大学物理高斯定理
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第8章 静电场和稳恒电场
8-2 电通量 高斯定理
16
四 高斯定理的应用 （用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性）
其步骤为 ✓ 对称性分析； ✓ 根据对称性取合适的闭合面； ✓ 应用高斯定理计算.
第8章 静电场和稳恒电场
8-2 电通量 高斯定理
17
例8.6 均匀带电球面的电场强度
r 一半径为R, 均匀带电 q 的球
8-2 电通量 高斯定理
10
三 高斯定理
通过真空中的静电场中任一闭合面的电通量 Φ e
等于包围在该闭合面内的电荷代数和
qi的
分之
0
一，而与闭合面外的电荷无关.
蜒 v v n
Φ eSEdS
vv SE idS
qi
i1
0
思考：1）高斯面上的 E与那些电荷有关 ？
s 2）哪些电荷对闭合曲面
的Φ
有贡献
+ +S 1 +
面 . 求球面内外任意点的电场强度.
r +
+O
+ +
解（1）0rR
+R +
EdS0 S1
E0
s +++ 2
（2） rR
vv q
Ñ E dS
S2
0 E q
4πr2E q
4π 0r 2
第8章 静电场和0稳恒电场
qE
4 π0R2
oRr
8-2 电通量 高斯定理
18
例8.7 一厚度为d的无限大平板，平板体积内均匀带
Φ eSEdS
vv SE idS
qi
i1
0
第8章 静电场和稳恒电场
8-2 电通量 高斯定理
15
蜒 v v n
Φ eSEdS
vv SE idS
qi
i1
0
总结
1）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度. 2）高斯面为封闭曲面. 3）穿进高斯面的电通量为负，穿出为正. 4）仅高斯面内的电荷对高斯面的电通量有贡献. 5）静电场是有源场.
8-2 电通量 高斯定理
1
一 电场的图示法 电力线 规定
1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向
2） 通过垂直于电场 方向单位面积电力线数目为 该点电场强度的大小. E E d N /d S
SE
第8章 静电场和稳恒电场
8-2 电通量 高斯定理
2
点电荷的电力线
正点电荷
负点电荷
+
第8章 静电场和稳恒电场
第8章 静电场和稳恒电场
8-2 电通量 高斯定理
7
电力线性质
（1）不形成闭合回线也不中断，而是起自正电荷 (或无穷远处)、止于负电荷(或无穷远处).
（2）任何两条电力线不相交.说明静电场中每一点 的场强是惟一的.
第8章 静电场和稳恒电场
8-2 电通量 高斯定理
8
二 电通量
通过电场中任一给定面的电力线数称为通过该面
的电通量.
均匀电场 ，E垂直平面
Φe ES
均匀电场 ，E与平面夹角
Φe EScos
Φe ES
SE
v n
S
E
第8章 静电场和稳恒电场
8-2 电通量 高斯定理
9
非均匀电场中电通量
dΦ eEdS
vv
Φ esd Φ esE d S
S为封闭曲面时
dΦ eEdS
vv
Φe Ñ SEdS
第8章 静电场和稳恒电场
电，体电荷密度ρ＞0.设板内、外的介电常数均为ε0.
求平板内、外场强分布.
解
vv EdS2ES
S1
q2xS
所以 Ex 0
(| x | d ) 2
Ed 20
(| x | d ) 2
E的方向垂直于平板，ρ＞0时向 外，ρ＜0时向内.
第8章 静电场和稳恒电场
8-2 电通量 高斯定理
19
例8.8 试求半径为R，电荷面密度为σ的无限长均匀
带电圆柱面的场强.
vv
解： Ñ SEdS2πrlE
Qq2Rl
E R (r R)
0r
令2R E
2π0r
同理圆柱面内任一点 E＝0
第8章 静电场和稳恒电场
12
点电荷在任意闭合曲面内
q发出的 q / 0
条电力线不会中断，仍全
+
部穿出封闭曲面 S ，即：
Φe
q 0
第8章 静电场和稳恒电场
点电荷位于球面中心
q
Φe 0
8-2 电通量 高斯定理
点电荷在闭合曲面之外
d Φ 1 E 1d S 1 0
d Φ 2 E 2d S 2 0q
E2
dΦ 1dΦ 20
dS2
SEdS0
第8章 静电场和稳恒电场
13
dS1 E1
8-2 电通量 高斯定理
14
由多个点电荷产生的电场
v nv
E Ei
q1源自文库
i1
蜒 v v n v v
Φe
EdS
S
(
S
Ei)dS
i1
q2
sqi
E
dS
蜒 n v v n v v
闭合曲面取定
(
S
Ei)dS
SEi dS
i1
i1
蜒 v v n
8-2 电通量 高斯定理
3
一对等量异号点电荷的电力线
+
第8章 静电场和稳恒电场
8-2 电通量 高斯定理
4
一对等量正点电荷的电力线
+
+
第8章 静电场和稳恒电场
8-2 电通量 高斯定理
5
一对不等量异号点电荷的电力线
2q
q
第8章 静电场和稳恒电场
8-2 电通量 高斯定理
6
带电平行板电容器的电力线 ++++++++++++
e
？
第8章 静电场和稳恒电场
8-2 电通量 高斯定理
高斯定理的导出
库仑定律 电场强度叠加原理
点电荷位于球面中心
dΦ eEcos0dS4π 10
qdS r2
蜒 Φe
SdΦe
qdS
S4π0r2
r
Ñ q
dS
4π0r 2 S
+
q 0
Φ e 与r无关
第8章 静电场和稳恒电场
11
高斯 定理
dS
8-2 电通量 高斯定理
8-2 电通量 高斯定理
16
四 高斯定理的应用 （用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性）
其步骤为 ✓ 对称性分析； ✓ 根据对称性取合适的闭合面； ✓ 应用高斯定理计算.
