随机信号的功率谱密度
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第四章 随机信号的功率谱密度
对随机过程的频域分析只能研究其功率
谱密度,并在此意义下讨论其频率结构、带
宽以及与系统的相互作用等问题。
4.1 功率谱密度
若一个确定信号 s(t ), 绝对可积，即满足：
t ，满足狄氏条件，且
s(t ) dt
则s(t)的傅立叶变换存在，为：
1 RX ( ) lim T 2T
T
T
RX (t, t )dt
GX ( ) RX ( )e j d
设X(t)为平稳过程,则时间平均自相关函数等于集 合平均自相关函数,即:
GX ( ) RX ( )e j d
GX ( ) RX ( )e j d
S ( ) s(t )e jt dt
S()与s(t)满足Parseval定理：
1 2 s (t )dt 2
S ()
2
d
一个随机过程的样本函数，尽管它的总能
量是无限的，但其平均功率却是有限值，
即：
1 W lim T 2T
T
T
FT ( , )e jt d ]dt
1 lim T 2T 1 lim T 2T 1 2
1 FT ( , ) [ f T (t , )e jt dt ]d 2 T
T T
W是样 本函数 的平均 功率
| FT ( , ) |2
两个随机过程之和构成新的随机过程，即：
Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数：
RZ (t , t ) E{[ X (t ) Y (t )][ X (t ) Y (t )]} RX (t , t ) RY (t , t ) RXY (t , t ) RYX (t , t )
式中，XN()是 xN (0 n N 1) 的N点DFT。
2、Blackman-Tukey(BT法)
由维纳—辛钦定理的离散形式：
G X ( )
k
R X ( k )e
若两个随机过程X(t)、Y(t)单独平稳且联合平稳， 则：
RZ ( ) RX ( ) RY ( ) RXY ( ) RYX ( )
Z(t)的谱密度GZ():
GZ ( ) GZ ( ) GY ( ) RXY ( )e j d RYX ( )e j d
GN(), FN()
RN()
N0 N0/2
N0/2
0 (a) 功率谱密度
0 (b) 自相关函数
白噪声的自相关函数：
1 RN ( ) 2 N 0 j N0 2 e d 2 ( )
白噪声的相关系数 N ( )为:
C N ( ) RN ( ) RN () RN ( ) N ( ) C N (0) RN (0) RN () RN (0)
五、限带白噪声
若噪声在一个有限频带上有非零的常数功率谱， 而在频带之外为零，则被称做限带白噪声。
W , G N ( ) 0,
自相关函数：
Biblioteka Baidu
otherwise
sin RN ( ) W
GN() /
RN()
W
-
0
图
-2/ -/ 0 /
性质四：若X(t)和Y(t)是两个不相关的平稳过程，分
别有均值mX和mY，则：
GXY ( ) GYX ( ) 2mX mY ( )
性质五：若X(t)和Y(t)联合平稳，RXY()绝对可积， 则互谱密度GXY()、 GYX()分别和互相关函数 RXY()、 RYX()构成傅立叶变换对。
功率谱密度Gf()是从频率角度描述f(t)统计规律 的最主要的数字特征。 Gf()仅表示了f(t)的平均功 率按频率分布的情况，没有包含过程f(t)的任何相位 信息。
4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系
X T (, ) xT (t , )e jt dt
X T (, ) X T (, ) X T (, )
直流或周期性成分的平稳过程中。
4.3 功率谱密度的性质
性质一：非负性,GX()0; 性质二： GX()是实函数； 性质三： GX()是偶函数； 性质四： G () 2G () X X 性质五：有理谱密度是实际应用中最常见的一类 功率谱密度；
4.4 互谱密度及其性质
二、互谱密度的性质 性质一：GXY () GYX () G*YX () 性质二： Re[GXY ( )] 和 Re[GYX ()] 是的偶函数；
Im[GYX ( )]
和Im[GXY ()] 是的奇函数；
性质三：若平稳过程X(t)和Y(t)相互正交，则有：
G XY ( ) 0
x(t )
2
dt
f (t)
… O
… t
f T(t)
T － 2
O
T 2
t
图：f(t)及其截断函数
f (t ) f T (t ) 0
fT(t)的傅立叶变换存在：
t T /2 t T /2
FT ( )
fT (t )e
jt
dt
T /2
机过程的某一个样本函数f(t,)在单位频带内、消耗 1电阻上的平均功率。称它为样本函数的功率谱 密度函数。记为Gf(,)。
1 2 G f (, ) lim FT (, ) T 2T 对所有的（实验结果）取统计平均得：
