材料力学课件第9、10章压杆稳定和动载荷
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《材料力学压杆稳定》课件
05
压杆稳定性设计原则与实例
压杆稳定性设计原则
压杆稳定性是指压杆在受到外力作用 时，能够保持其原有平衡状态的能力 。
压杆稳定性设计原则是确保压杆在使 用过程中能够承受外力作用，避免发 生失稳和破坏的关键。
设计压杆时，应遵循以下原则：选择 合适的材料、确定合理的截面尺寸、 优化压杆长度和形状、避免过大的偏 心载荷等。
本课程介绍了多种稳定性分析方法，包括欧拉公式法、经验公式法、能量法等。通过这些 方法的学习和应用，我们能够根据不同情况选择合适的分析方法，对杆件进行准确的稳定 性评估。
实际应用与案例分析
本课程结合实际工程案例，对压杆稳定问题进行了深入的探讨和分析。通过这些案例的学 习，我们了解了压杆稳定问题在实际工程中的重要性和应用价值，提高了解决实际问题的 能力。
不同截面形状的压杆，其临界载荷和失稳形态 存在差异。
支撑条件
支撑刚度、支撑方式等对压杆的稳定性有重要 影响。
提高压杆稳定性的措施
选择合适的材料
选择具有高弹性模量和合适泊松 比的材料，以提高压杆的稳定性
。
优化截面形状与尺寸
通过改变截面形状或增加壁厚等 方法，提高压杆的稳定性。
改善支撑条件
采用具有足够刚度的支撑，并合 理布置支撑位置，以提高压杆的
的比率。
03
压杆稳定性的定义与分类
压杆稳定性的定义
压杆稳定性是指压杆在受到轴向 压力时，保持其平衡状态而不发
生弯曲或屈曲变形的能力。
压杆稳定性问题主要关注的是压 杆在轴向压力作用下，是否能够 保持直线形状而不发生弯曲变形
。
压杆的稳定性取决于其自身的力 学特性和外部作用力的大小和分
布。
压杆稳定性的分类
《材料力学压杆稳定》PPT课件
当 s 时，就发生强度失效，而不是失稳。
所以应有: 4 压杆分类
cr
P A
s
不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公
式。可根据柔度将压杆分为三类
(1) 大柔度杆(细长杆) (2) 中柔度杆
p 的压杆 s p 的压杆 29
4 压杆分类
不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公 式。可根据柔度将压杆分为三类
l
i
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全
面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形
状对临界应力的影响。
22
柔度 (长细比)
l
i
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全 面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形 状对临界应力的影响。
则临界应力为
cr
2E 2
2 欧拉公式的适用范围
欧拉公式
2
§9. 1 压杆稳定的概念
前面各章节讨论了构件的强度和刚度问题。 本章讨论受压杆件的稳定性问题。
稳定性问题的例子
平衡形式突然改变
丧失稳定性
失稳3
平衡形式突然改变
丧失稳定性
失稳
构件的失稳通常突然发生，所以，其危害很大。
1907年加拿大劳伦斯河上，跨度为548米的魁北 克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。
其中，A为杆中点的挠度。 l
A的数值不确定。
欧拉公式与精确解曲线
精确解曲线
P 1.152Pcr时，
0.3l
理想受压直杆 非理想受压直杆
11
§9. 3 不同杆端约束下细长压杆的临界力的 欧拉公式.压杆的长度因数
1. 一端固支一端自由的压杆
由两端铰支压杆的临界
压力公式
Pcr
所以应有: 4 压杆分类
cr
P A
s
不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公
式。可根据柔度将压杆分为三类
(1) 大柔度杆(细长杆) (2) 中柔度杆
p 的压杆 s p 的压杆 29
4 压杆分类
不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公 式。可根据柔度将压杆分为三类
l
i
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全
面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形
状对临界应力的影响。
22
柔度 (长细比)
l
i
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全 面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形 状对临界应力的影响。
则临界应力为
cr
2E 2
2 欧拉公式的适用范围
欧拉公式
