江西省2020八校第二次联考试卷数学文科答案
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江西省
丰城中学赣州中学
东乡一中都昌一中上栗中学新建二中
景德镇二中上饶中学新八校
2020届高三第二次联考文科数学答案
命题人:丰城中学
翁耀泉
审题人:都昌一中
余慕华
一、选择题(每小题5分,共12小题)1.若集合{}
023|2≤+-=x x x A ,集合⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
≥-=1)1(1
|
2
x x B ,则A B = (D )
A.()2,1B.]
[2,1C.)2,1[D.]
2,1(答案D:[](](](]2,1,2,11,0,2,1=∴=B A B A 。
2.已知i 是虚数单位,且)(2020
R a i
i a i z ∈++=是实数,则z =(B )
A .-1
B .1
C .2
D .-2
答案B:.1,)1(11
=∴+-=++=
z i a i
a i z 3.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形的改编,此图由一个圆面和一个四分之一圆面组合而成,在此图内任取一点,此点取自第一部分的概率记为P 1,取自第2部分的概率为P 2,则P 1与P 2的大小为(A
)
A .P 1=P 2
B .P 1>P 2
C .P 1<P 2
D .无法确定
.
,)2
2
(21,4,2,1211221P P S S S S S AB BC AC A ABC ABC ==-=-=∴===∆∆所以则:假设答案ππ
4.已知向量2||=AB ,1||=BC ,且2|2|=+BC AB ,则AB 在BC 方向上的投影为(B )A.1
B.-1
C.
2
1
D.2
1-
.
11,22-=∙∴-=∙=+BC
BC AB BC AB BC AB BC AB B 方向上的投影为
在两边平方有:答案 5.一个等比数列的前4项是a ,x ,b ,2x ,则a
b
等于(D )A.3
B.
1
3
C.2
D.
12
21,222,,,2
2
22==⎪⎩⎪⎨⎧==∴b a ab b x
b ab x x b x a D 所以则有成等比数列:答案
6.已知圆9:22=+y x O ,直线)(1sin cos :为常数θθθ=+y x l .设圆上的点到直线l 的距离等于2的个数为m ,则m =(C
)
A .1
B .2
C .3
D .4
3
,1=∴m l O C 的距离为到直线圆心:答案 7.椭圆()222210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别是12,F F ,过2F 作倾斜角为
135的直线
与椭圆的一个交点为M ,若∆∆Rt F MF 为21,则椭圆的离心率为(C )
A.
2
2B.1
2-C.
2
2或1
2-D.
3
2或1
2-.1290;2
2
9021-==∠=
=∠e F MF e M C 时,当时,:由题可知:当答案 8.已知⎩⎨⎧<≥-+-=)
0()
0(52)21()(x e x a x a x f x
的值域为()+∞,0,那么a 的取值范围是
(C
)
A.⎪⎭⎫
⎝⎛21,
51B.⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡21,
51C.⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡52,
51D.⎪⎭
⎫
⎝⎛52,
51()。
,,的值域为:答案⎪⎭⎫
⎢⎣⎡∈∴⎩⎨⎧≤-<>-∴∞+52,511
5200210)(a a a x f C 9.下列程序框图中,输出的S 的值是
2021
1
,则判断框内应填入的条件是(D )2020≥i B.2020>i C.2020
≤i D.2020
<i 得答案。
结合框图和递推关系可:由框图可知:答案,11
1.1,1111=-∴+=
=++i
i i i i S S S S S S D 10.已知6log ,623==b a
,则,a b 不可能满足的关系是(C
)
A.4
ab >B.4
a b +>C.
2
)1()1(22≤-+-b a D.22(1)(1)2
a b -+->.
22)(222)(2)1()1(,11
1,6log ,6log ,62222222232>+-=+-+=++-+=-+-=+∴===b a ab b a b a b a b a B A b
a b a C a 正确。
和项根据均值不等式可知选所以:答案
11.关于函数|cos |sin )(x x x f +=有下述四个结论:
①()f x 的图象关于2
π
=
x 轴对称;②()f x 是周期函数且最小正周期为π2;③()f x 的最小值为1-,最大值为2;④()f x 在区间⎪⎭⎫
⎝
⎛43,4ππ上单调.其中所有正确结论的编号是(A )A .①②③
B .①③④
C .①②④
D .②③④
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡++∈-∈⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡++-∈+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡++∈-∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡++-∈+=Z k k k x x Z k k k x x x f Z k k k x x x Z k k k x x x x f A ππππππππππππππππππ223,22),4sin(222,224sin(2)(223,22,cos sin 22,22,cos sin )(,:答案12.已知正四面体的中心与球心O 重合,正四面体的棱长为6,球的半径为2
5
,则正四面体表面与球面的交线的总长度为(C
)A.4π
B.π
25C.π
2D.π
52答案C:考查正四面体的一个平面与球相交的截面如图所示,由题意结合几何关系可知:2
21=D O ,球心到截面的距离:2
1=
d ,则1)21
(2522
1=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=A O ,21π=∠C AO ,则正四面体表面与球面的交线的总长度为ππ
242
=⨯.二、填空题(每小题5分,共4
小题)
13.若实数y x ,满足521x y x y x +≥⎧⎪
≤⎨⎪≥⎩则y x z +=2的最小值是。
6
6
)4,1(min ==z z 答案:14.已知抛物线2
4
1:x y C =
的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若FQ QP 2=,则的长度为PF ________。
4
.
