2的终边在第二、四象限或x轴上.故选AD.感悟升华 1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.【训练2】(1)若sin θ·cos θ<0，tan θsin θ>0，则角θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－31010，则y＝________.答案(1)D(2)－3解析(1)由tan θsin θ>0，得1cos θ>0，所以cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角.故选D.(2)因为sin θ＝－31010<0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，由三角函数的定义，得yy2＋1＝－31010.解得y ＝－3.A 级 基础巩固一、选择题1.小明出国旅游，当地时间比北京时间晚一个小时，他需要调整手表的时间，则时针转过的角的弧度数为( ) A.π3 B.π6C.－π3D.－π6答案 B解析 因为当地时间比北京时间晚一个小时，所以时针应该是逆时针方向旋转，故时针转过的角的弧度数为π6.故选B.2.(多选题)(2021·淄博调研)下列四个命题正确的是( ) A.－3π4是第二象限角B.4π3是第三象限角C.－400°是第四象限角D.－315°是第一象限角答案 BCD解析 －3π4是第三象限角，故A 错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，B 正确；－400°＝－360°－40°，是第四象限角，从而C 正确；－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，从而D 正确.3.(2020·天津期末)在平面直角坐标系中，若角α以x 轴的非负半轴为始边，且终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，则sin α＝( )A.－32B.－12C.32D.12答案 D解析 由任意角三角函数的定义得sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.故选D.4.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A.2B.4C.6D.8答案 C解析 设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝αr ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.5.若角α的终边在直线y ＝－x 上，则角α的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·2π－π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·2π＋3π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·π－3π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·π－π4，k ∈Z 答案 D解析 由图知，角α的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π＋3π4，k ∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π－π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝（2n ＋1）π－π4，k ∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π－π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π－π4，k ∈Z . 6.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案 B解析 由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角， 又⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，所以cos θ2<0， 综上可知，θ2为第二象限角.7.(2020·长沙模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A.12B.－12C.32D.－32答案 A解析 由三角函数定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，得3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去).故选A.8.(多选题)(2021·山东新高考模拟)如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA ＝60°，质点A 以1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则( )A.经过1 s 后，∠BOA 的弧度数为π3＋3B.经过π12 s 后，扇形AOB 的弧长为7π12C.经过π6 s 后，扇形AOB 的面积为π3D.经过5π9 s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇答案 ABD解析 经过1 s 后，质点A 运动1 rad ，质点B 运动2 rad ，此时∠BOA 的弧度数为π3＋3，故A 正确；经过π12 s 后，∠AOB ＝π12＋π3＋2×π12＝7π12，故扇形AOB 的弧长为7π12×1＝7π12，故B 正确；经过π6 s 后，∠AOB ＝π6＋π3＋2×π6＝5π6，故扇形AOB 的面积为S ＝12×5π6×12＝5π12，故C 不正确；设经过t s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇，则t (1＋2)＋π3＝2π，解得t ＝5π9(s)，故D 正确.二、填空题9.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________. 答案 π3解析 设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎨⎧l ＝π3，r ＝2. 10.在平面直角坐标系xOy 中，点P 在角2π3的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标为________.答案 (－1，3)解析设点P 的坐标为(x ，y )，由三角函数定义得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|OP |cos 2π3，y ＝|OP |sin 2π3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，所以点P 的坐标为(－1，3).11.(2021·河北九校联考)已知点P (sin 35°，cos 35°)为角α终边上一点，若0°≤α<360°，则α＝________.