2
§9. 1 压杆稳定的概念
前面各章节讨论了构件的强度和刚度问题。 本章讨论受压杆件的稳定性问题。
稳定性问题的例子
平衡形式突然改变
丧失稳定性
失稳3
平衡形式突然改变
丧失稳定性
失稳
构件的失稳通常突然发生，所以，其危害很大。
1907年加拿大劳伦斯河上，跨度为548米的魁北 克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。
其中，A为杆中点的挠度。 l
A的数值不确定。
欧拉公式与精确解曲线
精确解曲线
P 1.152Pcr时，
0.3l
理想受压直杆 非理想受压直杆
11
§9. 3 不同杆端约束下细长压杆的临界力的 欧拉公式.压杆的长度因数
1. 一端固支一端自由的压杆
由两端铰支压杆的临界
压力公式
Pcr
材料力学 第九章 压杆稳定
cr s p
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s
l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
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Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
材料力学第九章 压杆稳定
02
创新研究方法与手段
积极探索新的实验技术和数值模拟方法，提高压杆稳定研究的精度和可
靠性。
03
拓展应用领域
将压杆稳定研究成果应用于更多领域，解决实际工程问题，推动科学技
术进步。
THANKS
感谢观看
稳定性取决于压杆的初始弯曲程度、压力的大小 和杆件的材料特性。
当压杆受到微小扰动时，如果能够恢复到原来的 平衡状态，则称其为稳定；反之，则为不稳定。
压杆的临界载荷
临界载荷是指使压杆由稳定平衡 状态转变为不稳定平衡状态的载
荷。
当压杆所受压力小于临界载荷时， 压杆保持稳定平衡状态；当压力 大于临界载荷时，压杆将失去稳
相应措施进行解决。
建筑结构中的压杆问题
02
高层建筑、大跨度结构等建筑中的梁、柱等部件可能发生失稳，
需要加强设计和施工控制。
压力容器中的压杆问题
03
压力容器中的管道、支撑部件等可能发生失稳，需要采取相应
的预防和应对措施。
05
压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定研究的新趋势
跨学科交叉研究
压杆稳定与材料科学、计算科学、工程结构等领域相互渗透，形 成多学科交叉的研究趋势。
工程中常见的压杆问题
1 2
细长杆失稳
细长杆在压力作用下容易发生弯曲，导致失稳。
短粗杆失稳
短粗杆在压力作用下可能发生局部屈曲，导致失 稳。
3
弹性失稳
材料在压力作用下发生弹性变形，当压力超过某 一临界值时，杆件发生失稳。
解决压杆失稳的方法与措施
加强材料质量
选择优质材料，提高材料的弹 性模量和抗拉强度，以增强压
材料力学第九章 压杆稳 定
• 引言 • 压杆稳定的基本理论 • 压杆稳定的实验研究 • 压杆稳定的工程应用 • 压杆稳定的未来发展与展望
材料力学上册第九章压杆稳定
一、工程实例
压力机的压杆
Mechanics of Materials
网架结构中的杆
桥墩
Mechanics of Materials
铁塔中的杆
Mechanics of Materials
Mechanics of Materials
航 天 飞 机 发 射 架 中 的 杆 件
Mechanics of Materials
第九章 压杆稳定
§9-1 压杆稳定性的概念 §9-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 §9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉
公式·压杆的长度因数 §9-4 欧拉公式的应用范围·临界应力总图 §9-5(9-6)压杆的稳定计算·压杆的合理截面
§9-1 压杆稳定的概念
Mechanics of Materials
压杆可能在低应力情况下发生弯曲 —失稳破坏
Mechanics of Materials
鱼洞长江大桥边 跨现浇支架失稳
Mechanics of Materials
稳定计算的重要性
Mechanics of Materials
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材料力学 第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
9.1 概述 9.2 细长压杆的临界力 9.3 压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
小结
材料力学
9.1 概述
第9章 压杆稳定
在绪论中曾经指出，当作用在细长杆上的轴向压力达到或超过一定 限度时，杆件可能突然变弯，即产生失稳现象。杆件失稳往往产生很 大的变形甚至导致系统破坏。因此，对于轴向受压杆件，除应考虑其 强度与刚度问题外，还应考虑其稳定性问题。