1 2 G f ( ) E[G f ( , )] E[ lim FT ( , ) ] T 2T 1 2 lim E[ FT ( , ) ] T 2T T 1 2 W E[W ] lim E[ f (t , ) ]dt T 2T T
的截短函数分别为xT(t,)和yT(t,)，傅立叶变换分
别为：X T (, )、YT (, ) ，则互功率谱：
E[ X T ( , )YT ( , )] G XY ( ) lim T 2T E[YT ( , ) X T ( , )] GYX ( ) lim T 2T
1 d 2
1 2 FT ( , ) d T 2T lim
所谓信号的功率谱密度函数是指这样的函数: 1、当在整个频率范围内对它进行积分以后，得到 信号的总功率； 2、描述了信号功率在各个不同频率上分布的情况；
1 2 FT (, ) 正具有了上述特性。它代表了随 T 2T lim
1 lim T 2T 1 2
T T
E[ f (t ) ]dt
2
1 1 2 Tlim 2T E[ X T ( , ) ]d 2
G f ( )d
1 W E[W ] E[ f (t )] lim T 2T
2
T
其中：
G XY ( ) GYX ( )
R XY ( )e j d
RYX ( )e j d
称为互功率谱密度。
一、互谱密度：
设两个联合平稳的随机过程X(t)和Y(t)，若x(t,)
和y(t,)分别为X(t)和Y(t)的某一个样本函数，相应
2/
低通限带白噪声
W , G N ( ) 0,
0 | | 0
otherwise
sin RN ( ) W cos 0
4.6 功率谱估值的经典法
谱估值的基本问题是已知随机过程X(t)或Xj某个 实现： , x
2 , x1 , x0 , x1 , x2 ,, xN 1 ,
出端信噪比之比。即：
F
( Si / N i )
( So / N o )
四、白序列（RND伪随机序列）
设随机序列Zn的自相关函数满足：
2 Z , RZ (k ) 0,
k 0 k 0
2 Z
或
RZ (k ) (k )
对于白序列其功率谱：
GZ ()
2 Z ,
中的有限长序列段 xn (0 n N 1) ，或者说N个数， 如何由它尽可能准确地得到X(t)或Xj的功率谱密度 GX() 。 谱估值的主要目的：揭示其周期性。
一、两种经典谱估值的方法
1、周期图法 本质是从各态历经过程功率谱定义式得到的估计 量，对于有限N，有：
ˆ () 1 X () 2 GX N N
2
1 2 lim 由 G f () T E[ FT (, ) ] 得: 2T
1 G X ( ) lim E[ T 2T 1 lim T 2T
T T
T
T
xT (t1 , )e jt1 dt1 xT (t 2 , )e jt2 dt2 ]
T
T
T T
T T
R(t1 , t2 )e
T t T T t T
dt1dt2
1 t t1 , t 2 t1 lim T 2T 1 lim T 2T
T
R X (t , t )dte j d
j RX (t , t )dt e d T
三、相干函数
XY ( )
G XY ( ) [G X ( )GY ( )]
1 2
4.5 白噪声与白序列
一 白噪声的定义及特性：
一个均值为零，功率谱密度在整个频率轴上有非 零常数，即：
GN ( )
N0
2
,
的平稳过程N(t)，被称为白噪声过程或简称白噪声。 式中，N0是正实常数。
T T
E[ X T (t1 ) X T (t 2 )]e j (t2 t1 ) dt1dt2
RXT (t1, t2 ) E[ X T (t1 ) X T (t2 )]
T (t1 , t2 ) T
j ( t 2 t1 )
1 G X ( ) lim T 2T
1 RX ( ) 2
G X ( )e j d
上式称为维纳—辛钦定理。
说明：
1、以上讨论的功率谱密度都属于连续情况，即相 应的随机过程不能含有直流成分或周期成分。 2、功率谱密度指单位带宽上的平均功率； 3、任何直流分量和周期分量在频域上都表现为频 率轴上某点的零带宽内的有限功率，都会在频域 的相应位置上产生离散频谱；而在零带宽上的有 限功率等效于无限的功率谱密度。 4、借助函数，维纳—辛钦定理可推广至含有
1, N ( ) 0,
0 0
二、热噪声
热噪声指的是电路中由于各电阻内电子热骚动 （布朗运动）而产生的随机起伏电压和电流。
其功率谱密度为：
2 E[ NU ( f )] GNU ( f ) 2kTR 2f
三、噪声系数和温度
噪声系数（指数）定义为系统输入端信噪比与输
T
E[ f (t )
2
]dt
1 2
1 2 Tlim 2T E[ X T (, ) ]d
或
1 2 W E[ f (t )] R f (0) 2
G f ()d
若f(t)为各态历经过程,则有:
1 2 G f () lim FT (, ) T 2T
T / 2
fT (t )e
jt
dt
fT (t ) FT ( )e
jt
d
将上式代入信号平均功率表达式中得:
1 W lim T 2T lim 1 T 2T