4,30,2:''''=∴=∠=⊥PF FPQ QQ PQ Q l l QQ Q 则点,所以于交作过点答案15、定义域在实数集R 的函数()f x 满足21)1(-=f ,且()f x 的导函数2
1
)('>x f ,则不等式1)2(-<x x f 的解集为。
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
∞-21,.
21,,1201221)2(,0)1()(,02
1
)()(,121)()(''⎪⎭⎫ ⎝⎛
∞-∈<<+⨯-∴=∴>-=+-
=x x x x f F x F x f x F x x f x F 的解集为又单调增函数;答案:构造函数 16、.tan 2tan 1
tan 1,32C B
A A
B AB
C -=+=∆中,在则ABC ∆外接圆半径R 的取值范围。
(
]
2
,3(](
]
2
,3,4,333,,0),0(13,31),,()0,3(),0,3(,3
1
tan tan ),tan(2tan 2tan 1tan 122222
∈
∈+=+=-==∆≠=+∴-=⋅-=∴+=-=+R y m R y m CM AM m M y ABC x y x k k y x C B A B A B A C B A BC AC 所以可得则由),(圆心坐标为轴上,设
的外接圆的圆心一定在由于则设答案:
三、解答题(17--21题每题12分,选做题10分)
17.(本小题满分12分)学习强国平台时政性强,知识面广。
在全国上下都在通过学习强
国平台学习的环境下,某学校在全校抽取部分学生进行了学习强国挑战答题初赛,初赛试题由5道选择题组成,答对一题得5分,答错得0分,现将学生答卷得分的情况统计如下:已知被调查的所有女生的平均得分为15.5分,现从所有答卷中抽取一份,抽到男生的答卷
分数
人数051015
2025女生人数101020x
2030
男生人数
15
5
15
10
20
y
且得分是25分的概率为12
1.(1)求x y ,的值;
(2)现要从得分是25分的学生中用分层抽样的方法抽取6人进行培训,再从这6人中随机抽取2人参加学习强国挑战答题决赛,求所抽取的2人中至少有1名女生的概率.解:(1)
10,5.1530
2020101030
252020152010105100=∴=+++++⨯+⨯++⨯+⨯+⨯x x x ...............3分
分
6................15,12
1
165=∴=+y y y (2)分层抽样的6人中女生有4人、男生有2人。
所以从6人中选2人参加学习强国挑战赛决赛的所有可能结果为15种,其中没有女生的只有一种结果。
记A=所抽取的2人中至少有1名女生;则A =所抽取的2人中没有女生。
分12 (15)
14
1511)(1)(=-
=-=∴A A P ,
,,//18BCD ABD BD BC ABC EF BCD A 平面平面平面中,、如图,在三棱锥⊥⊥-.
AD EF AD F BD E ⊥上一点,且为的中点,为(1)求证:AC
AD ⊥(2).2,2===BC AD AC 若求三棱锥AEC
D V -AB
EF ABD EF ABC EF ////⇒⎭
⎬⎫
⊆平面平面证明: ,
.
ABD BC BD BC BCD ABD AD AB AD EF 平面平面平面又⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥⊥⊥∴⊥ 分
平面6............AC AD ABC AD AD AB AD BC ⊥⇒⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥⊥∴分
又、、12 (3)
1
22221312121,22,2)2(=⨯⨯⨯⨯⨯===∴==∴⊥==---ABD C ADE C AEC D V V V ED
BE AB AB BC BC AC 19.n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知0>n a ,121+=+n n S a .(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)对任意*m N ∈,将数列{}n a 中落入区间()
m m 4,2内的项的个数记为m b ,求数列{}m b 的前m 项和m T .
解:(1).311==a n 时,可得当.................................1分
分时,当3..............432,12122
n n n n n s a a s a n =-+∴+=+≥ .
