江西省2020八校第二次联考试卷数学文科答案

江西省
丰城中学赣州中学
东乡一中都昌一中上栗中学新建二中
景德镇二中上饶中学新八校
2020届高三第二次联考文科数学答案
命题人：丰城中学
翁耀泉
审题人：都昌一中
余慕华
一、选择题（每小题5分，共12小题）1．若集合{}
023|2≤+-=x x x A ，集合⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
≥-=1)1(1
|
2
x x B ，则A B = (D )
A．()2,1B．]
[2,1C．)2,1[D．]
2,1(答案D：[](](](]2,1,2,11,0,2,1=∴=B A B A 。

2．已知i 是虚数单位，且)(2020
R a i
i a i z ∈++=是实数，则z =（B ）
A ．-1
B ．1
C ．2
D ．-2
答案B：.1,)1(11
=∴+-=++=
z i a i
a i z 3．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形的改编，此图由一个圆面和一个四分之一圆面组合而成，在此图内任取一点，此点取自第一部分的概率记为P 1，取自第2部分的概率为P 2,则P 1与P 2的大小为(A
)
A ．P 1=P 2
B ．P 1>P 2
C ．P 1<P 2
D ．无法确定
.
,)2
2
(21,4,2,1211221P P S S S S S AB BC AC A ABC ABC ==-=-=∴===∆∆所以则：假设答案ππ
4．已知向量2||=AB ，1||=BC ，且2|2|=+BC AB ，则AB 在BC 方向上的投影为（B ）A．1
B．-1
C．
2
1
D．2
1-
.
11,22-=∙∴-=∙=+BC
BC AB BC AB BC AB BC AB B 方向上的投影为
在两边平方有：答案 5．一个等比数列的前4项是a ，x ，b ，2x ，则a
b
等于（D ）A．3
B．
1
3
C．2
D．
12
21,222,,,2
2
22==⎪⎩⎪⎨⎧==∴b a ab b x
b ab x x b x a D 所以则有成等比数列：答案
6．已知圆9:22=+y x O ，直线)(1sin cos :为常数θθθ=+y x l ．设圆上的点到直线l 的距离等于2的个数为m ，则m =（C
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3
,1=∴m l O C 的距离为到直线圆心：答案 7．椭圆()222210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过2F 作倾斜角为
135的直线
与椭圆的一个交点为M ，若∆∆Rt F MF 为21，则椭圆的离心率为（C ）
A．
2
2B．1
2-C．
2
2或1
2-D．
3
2或1
2-.1290;2
2
9021-==∠=
=∠e F MF e M C 时，当时，：由题可知：当答案 8．已知⎩⎨⎧<≥-+-=)
0()
0(52)21()(x e x a x a x f x
的值域为()+∞,0，那么a 的取值范围是
(C
)
A．⎪⎭⎫
⎝⎛21,
51B．⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡21,
51C．⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡52,
51D．⎪⎭
⎫
⎝⎛52,
51()。

，，的值域为：答案⎪⎭⎫
⎢⎣⎡∈∴⎩⎨⎧≤-<>-∴∞+52,511
5200210)(a a a x f C 9．下列程序框图中，输出的S 的值是
2021
1
，则判断框内应填入的条件是（D ）2020≥i B．2020>i C．2020
≤i D．2020
<i 得答案。

结合框图和递推关系可：由框图可知：答案,11
1.1,1111=-∴+=
=++i
i i i i S S S S S S D 10．已知6log ,623==b a
，则,a b 不可能满足的关系是（C
）
A．4
ab >B．4
a b +>C．
2
)1()1(22≤-+-b a D．22(1)(1)2
a b -+->.
22)(222)(2)1()1(,11
1,6log ,6log ,62222222232>+-=+-+=++-+=-+-=+∴===b a ab b a b a b a b a B A b
a b a C a 正确。

和项根据均值不等式可知选所以：答案
11．关于函数|cos |sin )(x x x f +=有下述四个结论：
①()f x 的图象关于2
π
=
x 轴对称；②()f x 是周期函数且最小正周期为π2；③()f x 的最小值为1-,最大值为2；④()f x 在区间⎪⎭⎫
⎝
⎛43,4ππ上单调.其中所有正确结论的编号是（A ）A ．①②③
B ．①③④
C ．①②④
D ．②③④
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡++∈-∈⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡++-∈+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡++∈-∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡++-∈+=Z k k k x x Z k k k x x x f Z k k k x x x Z k k k x x x x f A ππππππππππππππππππ223,22),4sin(222,224sin(2)(223,22,cos sin 22,22,cos sin )(，：答案12．已知正四面体的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为6，球的半径为2
5
,则正四面体表面与球面的交线的总长度为(C
)A．4π
B．π
25C．π
2D．π
52答案C：考查正四面体的一个平面与球相交的截面如图所示，由题意结合几何关系可知：2
21=D O ，球心到截面的距离：2
1=
d ，则1)21
(2522
1=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=A O ，21π=∠C AO ，则正四面体表面与球面的交线的总长度为ππ
242
=⨯.二、填空题（每小题5分，共4
小题）
13．若实数y x ,满足521x y x y x +≥⎧⎪
≤⎨⎪≥⎩则y x z +=2的最小值是。