T T T
f T (t , ) dt
2
T T
f T (t , )[
1 2
对随机过程的频域分析只能研究其功率
谱密度,并在此意义下讨论其频率结构、带
宽以及与系统的相互作用等问题。
4.1 功率谱密度
若一个确定信号 s(t ), 绝对可积，即满足：
t ，满足狄氏条件，且
s(t ) dt
则s(t)的傅立叶变换存在，为：
1 RX ( ) lim T 2T
T
T
RX (t, t )dt
GX ( ) RX ( )e j d
设X(t)为平稳过程,则时间平均自相关函数等于集 合平均自相关函数,即:
GX ( ) RX ( )e j d
GX ( ) RX ( )e j d
S ( ) s(t )e jt dt
S()与s(t)满足Parseval定理：
1 2 s (t )dt 2
S ()
2
d
一个随机过程的样本函数，尽管它的总能
量是无限的，但其平均功率却是有限值，
即：
1 W lim T 2T
T
T
FT ( , )e jt d ]dt
1 lim T 2T 1 lim T 2T 1 2
1 FT ( , ) [ f T (t , )e jt dt ]d 2 T
T T
W是样 本函数 的平均 功率
| FT ( , ) |2
两个随机过程之和构成新的随机过程，即：
Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数：
RZ (t , t ) E{[ X (t ) Y (t )][ X (t ) Y (t )]} RX (t , t ) RY (t , t ) RXY (t , t ) RYX (t , t )
式中，XN()是 xN (0 n N 1) 的N点DFT。
2、Blackman-Tukey(BT法)
由维纳—辛钦定理的离散形式：
G X ( )
k
R X ( k )e
若两个随机过程X(t)、Y(t)单独平稳且联合平稳， 则：
RZ ( ) RX ( ) RY ( ) RXY ( ) RYX ( )
Z(t)的谱密度GZ():
GZ ( ) GZ ( ) GY ( ) RXY ( )e j d RYX ( )e j d
GN(), FN()
RN()
N0 N0/2
N0/2
0 (a) 功率谱密度
0 (b) 自相关函数
白噪声的自相关函数：
1 RN ( ) 2 N 0 j N0 2 e d 2 ( )
白噪声的相关系数 N ( )为:
C N ( ) RN ( ) RN () RN ( ) N ( ) C N (0) RN (0) RN () RN (0)
五、限带白噪声
若噪声在一个有限频带上有非零的常数功率谱， 而在频带之外为零，则被称做限带白噪声。
W , G N ( ) 0,
自相关函数：
Biblioteka Baidu
otherwise
sin RN ( ) W
GN() /
RN()
W
-
0
图
-2/ -/ 0 /
性质四：若X(t)和Y(t)是两个不相关的平稳过程，分
别有均值mX和mY，则：
GXY ( ) GYX ( ) 2mX mY ( )
性质五：若X(t)和Y(t)联合平稳，RXY()绝对可积， 则互谱密度GXY()、 GYX()分别和互相关函数 RXY()、 RYX()构成傅立叶变换对。
功率谱密度Gf()是从频率角度描述f(t)统计规律 的最主要的数字特征。 Gf()仅表示了f(t)的平均功 率按频率分布的情况，没有包含过程f(t)的任何相位 信息。
4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系
X T (, ) xT (t , )e jt dt
X T (, ) X T (, ) X T (, )
直流或周期性成分的平稳过程中。
4.3 功率谱密度的性质
性质一：非负性,GX()0; 性质二： GX()是实函数； 性质三： GX()是偶函数； 性质四： G () 2G () X X 性质五：有理谱密度是实际应用中最常见的一类 功率谱密度；
4.4 互谱密度及其性质
二、互谱密度的性质 性质一：GXY () GYX () G*YX () 性质二： Re[GXY ( )] 和 Re[GYX ()] 是的偶函数；
Im[GYX ( )]
和Im[GXY ()] 是的奇函数；
性质三：若平稳过程X(t)和Y(t)相互正交，则有：
G XY ( ) 0
x(t )
2
dt
f (t)
… O
… t
f T(t)
T － 2
O
T 2
t
图：f(t)及其截断函数
f (t ) f T (t ) 0
fT(t)的傅立叶变换存在：
t T /2 t T /2
FT ( )
fT (t )e
jt
dt
T /2
机过程的某一个样本函数f(t,)在单位频带内、消耗 1电阻上的平均功率。称它为样本函数的功率谱 密度函数。记为Gf(,)。
1 2 G f (, ) lim FT (, ) T 2T 对所有的（实验结果）取统计平均得：