答案 55°解析 由题意知cos α＝sin 35°＝cos 55°，sin α＝cos 35°＝sin 55°，P 在第一象限，所以α＝55°.12.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝________.答案 55解析 由O ，A ，B 三点共线，从而得到b ＝2a ，因为cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋12－1＝23，解得a 2＝15， 即|a |＝55，所以|a －b |＝|a －2a |＝|a |＝55.B 级 能力提升13.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝{x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z }，那么( )A.M ＝NB.M ⊆NC.N ⊆MD.M ∩N ＝∅ 答案 B解析 由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .14.(2019·北京卷)如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β＋4cos βB.4β＋4sin βC.2β＋2cos βD.2β＋2sin β 答案 B解析 如图，设点O 为圆心，连接PO ，OA ，OB ，AB ，在劣弧上取一点C ，则阴影部分面积为△ABP 和弓形ACB 的面积和.因为A ，B 是圆周上的定点，所以弓形ACB 的面积为定值，故当△ABP 的面积最大时，阴影部分的面积最大.又AB 的长为定值，故当点P 为优弧的中点时，点P 到弦AB 的距离最大，此时△ABP 面积最大，即当P 为优弧的中点时，阴影部分面积最大.下面计算当P 为优弧的中点时阴影部分的面积.因为∠APB 为锐角，且∠APB ＝β，所以∠AOB ＝2β，∠AOP ＝∠BOP ＝180°－β，则阴影部分的面积S ＝S △AOP ＋S △BOP ＋S 扇形OAB ＝2×12×2×2sin(180°－β)＋12×22×2β＝4β＋4sin β.故选B.15.一扇形的圆心角为2π3，则此扇形的面积与其内切圆的面积的比值为________.答案 7＋439解析 设扇形半径为R ，内切圆半径为r .则(R －r )sin π3＝r ，即R ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋233r . 又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2，所以S 扇πr 2＝7＋439.16.在平面直角坐标系中，劣弧，，，是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段弧上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是________.答案解析 因为tan α<cos α，所以P 所在的圆弧不是，因为tan α<sin α，所以P 所在的圆弧不是，又cos α<sin α，所以P 所在的圆弧不是，所以P 所在的圆弧是.。
02-第一节 任意角和弧度制-课时2 弧度制高中数学必修一人教A版
⌢
为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，则 , ,围成的阴影部
4π
− 3
分的面积为________．
3
【解析】 如图，连接,.由题意知，线段,,
的长度都等于2，所以△ 为正三角形，则
∠ = ∠ =
1
2
π
.又△
3
的面积
1 = × 2 × 3 = 3，扇形的面积
2.4 rad的角的终边所在的象限为( C )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
【解析】 因为4 ≈ π + 0.86，所以π < 4 < π
D.第四象限
π
+ ，故其终边在第三象限.
2
知识点2 弧度制与角度制的互化
3.用弧度制表示与150∘ 角终边相同的角的集合为( D )
A.{| =
5π
D.用弧度表示的角都是正角
【解析】 对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于
所在圆的半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度
的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角
所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角
或零角，故D错误.
2π
−
准,则手表分针转过的角的弧度数为_____,已知手表分针长1
cm,则分针扫
π
2.
过的扇形面积为__cm
3
3
【解析】 由题意得手表分针转过的角的弧度数为 = −2π ×
20
60
=
2π
− .由
3
π
3
cm2 .
手表分针长1 cm,即扇形的半径 = 1 cm,得分针扫过的扇形弧长
(完整版)任意角的概念与弧度制重点、难点题型
任意角的概念与弧度制重点、难点题型题型一终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成集合：S k 360°,k z 终边相同的角不一定相等，等相等的角一定终边相同。
例 1. 把1230°、3290°写成k 360°（其中0°360°, k z）的形式。
例2. 在0°到360°范围内找出与1500°，-1500°（1）终边互为反向延长线的角；（2）终边关于x轴对称的角；（3）终边关于y轴对称的角；题型二轴线角与象限角1.终边落在x轴正半轴上角的集合2.终边落在x轴负半轴上角的集合3.终边落在y轴正半轴上角的集合4.终边落在y轴负半轴上角的集合5.终边落在x轴上角的集合6.终边落在y轴上角的集合7.终边落在坐标轴上角的集合8.与终边关于原点对称（互为反向延长线），与的关系9.与终边关于X轴对称,与的关系10.与终边关于y轴对称,与的关系11.第一象限角的范围：12.第二象限角的范围：13.第三象限角的范围：14.第四象限角的范围：例3.设为第一象限角'判断-、亍2分别是第几象限角?例 4•集合 A= | =k 1200 30°,k z ,B k 3600 1200 k 360° 60°,k z ，求A B3.设集合 A xx kgl8O 0 则集合A 、B 的关系是（） （A ）A B （ B ）B A4.. 如图所示，终边落在阴影部分5.. 如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.题型三弧度制与角度值的互化 1.1800，10 _______ _______ ，1 = _____度0030045060090012001350弧度度1500180021002250270°31503300弧度(A)第象限（B ）第二象限(C ) 第三象限 （D ）第四象限2•如果 与x 450具有同一条终边，角 与x 450具有同一条终边，那么, 间关系: 是（）(A )(B )(C )kgB60°,k z(D )kgB60° 900,k z跟踪练习：1•已知角，终边相同，那么 的终边在（）与之(1)k g900,k z ，B= xx kg3600 900,k z（C ） A=B （ D ）A B= （含边界）的角的集合是跟踪练习:1.如果 与一具有同一条终边，角 与具有同一条终边，那么， 与 之间关系是()44(A)(B)= 7 (C)+ =2k ,k z(D)=2k尹z2.终边在直线 y=x 上的角的集合为3.集合Mx xk—,k z-N x x则MN 等于( )2 517 47 4/ 、 37(A)—(B )(C )(D )——,5 1010 55 10 10 510 104•已知 是第二象限角，且 +2 5，贝U的范围为 ___________5.. 已知 8000。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