（4）临界状态的压力恰好等于临界力，而所处的微弯状态称为屈曲模态， 临界力的大小与屈曲模态有关。
（5）n=2、3所对应的屈曲模态事实上是不能存在的，除非在拐点处增加 支座。这些结论对后面讨论的不同约束情况一样成立。
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
w xl
coskl 0
材料力学
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
coskl 0
kl nπ k nπ
2
2l
Fcr
n 2 π 2EI (2l ) 2
n 1,3,5,
取最小值，可得该压杆临界力Fcr的欧拉公式为:
Fcr
π2EI (2l ) 2
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
计算临界力归结为计算压杆处于微弯状态临界平衡时的平衡方程 及荷载值。 用静力法计算临界力时应按以下的思路来考虑： （1）细长压杆失稳模态是弯曲，所以弯曲变形必须考虑； （2）假设压杆处在线弹性状态； （3）临界平衡时压杆处于微弯状态，即挠度远小于杆长，于是， 梁近似挠曲线的微分方程仍然适用。 （4）压杆存在纵向对称面，且在纵向对称面内弯曲变形。
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
9.1 概述 9.2 细长压杆的临界力 9.3 压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
小结
材料力学
9.1 概述
第9章 压杆稳定
在绪论中曾经指出，当作用在细长杆上的轴向压力达到或超过一定 限度时，杆件可能突然变弯，即产生失稳现象。杆件失稳往往产生很 大的变形甚至导致系统破坏。因此，对于轴向受压杆件，除应考虑其 强度与刚度问题外，还应考虑其稳定性问题。
（4）临界状态的压力恰好等于临界力，而所处的微弯状态称为屈曲模态， 临界力的大小与屈曲模态有关。
（5）n=2、3所对应的屈曲模态事实上是不能存在的，除非在拐点处增加 支座。这些结论对后面讨论的不同约束情况一样成立。
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
w xl
coskl 0
材料力学
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
coskl 0
kl nπ k nπ
2
2l
Fcr
n 2 π 2EI (2l ) 2
n 1,3,5,
取最小值，可得该压杆临界力Fcr的欧拉公式为:
Fcr
π2EI (2l ) 2
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
计算临界力归结为计算压杆处于微弯状态临界平衡时的平衡方程 及荷载值。 用静力法计算临界力时应按以下的思路来考虑： （1）细长压杆失稳模态是弯曲，所以弯曲变形必须考虑； （2）假设压杆处在线弹性状态； （3）临界平衡时压杆处于微弯状态，即挠度远小于杆长，于是， 梁近似挠曲线的微分方程仍然适用。 （4）压杆存在纵向对称面，且在纵向对称面内弯曲变形。
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P c rm P c1 i,r P n c2 } r{
6 12
z
24
6 y 22
31 目录
§９-４ 压杆的临界应力
欧拉公式只适用于大柔度压杆
11-3
32 目录
§９-４ 压杆的临界应力
中小柔度杆临界应力计算 (大柔度杆) 欧拉公式
S P (中柔度杆)
crab s
当 a s 时，经验直线公式
半波正弦曲线的一段长度
22 目录
Pcr
π 2 EI (μ l)2
为长度系数 l 为相当长度
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
1 若杆端在各个方向的约束情况相同（球形绞等），则 I 应取最小的形心主惯性矩。
23 目录
Pcr
π 2 EI (μ l)2
为长度系数 l 为相当长度
27 目录
例题 3
已知：图示压杆EI,且杆在B支承处不能转动 求：临界压力
a\2
P
解： lA B 0 .7 a 0 .7 a
c
lB C 1 0 .5 a 0 .5 a
B
PcA r B ( 0.7 2E a)2IPcBrC 0.2 5E a2I
A
故取
11-1
稳定平衡
微小扰动使小球离开原 来的平衡位置，但扰动撤销 后小球回复到平衡位置
3 目录
§９-1 压杆稳定的概念 工程实例
4 目录
§９-1 压杆稳定的概念
压杆的稳定性试验
5 目录
§９-1 压杆稳定的概念 工程实例
6 目录
§９-1 压杆稳定的概念
压杆丧失直 线状态的平衡， 过渡到曲线状态 的平衡。失稳 屈曲
C，D为拐点
6 12
z
24
6 y 22
31 目录
§９-４ 压杆的临界应力
欧拉公式只适用于大柔度压杆
11-3