1 2 G f ( ) E[G f ( , )] E[ lim FT ( , ) ] T 2T 1 2 lim E[ FT ( , ) ] T 2T T 1 2 W E[W ] lim E[ f (t , ) ]dt T 2T T
的截短函数分别为xT(t,)和yT(t,)，傅立叶变换分
别为：X T (, )、YT (, ) ，则互功率谱：
E[ X T ( , )YT ( , )] G XY ( ) lim T 2T E[YT ( , ) X T ( , )] GYX ( ) lim T 2T
1 d 2
1 2 FT ( , ) d T 2T lim
所谓信号的功率谱密度函数是指这样的函数: 1、当在整个频率范围内对它进行积分以后，得到 信号的总功率； 2、描述了信号功率在各个不同频率上分布的情况；
1 2 FT (, ) 正具有了上述特性。它代表了随 T 2T lim
1 lim T 2T 1 2
T T
E[ f (t ) ]dt
2
1 1 2 Tlim 2T E[ X T ( , ) ]d 2
G f ( )d
1 W E[W ] E[ f (t )] lim T 2T
2
T
其中：
G XY ( ) GYX ( )
R XY ( )e j d
RYX ( )e j d
称为互功率谱密度。
一、互谱密度：
设两个联合平稳的随机过程X(t)和Y(t)，若x(t,)
和y(t,)分别为X(t)和Y(t)的某一个样本函数，相应
2/
低通限带白噪声
W , G N ( ) 0,
0 | | 0
otherwise
sin RN ( ) W cos 0
4.6 功率谱估值的经典法
谱估值的基本问题是已知随机过程X(t)或Xj某个 实现： , x
2 , x1 , x0 , x1 , x2 ,, xN 1 ,
出端信噪比之比。即：
F
( Si / N i )
( So / N o )
四、白序列（RND伪随机序列）
设随机序列Zn的自相关函数满足：
2 Z , RZ (k ) 0,
k 0 k 0
2 Z
或
RZ (k ) (k )
对于白序列其功率谱：
GZ ()
2 Z ,
中的有限长序列段 xn (0 n N 1) ，或者说N个数， 如何由它尽可能准确地得到X(t)或Xj的功率谱密度 GX() 。 谱估值的主要目的：揭示其周期性。
一、两种经典谱估值的方法
1、周期图法 本质是从各态历经过程功率谱定义式得到的估计 量，对于有限N，有：
ˆ () 1 X () 2 GX N N
2
1 2 lim 由 G f () T E[ FT (, ) ] 得: 2T
1 G X ( ) lim E[ T 2T 1 lim T 2T
T T
T
T
xT (t1 , )e jt1 dt1 xT (t 2 , )e jt2 dt2 ]
T
T
T T
T T
R(t1 , t2 )e
T t T T t T
dt1dt2
1 t t1 , t 2 t1 lim T 2T 1 lim T 2T
T
R X (t , t )dte j d
j RX (t , t )dt e d T
三、相干函数
XY ( )
G XY ( ) [G X ( )GY ( )]
1 2
4.5 白噪声与白序列
一 白噪声的定义及特性：
一个均值为零，功率谱密度在整个频率轴上有非 零常数，即：
GN ( )
N0
2
,
的平稳过程N(t)，被称为白噪声过程或简称白噪声。 式中，N0是正实常数。
T T
E[ X T (t1 ) X T (t 2 )]e j (t2 t1 ) dt1dt2
RXT (t1, t2 ) E[ X T (t1 ) X T (t2 )]
T (t1 , t2 ) T
j ( t 2 t1 )
1 G X ( ) lim T 2T
1 RX ( ) 2
G X ( )e j d
上式称为维纳—辛钦定理。
说明：
1、以上讨论的功率谱密度都属于连续情况，即相 应的随机过程不能含有直流成分或周期成分。 2、功率谱密度指单位带宽上的平均功率； 3、任何直流分量和周期分量在频域上都表现为频 率轴上某点的零带宽内的有限功率，都会在频域 的相应位置上产生离散频谱；而在零带宽上的有 限功率等效于无限的功率谱密度。 4、借助函数，维纳—辛钦定理可推广至含有
1, N ( ) 0,
0 0
二、热噪声
热噪声指的是电路中由于各电阻内电子热骚动 （布朗运动）而产生的随机起伏电压和电流。
其功率谱密度为：
2 E[ NU ( f )] GNU ( f ) 2kTR 2f
三、噪声系数和温度
噪声系数（指数）定义为系统输入端信噪比与输
T
E[ f (t )
2
]dt
1 2
1 2 Tlim 2T E[ X T (, ) ]d
或
1 2 W E[ f (t )] R f (0) 2
G f ()d
若f(t)为各态历经过程,则有:
1 2 G f () lim FT (, ) T 2T
T / 2
fT (t )e
jt
dt
fT (t ) FT ( )e
jt
d
将上式代入信号平均功率表达式中得:
1 W lim T 2T lim 1 T 2T
T T T
f T (t , ) dt
2
T T
f T (t , )[
1 2