知识点一：任意角的表示
⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角
零角:不作任何旋转形成的角
知识点二：象限角的范围
2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}
36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z o o o 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z o o o o 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o
终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z o
终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z o o 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z o
知识点三：终边角的范围
3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z o
4、已知α是第几象限角，确定()*
n n α∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α终边所落在的区域．
知识点四：弧度制的转换
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．
6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α=
． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=o ，1180π=o ，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭o
o ． 知识点五：扇形
8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，
2C r l =+，21122
S lr r α==．
例题分析
【例1】如果α角是第二象限的角，那么2α角是第几象限的角？说说你的理由。
【例2】如图，圆上一点A 以逆时针方向作匀速圆周运动，已知点A 每分钟转过θ角（0πθ<≤），
经过2分钟到达第三象限，经过14分钟回到原来位置，求θ的大小．
【例3】一扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此
扇形的最大面积？
针对练习
1．下列角中终边与330°相同的角是（ ）
Α.30° B.-30° C.630° D.-630°
2．下列命题正确的是（ ）
Α.终边相同的角一定相等。
B.第一象限的角都是锐角。
C.锐角都是第一象限的角。
D.小于︒90的角都是锐角。
3．如果一扇形的弧长为2πcm ，半径等于2cm ，则扇形所对圆心角为（ ）
Ａ．π Ｂ．2π Ｃ．π2 Ｄ．3π2
4.若α是第四象限角，则180°+α一定是（ ）
Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角
5．一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为（ ） Ａ．2112sin 222R ⎛⎫- ⎪⎝⎭ Ｂ．21
sin 22R
Ｃ．212R Ｄ．2
21
sin 22R R -
6．若α角的终边落在第三或第四象限，则2α
的终边落在（ ）
A ．第一或第三象限
B ．第二或第四象限
C ．第一或第四象限
D ．第三或第四象限
7．某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为 （ ）
A ．2°
B ．2
C ．4°
D ．4
8．下列说法正确的是 （ ）
A ．1弧度角的大小与圆的半径无关
B ．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大
C ．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等
D ．用弧度表示的角都是正角
9．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （
） A ．2 B ．1sin 2
C ．1sin 2
D ．2sin
二、填空题
10．若三角形的三个内角的比等于2:3:7，则各内角的弧度数分别为 ．
11．将时钟拨快了10分钟，则时针转了 度，分针转了 弧度．
12．若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．
13．已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是 .
三、解答题
14. 在0o 与360o 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？
（1）120-o （2）640o （3）95012'-o
15．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（用弧度制表示）
（1） （2） （3）
16．绳子绕在半径为50cm的轮圈上，绳子的下端B处悬挂着物体W，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W的位置向上提升100cm?
17、绳子绕在半径为50cm的轮圈上，绳子的下端B处悬挂着物体W，如果轮子按逆时针方向每分
钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W的位置向上提升100cm?
三、课堂小结
1、理解任意大小的角正角、负角和零角；
2、掌握终边相同的角、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角；
3、弧度制定义和理解。
四、布置作业
1．已知两角的和为1弧度，两角的差为1°，求这两个角各是多少弧度？
2．单位圆上两个动点M N
，，同时从(10)
P，点出发，沿圆周运动，M点按逆时针方向旋转π
6
弧度／
秒，N点按顺时针方向旋转π
3
弧度／秒，试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度．。