32 目录
§９-４ 压杆的临界应力
中小柔度杆临界应力计算 (大柔度杆) 欧拉公式
S P (中柔度杆)
crab s
当 a s 时，经验直线公式
半波正弦曲线的一段长度
22 目录
Pcr
π 2 EI (μ l)2
为长度系数 l 为相当长度
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
1 若杆端在各个方向的约束情况相同（球形绞等），则 I 应取最小的形心主惯性矩。
23 目录
Pcr
π 2 EI (μ l)2
为长度系数 l 为相当长度
27 目录
例题 3
已知：图示压杆EI,且杆在B支承处不能转动 求：临界压力
a\2
P
解： lA B 0 .7 a 0 .7 a
c
lB C 1 0 .5 a 0 .5 a
B
PcA r B ( 0.7 2E a)2IPcBrC 0.2 5E a2I
A
故取
11-1
稳定平衡
微小扰动使小球离开原 来的平衡位置，但扰动撤销 后小球回复到平衡位置
3 目录
§９-1 压杆稳定的概念 工程实例
4 目录
§９-1 压杆稳定的概念
压杆的稳定性试验
5 目录
§９-1 压杆稳定的概念 工程实例
6 目录
§９-1 压杆稳定的概念
压杆丧失直 线状态的平衡， 过渡到曲线状态 的平衡。失稳 屈曲
C，D为拐点
材料力学压杆稳定PPT课件
6
工程背景 (Engineering background)
crane truck
7
问题的提出
p pcr
p pcr
p pcr
求载荷pcr是稳定问题的实质!!! 对象—压杆
方法—静力学方法
基本问题—
求pcr； 讨论支承对临界力的影响；
8
压杆稳定条件
2 细长压杆的欧拉临界压力
横向干扰力产生初始变形, P
1983年10月4日，北京的一幢正在施工的高层建筑 的高54.2m、长17.25m、总重565.4kN大型脚手架屈 曲坍塌，5人死亡、7人受伤 。
1907年北美魁北克圣劳伦斯河上大铁桥施工中,珩架下 弦受压杆屈曲,就如少一杆,成变形体而坍塌.
1925年苏联莫兹尔桥试运行时，因压杆失稳而破坏。
1940年美国塔科马桥,一场大风,因侧向压杆失稳而破 坏。
解：压杆在xoy平面内，
z
l
iz
1210012.21 17 .32
压杆在xoz平面内，
y
l1
iz
1200086 .6 11 .55
1
2E p
2205109
200106
101
maxmax{y,z}121.21
18
iz
b 23
17 .32 mm
iy
a 23
1ห้องสมุดไป่ตู้ .55 mm
所以，压杆为细长杆。
Pcr2E2 A33.06kN
3
液压缸顶杆
hydraulic pressure post rod
4
Scaffold frame
脚手架中的压杆
工程背景 (Engineering background)
材料力学课件 第十章压杆稳定
sinkL0
kn P
L EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且 杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
Pcr
2
EImin L2
14
Pcr
2
EImin L2
二、此公式的应用条件：
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
29
我国钢结构柱子曲线
二、 受压构件的稳定公式
利用最大强度准则确定出轴心受压构件的临界应力 cr ，引入抗力分项系数 R ，则轴心受压构件的稳定计算公式如下：
N cr cr f y f A R R fy
f ：钢材的强度设计值
（10.24）
30
例6
如图所示，两端简支，长度l 5m 的压杆由两根槽钢组成，若限定两个槽钢腹板
Iy [73.3 (51.8)2 21.95]2 2176.5cm4
33
若失稳将仍会在 xoy平面内，有
imin iz
Iz A
1732.4 6.28cm 43.9
max
l imin
500 79.6 6.28
查表得2 0.733
此时3 与3 已经很接近，按两个 16a 槽钢计算压杆的许可压力，有
20
[例3] 求下列细长压杆的临界力。
y y
x
z
z
h
L1
L2
解：①绕
y 轴，两端铰支：
=1.0，
I
y
b3h 12
,
②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
b
Pcry
2EI L22
y
=0.7，
第十章压杆稳定材料力学PPT课件
Iy2 [Iy1A 1(z0a/2)2]
2 [2.6 5 1.7 2 ( 4 1 .5 2 a /2 )2 ]
即 :1.9 3 8 2.6 5 1.7 2(1 4 .5 2 a/2 )2时合
a=4.32cm
27
2、求临界力：
L0.76
i
Iz
0.76 39 .6 6 10 8
10 .5 6p
2EIy L22
③、压杆的临界力 F crmiF c nry,(Fcr)z
15
例3：求下列细长压杆的临界力。（L=0.5m，E=200 MPa）
