25数学八年级上册等边三角形(基础)知识讲解

r等边三角形（基础）

【学习目标】

1. 掌握等边三角形的性质和判定.

2. 掌握含30°角的直角三角形的一个主要性质．

3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．

【要点梳理】

要点一、等边三角形

等边三角形定义：

三边都相等的三角形叫等边三角形.

要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．

要点二、等边三角形的性质

等边三角形的性质：

等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.

要点三、等边三角形的判定

等边三角形的判定：

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

要点四、含30°的直角三角形

含30°的直角三角形的性质定理：

在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.

【典型例题】

类型一、等边三角形

1、（2014秋•崇州市期末）如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．

【思路点拨】由条件可以容易证明△ABD≌△ACE，进一步得出AD=AE，∠BAD=∠CAE，加上∠DAE=60°，即可证明△ADE为等边三角形．

【答案与解析】

证明：∵△ABC为等边三角形，

∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，

即∠ACD=120°，

∵CE平分∠ACD，

∴∠1=∠2=60°，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

又∠BAC=60°，

∴∠DAE=60°，

∴△ADE为等边三角形．

【总结升华】本题考查了等边三角形的判定与性质，难度适中，关键找出判定三角形等边的条件．

举一反三：

【变式】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P 上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF

的形状.

【答案】

解：∵PE⊥AB，∠B＝60°，

因此直角三角形PEB中，BE＝1

2

BP＝

1

3

BC＝PC，

∴∠BPE＝30°，

∵∠EPF＝60°，

∴FP⊥BC，

∵∠B＝∠C＝60°，BE＝PC，∠PEB＝∠FPC＝90°，∴△BEP≌△CPF，

∴PE＝PF，

∵∠EPF＝60°，

∴△EPF是等边三角形．

2、已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝60°，AD ＝CE ，求∠BPD 的度数

.

【答案与解析】

证明：在ABC ∆中， AB ＝AC ，∠ABC ＝60°

∴ABC ∆为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）

∴AC ＝BC ，∠A ＝∠ECB ＝60°

在ADC ∆和CEB ∆中

⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(已知已证已证CE AD ECB A CB AC

ADC ∆≌CEB ∆（SAS ）

∴21∠∠＝（全等三角形对应角相等）

23DPB ∠∠∠＝＋（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）

∴13DPB ACB ∠∠∠∠＝＋＝

∴∠DPB ＝60°.

【总结升华】这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题得以解决.

举一反三：

【变式】（2014秋•黔西南州期末）△ABC 为正三角形，点M 是射线BC 上任意一点，点N 是射线CA 上任意一点，且BM=CN ，BN 与AM 相交于Q 点，∠AQN 等于多少度？

【答案】

解：证法一．

∵△ABC 为正三角形

∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC

在△AMB 和△BNC 中

，

△AMB≌△BNC（SAS ），

∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC，

∠MAN=∠BAC﹣∠MAB=60°﹣∠MAB，

又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等），

∴∠ANB+∠MAN=120°，

又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°，

∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAN，

∠AQN=180°﹣（∠ANB+∠MAN），

=180°﹣120°=60°，

∠BOM=∠AQN=60°（全等三角形对应角相等）．

证法二．

∵△ABC为正三角形

∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC

在△AMB和△BNC中

∴△AMB≌△BNC（SAS）

∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC

∠MAN=∠BAC﹣∠MAB

又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等）

∴∠ANB+∠MAN=120°

又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°

∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAB

∠AQN=180°﹣（∠ANB+∠MAN）

=180°﹣120°=60°

3、（1）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三

角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB的大

小；

（2）如图，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋

转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．