6
6
)4,1(min ==z z 答案：14．已知抛物线2
4
1:x y C =
的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FQ QP 2=，则的长度为PF ________。

4
.
4,30,2:''''=∴=∠=⊥PF FPQ QQ PQ Q l l QQ Q 则点，所以于交作过点答案15、定义域在实数集R 的函数()f x 满足21)1(-=f ，且()f x 的导函数2
1
)('>x f ，则不等式1)2(-<x x f 的解集为。

⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
∞-21,.
21,,1201221)2(,0)1()(,02
1
)()(,121)()(''⎪⎭⎫ ⎝⎛
∞-∈<<+⨯-∴=∴>-=+-
=x x x x f F x F x f x F x x f x F 的解集为又单调增函数；答案：构造函数 16、.tan 2tan 1
tan 1,32C B
A A
B AB
C -=+=∆中，在则ABC ∆外接圆半径R 的取值范围。

(
]
2
,3(](
]
2
,3,4,333,,0),0(13,31),,()0,3(),0,3(,3
1
tan tan ),tan(2tan 2tan 1tan 122222
∈
∈+=+=-==∆≠=+∴-=⋅-=∴+=-=+R y m R y m CM AM m M y ABC x y x k k y x C B A B A B A C B A BC AC 所以可得则由），（圆心坐标为轴上，设
的外接圆的圆心一定在由于则设答案：
三、解答题（17--21题每题12分，选做题10分）
17．（本小题满分12分）学习强国平台时政性强，知识面广。

在全国上下都在通过学习强
国平台学习的环境下，某学校在全校抽取部分学生进行了学习强国挑战答题初赛，初赛试题由5道选择题组成，答对一题得5分，答错得0分，现将学生答卷得分的情况统计如下：已知被调查的所有女生的平均得分为15.5分，现从所有答卷中抽取一份，抽到男生的答卷
分数
人数051015
2025女生人数101020x
2030
男生人数
15
5
15
10
20
y
且得分是25分的概率为12
1．（1）求x y ，的值；
（2）现要从得分是25分的学生中用分层抽样的方法抽取6人进行培训，再从这6人中随机抽取2人参加学习强国挑战答题决赛，求所抽取的2人中至少有1名女生的概率．解：（1）
10,5.1530
2020101030
252020152010105100=∴=+++++⨯+⨯++⨯+⨯+⨯x x x ...............3分
分
6................15,12
1
165=∴=+y y y （2）分层抽样的6人中女生有4人、男生有2人。

所以从6人中选2人参加学习强国挑战赛决赛的所有可能结果为15种，其中没有女生的只有一种结果。

记A=所抽取的2人中至少有1名女生；则A =所抽取的2人中没有女生。

分12 (15)
14
1511)(1)(=-
=-=∴A A P ,
,,//18BCD ABD BD BC ABC EF BCD A 平面平面平面中，、如图，在三棱锥⊥⊥-.
AD EF AD F BD E ⊥上一点，且为的中点，为（1）求证：AC
AD ⊥（2）.2,2===BC AD AC 若求三棱锥AEC
D V -AB
EF ABD EF ABC EF ////⇒⎭
⎬⎫
⊆平面平面证明： ,
.
ABD BC BD BC BCD ABD AD AB AD EF 平面平面平面又⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥⊥⊥∴⊥ 分
平面6............AC AD ABC AD AD AB AD BC ⊥⇒⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥⊥∴分
又、、12 (3)
1
22221312121,22,2)2(=⨯⨯⨯⨯⨯===∴==∴⊥==---ABD C ADE C AEC D V V V ED
BE AB AB BC BC AC 19．n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0>n a ，121+=+n n S a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间()
m m 4,2内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m T .
解：（1）.311==a n 时，可得当.................................1分
分时，当3..............432,12122
n n n n n s a a s a n =-+∴+=+≥ .
432112
1---=-+n n n s a a 则有两式相减得()为等差数列。