F
解：图（a）
FP
Imi n51 0 12 30 1 0 12 4.1 7 1 0 9m 4
10
பைடு நூலகம்
Fcr
2IminE (1l)2
24.1(07.71009.5)22 00106
cr
S
cr a b
P
2E
cr
2
o
s
P
L
i
19
四、注意问题：
1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。 2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时，
其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度 计算时需按削弱后的尺寸计算。
例4：一压杆长L=1.5m，由两根 56566 等边角钢组成，两端 铰支，压力 F=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或经验公 式求临界压力和安全系数 σcr=304-1.12λ(MPa) 。 解：一个角钢： A 18 .36 cm 2 7 ,Iy12.6 3c3m 4
Fcr4L22EI(L2/E2)I2
=0.5
14
例2：求下列细长压杆的临界力。(yz面失稳两端铰支，长L2；xy 面失稳一端固定，一端铰支，长L1）
2 [2.6 5 1.7 2 ( 4 1 .5 2 a /2 )2 ]
即 :1.9 3 8 2.6 5 1.7 2(1 4 .5 2 a/2 )2时合
a=4.32cm
27
2、求临界力：
L0.76
i
Iz
0.76 39 .6 6 10 8
10 .5 6p
2EIy L22
③、压杆的临界力 F crmiF c nry,(Fcr)z
15
例3：求下列细长压杆的临界力。（L=0.5m，E=200 MPa）
F
解：图（a）
FP
Imi n51 0 12 30 1 0 12 4.1 7 1 0 9m 4
10
பைடு நூலகம்
Fcr
2IminE (1l)2
24.1(07.71009.5)22 00106
cr
S
cr a b
P
2E
cr
2
o
s
P
L
i
19
四、注意问题：
1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。 2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时，
其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度 计算时需按削弱后的尺寸计算。
例4：一压杆长L=1.5m，由两根 56566 等边角钢组成，两端 铰支，压力 F=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或经验公 式求临界压力和安全系数 σcr=304-1.12λ(MPa) 。 解：一个角钢： A 18 .36 cm 2 7 ,Iy12.6 3c3m 4
Fcr4L22EI(L2/E2)I2
=0.5
14
例2：求下列细长压杆的临界力。(yz面失稳两端铰支，长L2；xy 面失稳一端固定，一端铰支，长L1）
材料力学课件 压杆稳定
§9.1 压杆稳定的概念
一、工程中的压杆 二、压杆的失效形式 三、压杆失稳的实例 四、压杆稳定的概念
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 钢结构桥梁中的杆
一、工程中的压杆： 铁塔中的杆
一、工程中的压杆： 小亭的立柱
w k2 w k2
EI
w A s k i B c n x k o x ( s 2 )
w A s k i B c n x k o x ( s 2 )
一阶导数为 w A c k o k B x s s k i k ( n x 3 )
根据边界条件x=0，w =0 得 A＝0。
Fcr
π2EI l2
讨论：失稳挠曲线 ——半正弦波曲线
w Байду номын сангаасsinx
l
Awxl wmax
2
杆在任意微弯状态下保持平衡时为
不确定的值。 这是因为推导过程中是用的挠曲线
近似微分方程。
临界压力的精确解
w Mx
EI
2EI
Fcr l 2
（近似解） 欧拉解
精确失稳挠曲线微分方程？
失
l l 0.7 l l 0.5l
l 2l l 0.5 l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Fcr 欧拉公式
Fcr
2EI l2
Fcr
一、工程中的压杆 二、压杆的失效形式 三、压杆失稳的实例 四、压杆稳定的概念
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 钢结构桥梁中的杆
一、工程中的压杆： 铁塔中的杆
一、工程中的压杆： 小亭的立柱
w k2 w k2
EI
w A s k i B c n x k o x ( s 2 )
w A s k i B c n x k o x ( s 2 )
