第3章需求函数

⑵ 扩展的线性支出系统的0阶齐次性证明
qi I bi I i I qi pi qi n p r qi pi bi I pi (1 bi ) pi ri j j 1 ii ( 2 bi 2 ) pi qi qi pi pi qi j 1 pi
n
• 得到需求函数模型系统为：
pi i ij ln pi qi M i 1 n n n M pk j jk ln M j 1 k 1 j 1
n
i 1,2, , n
⒊ 几乎理想的需求函数模型系统（AIDS，
V qi pi
V I
i 1,2,, n
• 可以得到所求的使效用达到最大的商品需求函数。
⒊ 需求函数的0阶齐次性
⑴ 需求的收入弹性
qi i qi
I 0 qi I I
I qi
•生活必须品的需求收入弹性？ •高档消费品的需求收入弹性？ •低质商品的的需求收入弹性？
qt St St 1 St 1
( S St 1 ) St 1 0 1 pt 2 I t ( ) St 1 t
e t
• 常用于估计的模型形式
qt 0 1 pt 2 I t 3 St 1 t
三、线性支出系统需求函数模型 及其参数估计
(LES，Linear Expenditure System)
⒈ 线性支出系统需求函数模型
• Klein、Rubin 1947年 直接效用函数
U
u (q ) b
i 1 i i i 1
n
n
i
wenku.baidu.com
ln(qi ri )
该效用函数的含义？
• R.Stone、1954年 在预算约束
j 1 n
• 经验中比较普遍存在 • 参数有明确的经济意义 每个参数的经济意义和数值范围？
• 可否用0阶齐次性条件检验？
• OLS估计
⒊ 耐用品的存量调整模型
• 导出过程
Ste 0 1 pt 2 I t t St St 1 ( S St 1 )
e t
St (1 ) St 1 qt
一、几个重要概念
⒈ 需求函数
⑴ 定义
• 需求函数是描述商品的需求量与影响因素，例如 收入、价格、其它商品的价格等之间关系的数学 表达式。
qi f ( I , p1 ,, pi ,, pn )
• 特定情况下可以引入其它因素。
• 需求函数与消费函数是两个完全不同的概念。 为什么？ • 单方程需求函数模型和需求函数模型系统 哪类更符合需求行为理论？
i 1
n
p j q j p j rj b j (V ( pi ri ))
bi qi ri (V p j rj ) pi j
• 函数的经济意义
• 参数的经济意义
i 1
n
i 1,2, , n
• LES是一个联立方程模型系统
• 模型系统估计的困难是什么？
⒉ 扩展的线性支出系统需求函数模型
Yi Vi bi I
X1 X2 X Xn
r1 r2 R rn
X i (bi p1 ,,bi pi 1 ,(1 bi ) pi ,bi p i 1 ,,bi pn )
• 再改写成如下形式：
(ELES, Expend Linear Expenditure System)
⑴ 模型的扩展
• 1973年 Liuch bi qi ri ( I p j r j ) pi j
i 1,2, , n
• 两点扩展
• 扩展后参数的经济意义发生了什么变化？ • 为什么扩展后的模型可以估计？
U u(q1 , q2 ,, qn )
• 预算约束为：
q p
i 1 i
n
i
I
• 在预算约束下使效用最大，即得到需求函数模型。
构造如下的拉格朗日函数：
L(q1 , q2 ,, qn , ) u(q1 , q 2 ,, q n )
极值的一阶条件：
( I qi pi )
i 1 j i
n
i
pi ri ) bi ( p j q j p j r j )
i 1
n
b j ( pi qi pi ri ) ( p j q j p j r j ) bi
i 1 i 1
n
n
p j q j p j r j b j ( pi qi pi ri )
0
•需求函数模型的重要特征 •模型的检验
二、几种重要的单方程需求函数 模型及其参数估计
⒈ 线性需求函数模型
qi j p j I
j 1 n
• 经验中存在 • 缺少合理的经济解释
• 不满足0阶齐次性条件
• OLS估计
⒉ 对数线性需求函数模型
ln qi j ln p j ln I
• 迭代过程 给定一组边际消费倾向b的初始值； 计算(1)中X的样本观测值； 采用OLS估计(1)，得到基本需求量r的第一次估计值； 代入(2)中，计算Z和W的样本观测值； 采用OLS估计(2)，得到b的第一次估计值； 重复该过程，直至两次迭代得到的参数估计值满足 收敛条件为止。即完成了模型的估计。
• 采用OLS估计(1)时，应该首先将个方程相加， 然后对相加得到的方程进行最小二乘估计。为 什么？ • 首先给定b的初始值与首先给定r的初始值，不 影响估计结果。为什么？
⑵ 截面数据作样本时的最小二乘法
Vi ri pi bi p j rj bi I i
j
• 利用截面上价格相同，写成：
⑵ 需求的自价格弹性
qi ii qi
pi 0 qi pi pi
pi qi
•生活必须品的需求自价格弹性？ •高档消费品的需求自价格弹性？
•“吉芬品” 的的需求收入弹性？