第8章 静电场和稳恒电场
8-2 电通量 高斯定理
17
例8.6 均匀带电球面的电场强度
r 一半径为R, 均匀带电 q 的球
8-2 电通量 高斯定理
10
三 高斯定理
通过真空中的静电场中任一闭合面的电通量 Φ e
等于包围在该闭合面内的电荷代数和
qi的
分之
0
一，而与闭合面外的电荷无关.
蜒 v v n
Φ eSEdS
vv SE idS
qi
i1
0
思考：1）高斯面上的 E与那些电荷有关 ？
s 2）哪些电荷对闭合曲面
的Φ
有贡献
+ +S 1 +
面 . 求球面内外任意点的电场强度.
r +
+O
+ +
解（1）0rR
+R +
EdS0 S1
E0
s +++ 2
（2） rR
vv q
Ñ E dS
S2
0 E q
4πr2E q
4π 0r 2
第8章 静电场和0稳恒电场
qE
4 π0R2
oRr
8-2 电通量 高斯定理
18
例8.7 一厚度为d的无限大平板，平板体积内均匀带
Φ eSEdS
vv SE idS
qi
i1
0
第8章 静电场和稳恒电场
8-2 电通量 高斯定理
15
蜒 v v n
Φ eSEdS
vv SE idS
qi
i1
0
总结
1）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度. 2）高斯面为封闭曲面. 3）穿进高斯面的电通量为负，穿出为正. 4）仅高斯面内的电荷对高斯面的电通量有贡献. 5）静电场是有源场.
8-2 电通量 高斯定理
1
一 电场的图示法 电力线 规定
1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向
2） 通过垂直于电场 方向单位面积电力线数目为 该点电场强度的大小. E E d N /d S
SE
第8章 静电场和稳恒电场
8-2 电通量 高斯定理
2
点电荷的电力线
正点电荷
负点电荷
+
第8章 静电场和稳恒电场
第8章 静电场和稳恒电场
8-2 电通量 高斯定理
7
电力线性质
（1）不形成闭合回线也不中断，而是起自正电荷 (或无穷远处)、止于负电荷(或无穷远处).
（2）任何两条电力线不相交.说明静电场中每一点 的场强是惟一的.
第8章 静电场和稳恒电场
8-2 电通量 高斯定理
8
二 电通量
通过电场中任一给定面的电力线数称为通过该面
的电通量.
均匀电场 ，E垂直平面
Φe ES
均匀电场 ，E与平面夹角
Φe EScos
Φe ES
SE
v n
S
E
第8章 静电场和稳恒电场
8-2 电通量 高斯定理
9
非均匀电场中电通量
dΦ eEdS
vv
Φ esd Φ esE d S
S为封闭曲面时
dΦ eEdS
vv
Φe Ñ SEdS
第8章 静电场和稳恒电场
电，体电荷密度ρ＞0.设板内、外的介电常数均为ε0.
求平板内、外场强分布.
解
vv EdS2ES
S1
q2xS
所以 Ex 0
(| x | d ) 2
Ed 20
(| x | d ) 2
E的方向垂直于平板，ρ＞0时向 外，ρ＜0时向内.
第8章 静电场和稳恒电场
8-2 电通量 高斯定理
19
例8.8 试求半径为R，电荷面密度为σ的无限长均匀
带电圆柱面的场强.
vv
解： Ñ SEdS2πrlE
Qq2Rl
E R (r R)
0r
令2R E
2π0r
同理圆柱面内任一点 E＝0
第8章 静电场和稳恒电场
12
点电荷在任意闭合曲面内
q发出的 q / 0
条电力线不会中断，仍全
+
部穿出封闭曲面 S ，即：
Φe
q 0
第8章 静电场和稳恒电场
点电荷位于球面中心
q
Φe 0
8-2 电通量 高斯定理
点电荷在闭合曲面之外
d Φ 1 E 1d S 1 0
d Φ 2 E 2d S 2 0q
E2
dΦ 1dΦ 20
dS2
SEdS0
第8章 静电场和稳恒电场
13
dS1 E1
8-2 电通量 高斯定理
14
由多个点电荷产生的电场
v nv
E Ei
q1源自文库
i1
蜒 v v n v v
Φe
EdS
S
(
S
Ei)dS
i1
q2
sqi
E
dS
蜒 n v v n v v
闭合曲面取定
(
S
Ei)dS
SEi dS
i1
i1
蜒 v v n
8-2 电通量 高斯定理
3
一对等量异号点电荷的电力线
+
第8章 静电场和稳恒电场
8-2 电通量 高斯定理
4
一对等量正点电荷的电力线
+
+
第8章 静电场和稳恒电场
8-2 电通量 高斯定理
5
一对不等量异号点电荷的电力线
2q
q
第8章 静电场和稳恒电场
8-2 电通量 高斯定理
6
带电平行板电容器的电力线 ++++++++++++
e
？
第8章 静电场和稳恒电场
8-2 电通量 高斯定理
高斯定理的导出
库仑定律 电场强度叠加原理
点电荷位于球面中心
dΦ eEcos0dS4π 10
qdS r2
蜒 Φe
SdΦe
qdS
S4π0r2
r
Ñ q
dS
4π0r 2 S
+
q 0
Φ e 与r无关
第8章 静电场和稳恒电场
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高斯 定理
dS
8-2 电通量 高斯定理