一阶导数为 w A c k o k B x s s k i k ( n x 3 )
根据边界条件x=0，w =0 得 A＝0。
Fcr
π2EI l2
讨论：失稳挠曲线 ——半正弦波曲线
w Байду номын сангаасsinx
l
Awxl wmax
2
杆在任意微弯状态下保持平衡时为
不确定的值。 这是因为推导过程中是用的挠曲线
近似微分方程。
临界压力的精确解
w Mx
EI
2EI
Fcr l 2
（近似解） 欧拉解
精确失稳挠曲线微分方程？
失
l l 0.7 l l 0.5l
l 2l l 0.5 l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Fcr 欧拉公式
Fcr
2EI l2
Fcr
材料力学教学课件压杆稳定
机械设备的压杆稳定性分析
总结词
机械设备的压杆稳定性分析对于保证设 备正常运转和操作人员的安全至关重要 。
VS
详细描述
在机械设备中，如压力机、压缩机等，压 杆常常作为传递力的部件。为了防止压杆 在工作中发生失稳，需要进行稳定性分析 。这需要考虑压杆的材料性质、截面形状 、工作载荷以及支撑条件等因素。对于长 细比较大的压杆，还需特别考虑其柔性对 稳定性的影响。
计算方法
基于弹性理论，采用挠曲 线方程和欧拉公式进行计 算。
长细比较大的压杆
定义
长细比较大的压杆是指杆件长度 与其横截面尺寸之比很大的杆件
。
特点
在压力作用下，这类杆件容易发生 失稳，即弯曲变形达到一定程度后 ，杆件会突然发生屈曲。
计算方法
基于稳定性理论，采用折减系数法 或能量法进行计算。
临界力的计算
03
压杆稳定性的校核
稳定性校核的方法
静力法
通过比较临界力和实际外力的关系，判断压杆是 否失稳。
动力法
通过分析压杆的振动特性，判断其是否具有不稳 定振动。
能量法
利用能量守恒原理，计算压杆的临界载荷。
稳定性校核的步骤
01
02
03
04
1. 确定压杆的长度、直径、 材料等参数。
2. 计算临界载荷。
3. 比较临界载荷与实际载荷 ，判断是否满足稳定性要求。
压缩失稳
当压杆受到的横向约束不 足时，会发生压缩失稳， 表现为整体弯曲或局部屈 曲。
扭转失稳
当压杆受到的扭矩超过其 临界值时，会发生扭转失 稳，导致结构变形和破坏 。
压杆稳定的基本理论
欧拉公式
欧拉公式是压杆稳定理论的基础，它 给出了理想直杆在轴向压力作用下的 临界压力值。
材料力学压杆稳定PPT
面（xz平面）内两端为弹性固定，长度因数μy=0.8。试求此
压杆的临界应力；又问b与h的比值等于多少才是合理的。
b
解： 1）求临界应力
y
h
z
y
x
在xy平面内： z
iz
Iz
bh3 /12
A
bh
h 60 1.73m 2 m 12 12
z
zl
iz
1200011.55 17.32
在xz平面内：
iy
压杆失稳的现象：
1. 轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态； 2. 轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯
一的平衡状态；
稳定： 理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的） （Stable） 直线平衡状态；
失稳： 理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直 （Unstable） 线平衡状态；
临界力
（Critical force）
=69 kN
[FN BC]120kN FNBC4.5q≤Fcr =69
得：q=15.3 kN/m
§9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式 · 压杆的长度因数
π2EI
Fcr ( l )2
μ称为长度因数。
约束越强，μ系数越小， 临界力Fcr越高，稳定性越好；
约束越弱， μ系数越大， 临界力Fcr越低， 稳定性越差。
2) 柔度越大， 压杆越细柔，临界应力Fcr越低， 稳定
性越差。
cr
π2E
2
p
p
π2E π E
p
p
λp仅与材料有关。
对于Q235钢λp＝100。 可以使用欧拉公式计算压杆的临界力的条件是：
p
越是细柔的压杆， 柔度λ越大， 越可以使用欧拉
压杆的临界应力；又问b与h的比值等于多少才是合理的。
b
解： 1）求临界应力
y
h
z
y
x
在xy平面内： z
iz
Iz
bh3 /12
A
bh
h 60 1.73m 2 m 12 12
z
zl
iz
1200011.55 17.32
在xz平面内：
iy
压杆失稳的现象：
1. 轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态； 2. 轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯
一的平衡状态；
稳定： 理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的） （Stable） 直线平衡状态；