n n n n n a a a a a ∴=--+--,0)2(1112+=∴n a n ...........6分.2
1
2212,4122,12)2(121-<<-
<+<∴+=--m m m m n n n n a 则 分
10......................22112---=∴m m m b 分则12.. (3)
1223121)21(22141)41(42112+-⋅=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--⨯-⎦⎤⎢⎣⎡--⨯=+m
m m m m T 20、已知双曲线E 的中心为直角坐标系xoy 的原点，右焦点为(
)
0,32F ，并经过点()1,2.
（1）求双曲线E 的标准方程；
（2）设,M N 为双曲线E 上关于x 轴对称的不同两点，12(,0),(,0)A x B x 为x 轴上两点，且
122x x =，证明：直线,AM NB 的交点P 仍在双曲线E 上；
（3）你能否将（2）推广到一般双曲线中？写出你的结论即可.
解：（1）根据题意，设双曲线的方程为122
22=-b
y a x ，则3=c ，1
1422=-b a 解得2
2a =，12
=b ，所以双曲线的方程是12
22
=-y x .....................4分
（2）设).(),,(n m N n m M -，则直线AM 的方程为)(11x x x m n y --=
①，直线BN 的方程为)(22x x m
x n
y --=②设交点()00,P x y ，代入①②得：1000)(x n y nx my -=-③，2000)(x n y nx my +=+④，
③与④两边分别相乘得212
2
02
02
2
02
)(x x n y x n y m -=-，又因为12
22
=-n m ，122x x =，
所以222
020=-y x ，所以直线,AM NB 的交点P 的坐标适合双曲线的方程，所以直线,AM NB 的交点P 仍在双曲线E 上...........................10分
（3）若双曲线12222=-b
y a x ，若2
12x x a =，则直线,AM NB 的交点P 仍在双曲线E
上；.........................................................12分21、已知函数()ln(1)sin f x x x =++.（1）求曲线()y f x =在0x =处的切线方程；
（2）若()f x ax ≤对任意[)0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.解：（1）1
'()cos 1
f x x x =
++，则'(0)2f =，又(0)0f =，所以，切线方程为2y x =.................................4分
（2）令()()ln(1)sin g x f x ax x x ax =-=++-，则1
'()cos 1
g x x a x =+-+，①当2a ≥时，1
'()cos 201
g x x a a x =
+-≤-≤+，因此()g x 单调递减，从而()(0)0g x g ≤=，符合题意；...........................6分
②当0a ≤时，()ln(1)0g a πππ=+->，与已知矛盾，不符合题意；....................8分
③当02a <<时，易知1
'()cos 1
g x x a x =
+-+在(0,)π上单调递减，又'(0)20g a =->，1
'()101
g a ππ=-+
-<+，所以，由零点存在性定理知，存在唯一0(0,)x π∈，使得0'()0g x =，故
当00x x <<时，'()0g x >，从而()g x 单调递增，因此，()(0)0g x g >=，与已知矛盾，不符合题意；...................................................11分
综上所述，实数a 的取值范围是[)2,+∞........................................12分
22．已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与x 轴的非负半轴重合．曲线C 的
参数方程为)(tan 8
tan 82为参数ααα⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧==y x ，直线l
的极坐标方程是cos 04πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；
（2）设点()2,0P ，直线l 与曲线C 相交于点N M 、，求11PM PN
+的值．解：（1）
)0(,82≠=x x y ,；
分5...................02,02sin 2
2
cos 22=-+∴=-+y x θρθρ
（2）x y t t y t x 8)(2222
22=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=-
=。

代入为参数直线的参数方程为 03228),2
22(8)22(
22=-+-=t t t t 得 32,282121-=⋅-=+∴t t t t 分10 (2)
1||||||||||1||1112121212121=⋅-=⋅+=+=+∴
t t t t t t t t t t PN PM （另解：利用结论p
PN PM 2
11=+∴
）23．已知函数.).(|||12|)(R m m x x x f ∈-++=（1）当1m =时，解不等式()2f x ≥；
（2）若关于x 的不等式|53|)(+≥x x f 的解集包含[)2,1，求m 的取值范围.
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
>≤<-+-≤-=-++==)1(3)
121(2)21(3|1||12|)(11x x x x x x x x x f m 时，）、当解：（[)分
，，不等式的解集为5.................032--∞+⎥⎦
⎤ ⎝⎛
∞∴ [)[)[)分
或或恒成立对恒成立。

有，则对的解集包含10...............................................84.44.2,14|||53|)(2,12,1|53|)()2(≥-≤∴--≤-+≥-∴∈∀+≥-∴+≥∈∀+≥m m x m x x m x x x m x x x f x x x f。