⑶ 需求的互价格弹性
qi ij qi
p j
qi pj pj
0
i 1,2,, n
• 对于前n个方程，消去λ 可得
pi bi q j rj p j b j qi ri
i , j 1,2, , n
b j ( pi qi pi ri ) bi ( p j q j p j rj )
i 1,2, , n
i j
b ( p q
pj qi
•替代品的需求互价格弹性？ •互补品的需求互价格弹性？
•互相独立商品的需求互价格弹性？
⑷ 需求函数的0阶齐次性条件 • 当收入、价格、其它商品的价格等都增长倍时， 对商品的需求量没有影响。即
f ( I , p1 ,, pi ,, pn ) f ( I , p1 ,, pi ,, pn )
i 1
n
u L pi 0 qi qi L n I q i pi 0 i 1
求解即得到需求函数模型。
⑵ 从间接效用函数到需求函数 • 间接效用函数为：
V v( p1 , p2 ,, pn , I )
• 利用公式
⒋ Lewbel需求系统(Lewbel Demand System)
• Lewbel（1989）对AIDS进行了改进，提出了包含 AIDS和TLS的Lewbel需求系统
⒌ 逆需求函数模型（Inverse Demand System）
• 价格是需求量的函数 • 适用于某些商品 • 根据Anderson（1980），Barten，Betterdorf （1989），Holt（2002）等人的研究发现，同常 规的需求函数模型系统一样，逆需求函数模型系 统也可以通过效用最大化法则推导出来。 • Anderson（1980），Huang（1988）和Eales （1994）等通过应用距离函数推导出了逆需求函 数系统。
d (logqi ) i 0 d (logm ) ij d (log pi )
i 1
n
i 1,2, , n
• 用ML法估计
⒉超越对数需求函数模型系统(TLS)
• Christenson 、Jorgenson 和Liu于1975年提出了如 下的间接效用函数：
pi n n pi p j lnU 0 i ln ij ln ln M i1 i1 M M i 1
Almost Ideal Demand System ）
• Deaton和Muellbauer于1980年提出了如下的间接效 用函数：
log M 0 i log pk kj log pk log p j U 0 p
k 1 k 1 j 1 k 1
n
n
n
n
• 直接估计。
• 参数估计量的经济意义不明确 。
• 必须反过来求得原模型中的每个参数估计量，才有 明确的经济意义。 • 由4个参数估计量求原模型的5个参数估计量，必须 外生给定δ 。
⒋ 非耐用品的状态调整模型
qt 0 1 pt 2 I t 3qt 1 t
• Houthakker和Taylor于1970年建议。 • 反映消费习惯等“心理存量”对需求的影响 。 • 用上一期的实际实现了的需求（即消费）量作为 “心理存量”的样本观测值。
⑴ 迭代法
qi pi ri pi bi ( I p j rj ) i
Vi ri pi bi ( I p j rj ) i
j
j
i 1,2, , n
• 首先改写成如下形式：
Y XR
其中
（1）
Y1 Y2 Y Yn
j i
bi rj p j bi p j rj qi p j ij p j qi pi qi pi qi
i ii ij
j i
pi ri bi ( I p j r j )
j 1
n
pi qi
1 0
⒊ 扩展的线性支出系统需求函数模型的估计 方法
k k
• 导出需求函数形式为 ：
M wi 0 ij log p j i log a j 1
n
i 1,2,, n
pi qi wi M
log a 0 i log pk kj log pk log p j
k 1 k 1 j 1 n n n
⑵ 单方程需求函数模型是经验的产物
• 与需求行为理论不符
• 经常引入其它因素
• 参数的经济意义不明确
⑶ 需求函数模型系统来源于效用函数 • 由效用函数在效用最大化下导出，符合需求行为 理论
• 只包括收入和价格
• 参数有明确的经济意义
⒉ 从效用函数到需求函数 ⑴ 从直接效用函数到需求函数
• 直接效用函数为：
Vi ai bI i i
(i 1,2,, n) i , b a i
i 1,2, , n
•对模型采用普通最小二乘法进行估计，得到：
•然后利用参数之间的关系计算
ri (i 1,2,, n)
四、几种需求函数模型系统
⒈ Rotterdam模型
• Theil和Barten于1965、1966年采用对数线性需求函 数的微分形式，描述需求量、收入、价格的相对变 化之间的关系。
W ZB
W1 W2 W Wn
n
（2）
Z Z Z Z
b1 b2 B bn
Z I p j rj
j 1
Wi Vi pi ri
q p
i 1 i
n
i
V
• 导出需求函数
• 拉格朗日方程
L(q1 , q2 ,, qn , )
b ln(q
i 1 i
n
i
ri )
(V qi pi )
• 极值条件
i 1
n
bi L pi 0 qi qi ri L n qi pi V 0 i 1