失稳： 理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直 （Unstable） 线平衡状态；
临界力
（Critical force）
=69 kN
[FN BC]120kN FNBC4.5q≤Fcr =69
得：q=15.3 kN/m
§9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式 · 压杆的长度因数
π2EI
Fcr ( l )2
μ称为长度因数。
约束越强，μ系数越小， 临界力Fcr越高，稳定性越好；
约束越弱， μ系数越大， 临界力Fcr越低， 稳定性越差。
2) 柔度越大， 压杆越细柔，临界应力Fcr越低， 稳定
性越差。
cr
π2E
2
p
p
π2E π E
p
p
λp仅与材料有关。
对于Q235钢λp＝100。 可以使用欧拉公式计算压杆的临界力的条件是：
p
越是细柔的压杆， 柔度λ越大， 越可以使用欧拉
材料力学--压杆稳定问题 ppt课件
F
Fcr nst
151.47 3
50.5KN
所以起重机架的最大起重量取决于杆AC的强度，为
Fmax 26.7KN
材料力学
PPT课件
42
例8-4 图示托架结构，梁AB与圆杆BC 材料相同。梁AB为16号工字 钢，立柱为圆钢管，其外径D=80 mm，内径d=76mm，l=6m，a=3 m， 受均布载荷q=4 KN/m 作用；已知钢管的稳定安全系数nw=3,试对立
n Fcr Fp
269 150
1.793 nst 1.8
所以压杆的稳定性是不安全的.
材料力学
PPT课件
38
例8-3 简易起重架由两圆钢杆组成，杆AB：d1 30mm，杆
AC：d2 20mm,两杆材料均为Q235钢, E 200GPa, s 240MPa p 100,0 60 ,规定的强度安全系数ns 2，稳定安全系 数 nst 3，试确定起重机架的最大起重量 Fmax 。
柱进行稳定校核。
l
q
B
A
F
a
C
材料力学
PPT课件
43
压杆稳定问题/提高压杆稳定性的措施
五、提高压杆稳定性的措施
材料力学
PPT课件
44
压杆稳定问题/提高压杆稳定性的措施
1、合理选择材料
细长杆： cr与E成正比。
普通钢与高强度钢的E大致相同，但比铜、铝合金的 高，所以要多用钢压杆。
中长杆： cr随 s 的提高而提高。
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
2） 一端固定，一端铰支
C w
BC段,曲线上凸,
1 0;
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目录
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
临界应力总图
2
1
目录
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
l
l i
Fcr cr A
目录
§9.5 压杆的稳定校核
F [F ] Fcr nst
工作安全系数
或
nst— 稳定安全系数
n
Fcr F
nst
n
cr
nst
压杆稳定性条件
n
Fcr F
nst
位置，但扰动撤销后小球回复到平衡 位置
目录
§9.1 压杆稳定的概念
压力小于临界力
压力大于临界力
压力等于临界力
目录
§9.1 压杆稳定的概念
压力等于临界力
压杆的稳定性试验
压杆丧失直线
状态的平衡，过渡 到曲线状态的平衡。 称为丧失稳定，简 称失稳，也称为屈 曲
目录
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
AB为大柔度杆
Fcr
2EI
l 2
118kN
FN 26.6kN
n
Fcr FN
118 26.6
4.42 nst
3
AB杆满足稳定性要求
目录
§9.5 压杆的稳定校核
例题 千斤顶如图所示，丝杠长度l=37.5cm， 内径d=4cm，材料为45钢。最大起重量 F=80kN，规定的稳定安全系数nst=4。试校 核丝杠的稳定性。
（1）计算柔度
i
I A
d 4 4 64d 2
d 4 1cm 44
l 237.5 75
i
1
查得45钢的2=60，1=100，2<<1，属于中柔度杆。
dl
目录
§9.5 压杆的稳定校核
（2）计算临界力，校核稳定 查表得a=589MPa,b=3.82MPa,得丝杠临界应力为
cr a b 589 3.82 75 302 .5MPa
p
即 2E p
令 1
2E
1
p 欧拉公式只适用于大柔度压杆
目录
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
3、中小柔度杆临界应力计算
当 s cr p 即 2 1 (中柔度杆)
经验公式
（直线公式）
a b cr
a、b — 材料常数
cr s
a s
b
令
2
a
b
s
2 (小柔度杆) cr s
得 FN 26.6kN
AB杆