432112
1---=-+n n n s a a 则有两式相减得()为等差数列。
n n n n n a a a a a ∴=--+--,0)2(1112+=∴n a n ...........6分.2
1
2212,4122,12)2(121-<<-
<+<∴+=--m m m m n n n n a 则 分
10......................22112---=∴m m m b 分则12.. (3)
1223121)21(22141)41(42112+-⋅=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--⨯-⎦⎤⎢⎣⎡--⨯=+m
m m m m T 20、已知双曲线E 的中心为直角坐标系xoy 的原点,右焦点为(
)
0,32F ,并经过点()1,2.
(1)求双曲线E 的标准方程;
(2)设,M N 为双曲线E 上关于x 轴对称的不同两点,12(,0),(,0)A x B x 为x 轴上两点,且
122x x =,证明:直线,AM NB 的交点P 仍在双曲线E 上;
(3)你能否将(2)推广到一般双曲线中?写出你的结论即可.
解:(1)根据题意,设双曲线的方程为122
22=-b
y a x ,则3=c ,1
1422=-b a 解得2
2a =,12
=b ,所以双曲线的方程是12
22
=-y x .....................4分
(2)设).(),,(n m N n m M -,则直线AM 的方程为)(11x x x m n y --=
①,直线BN 的方程为)(22x x m
x n
y --=②设交点()00,P x y ,代入①②得:1000)(x n y nx my -=-③,2000)(x n y nx my +=+④,
③与④两边分别相乘得212
2
02
02
2
02
)(x x n y x n y m -=-,又因为12
22
=-n m ,122x x =,
所以222
020=-y x ,所以直线,AM NB 的交点P 的坐标适合双曲线的方程,所以直线,AM NB 的交点P 仍在双曲线E 上...........................10分
(3)若双曲线12222=-b
y a x ,若2
12x x a =,则直线,AM NB 的交点P 仍在双曲线E
上;.........................................................12分21、已知函数()ln(1)sin f x x x =++.(1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程;
(2)若()f x ax ≤对任意[)0,x ∈+∞恒成立,求实数a 的取值范围.解:(1)1
'()cos 1
f x x x =
++,则'(0)2f =,又(0)0f =,所以,切线方程为2y x =.................................4分
(2)令()()ln(1)sin g x f x ax x x ax =-=++-,则1
'()cos 1
g x x a x =+-+,①当2a ≥时,1
'()cos 201
g x x a a x =
+-≤-≤+,因此()g x 单调递减,从而()(0)0g x g ≤=,符合题意;...........................6分
②当0a ≤时,()ln(1)0g a πππ=+->,与已知矛盾,不符合题意;....................8分
③当02a <<时,易知1
'()cos 1
g x x a x =
+-+在(0,)π上单调递减,又'(0)20g a =->,1
'()101
g a ππ=-+
-<+,所以,由零点存在性定理知,存在唯一0(0,)x π∈,使得0'()0g x =,故
当00x x <<时,'()0g x >,从而()g x 单调递增,因此,()(0)0g x g >=,与已知矛盾,不符合题意;...................................................11分
综上所述,实数a 的取值范围是[)2,+∞........................................12分
22.已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点,极轴与x 轴的非负半轴重合.曲线C 的
参数方程为)(tan 8
tan 82为参数ααα⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧==y x ,直线l
的极坐标方程是cos 04πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程;
(2)设点()2,0P ,直线l 与曲线C 相交于点N M 、,求11PM PN
+的值.解:(1)
)0(,82≠=x x y ,;
分5...................02,02sin 2
2
cos 22=-+∴=-+y x θρθρ
(2)x y t t y t x 8)(2222
22=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=-
=。
代入为参数直线的参数方程为 03228),2
22(8)22(
22=-+-=t t t t 得 32,282121-=⋅-=+∴t t t t 分10 (2)
1||||||||||1||1112121212121=⋅-=⋅+=+=+∴
t t t t t t t t t t PN PM (另解:利用结论p
PN PM 2
11=+∴
)23.已知函数.).(|||12|)(R m m x x x f ∈-++=(1)当1m =时,解不等式()2f x ≥;
(2)若关于x 的不等式|53|)(+≥x x f 的解集包含[)2,1,求m 的取值范围.
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
>≤<-+-≤-=-++==)1(3)
121(2)21(3|1||12|)(11x x x x x x x x x f m 时,)、当解:([)分
,,不等式的解集为5.................032--∞+⎥⎦
⎤ ⎝⎛
∞∴ [)[)[)分
或或恒成立对恒成立。
有,则对的解集包含10...............................................84.44.2,14|||53|)(2,12,1|53|)()2(≥-≤∴--≤-+≥-∴∈∀+≥-∴+≥∈∀+≥m m x m x x m x x x m x x x f x x x f。