l 1
i
l
1.5 cos30
1.732m
目录
§9.5 压杆的稳定校核
1
l
Байду номын сангаас
1.5 cos30
1.732m
i I D4 d 4 4 A 64 D2 d 2
D2 d 2 16mm 4
AB杆
l
i
得
11.732 16
10 3
108
1
Fcr
cr A 302 .5
0.042 4
381000
N
381kN
此丝杠的工作稳定安全系数为
n
Fcr F
381 80
4.76
4
nst
校核结果可知，此千斤顶丝杠是稳定的。
目录
§9.5 压杆的稳定校核
Fcr — 压杆临界压力 F— 压杆实际压力
目录
§9.5
压杆的稳定校核
例题 已知拖架D处承受载荷 F=10kN。AB杆外径D=50mm， 内径d=40mm，材料为Q235钢， E=200GPa， 1 =100，[nst]=3。 校核AB杆的稳定性。
解： CD梁
MC 0
F 2000 FN sin 30 1500
稳定性 — 构件在外力作用下，保持其原有 平衡状态的能力。
目录
§9.1 压杆稳定的概念
工程实际中有许多稳定性问题，但本章主要讨论压杆稳定问题，这类问 题表现出与强度问题截然不同的性质。
F
目录
§9.1 压杆稳定的概念
不稳定平衡
稳定平衡
微小扰动就使小球远离原来的 平衡位置
微小扰动使小球离开原来的平衡
目录
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
例题
解： 截面惯性矩
临界压力
269103 N 269kN
目录
§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
对于其他支座条件下细长压杆，求临界压力有两种方法：
1、从挠曲线微分方程入手
2、比较变形曲线
B
l
A
l
C
一端固定一端自由
Fcr
2EI
(2l)2
目录
§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定
§9.1 §9.2 §9.3
§9.4 §9.5 §9.6
压杆稳定的概念 两端铰支细长压杆的临界压力 其他支座条件下细长压杆的 临界压力 欧拉公式的适用范围 经验公式 压杆的稳定校核 提高压杆稳定性的措施
目录
§9.1 压杆稳定的概念
在材料力学中，衡量构件是否具有足够的承载能力，要从三个方面来 考虑：强度、刚度、稳定性。
----欧拉公式
F 1 1、适用条件：
2、 cr
2
l •理想压杆（轴线为直线，压力与轴线
重合，材料均匀）
杆长，Fcr小，易失稳
•线弹性，小变形 •两端为铰支座
Fcr EI
刚度小，Fcr小，易失稳
3、在 Fcr作用下，
k , w Asin x
l x
l ,w A
l
2
挠曲线为一条半波正弦曲线 即 A 为跨度中点的挠度
目录
§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
目录
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式 1、临界应力
cr
2E 2
目录
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
{ l 杆长
约束条件
i 截面形状尺寸
集中反映了杆长、约束条件、截面
形状尺寸对 cr 的影响。
2、欧拉公式适用范围
当
cr
2E 2
临界压力 — 能够保持压杆在微小弯曲状态下平衡的 最小轴向压力。
弯矩 M Fw
挠曲线近似微分方程
令 则 通解
目录
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
边界条件：
若 则
所以
（与假设矛盾）
目录
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
w
当
时， 临界压力
欧拉公式
挠曲线方程
得
w
目录
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
Fcr
Fcr
B
l
4
D
l
2
C
l
A
4
两端固定
Fcr
2EI
(0.5l)2
B
0.7l
l
C
A
一端固定 一端铰支
Fcr
2EI
(0.7l)2
目录
§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
y
F
O
x
l
两端铰支
F x
Fcr
2EI
(l)2
欧拉公式的普遍形式：
π 2 EI
Fcr (l)2
长度系数（无量纲）
l 相当长度（相当于两端铰支杆）
目录
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
•压杆柔度 l μ四种取值情况， i I
i
A
•临界柔度
1
2E P
P — 比例极限
•临界应力 1
2
a
b
s
(大柔度杆)
s — 屈服极限
cr
2E 2
欧拉公式
1 2 (中柔度杆) cr a b 直线公式
2 (小柔度杆) cr s 强度问题