数列与数学归纳法专题

数列与数学归纳法专题

市久隆模中学 石英丽

经典例题

【例1】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*

,855N n a n S n n ∈--=.

（1）证明：{}1-n a 是等比数列；

（2）求数列{}n S 的通项公式，并求出使得n n S S >+1成立的最小正整数n . 解：(1) 当1=n 时，141-=a ；当2≥n 时，15511++-=-=--n n n n n a a S S a ， 所以()16

5

11-=

--n n a a . 又01511≠-=-a ，所以数列{}1-n a 是以－15为首项，

6

5

为公比的等比数列. (2) 由(1)知：1

65151-⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=-n n a ，得1

651-⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=n n a 从而*1

,906575N n n S n n ∈-+⎪

⎭

⎫

⎝⎛=-；

由n n S S >+1

得252

651

<

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-n ，9.141252log 6

5

≈+>n ，最小正整数15=n . 【例2】 等差数列{}n a 的前n 项和为239,21,31+=+=S a S n ． （1）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ； （2）设()n

n S b n n

*=

∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 解：（1

）由已知得111339a a d ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩，

，2d ∴=，

故21(n n a n S n n =-=． （2

）由（Ⅰ）得n

n S b n n

=

= 假设数列{}n b 中存在三项p q r b b b ，，（p q r ，，互不相等）成等比数列，则2

q p r b b b =．

即2

((q p r +=．

2

()(20q pr q p r ∴-+--=

p q r *∈N ，，，

2020q pr q p r ⎧-=∴⎨--=⎩

，， 2

2()02p r pr p r p r +⎛⎫

∴=-=∴= ⎪⎝⎭，

，．与p r ≠矛盾．

所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列．

【例3】已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为a ()R a ∈,设数列的前n 项和为

4

211

,1,1,a a a S n 且

成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式及n S ； （2）记n

a a a a B S S S A n n n 2221211111,1112++++=+++= ，当2≥n 时，试比较n A 与n B 的大小．

解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由412

2

111

a a a

⋅=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛， 得())3(112

1d a a d a +=+.

因为0≠d ，所以a d = 所以()

2

1,1+==n an S na a n n . （2）因为

⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11121n n a S n ，所以)1

11(211121+-=+++=n a S S S A n n . 因为a a n n 1

221

-=-，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪

⎭⎫

⎝⎛-⋅=++++=-n n

n

a a a a a a B n 21122

1121111111122221 . 当12,210+>+++=≥n C C C n n

n n n n 时，

即n n 2

11111-<+-

. 所以，当n n n n B A a B A a ><<>时当时0;0.

【例4】 已知21=a ，点()1,+n n a a 在函数()x x x f 22

+=的图象上，其中=1，2，3，…

（1）证明数列(){}n a +1lg 是等比数列；

（2）设()()()n n a a a T +++=11121 ，求n T 及数列{}n a 的通项； （3）记211++=

n n n a a b ，求数列}{n b 的前项和S n ，并证明1

32

-+n n T S =1.

解：（1）由已知2

12n n n a a a +=+， 211(1)n n a a +∴+=+

12a = 11n a ∴+>，两边取对数得

1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，即

1lg(1)

2lg(1)

n n a a ++=+

{lg(1)}n a ∴+是公比为2的等比数列.

（2）由（Ⅰ）知1

1lg(1)2lg(1)n n a a -+=⋅+ 1122lg3lg3n n --=⋅= 1

213n n a -∴+=（*）

12(1)(1)n T a a ∴=++n …(1+a ) 0

1

2

222333=⋅⋅⋅⋅n-1

2…3 2

122

3+++=n-1

…+2=n 2-1

3

由（*）式得1

2

31n n a -=-

（3）n n n a a a 22

1+=+ 1(2)n n n a a a +∴=+

11111

()22

n n n a a a +∴

=-+ 1

112

2n n n a a a +∴

=-+. 又112n n n b a a =

++1

112()n n n b a a +∴=- 12n S b b ∴=++n …+b 122311111112(

)n n a a a a a a +=-+-+-…+11

11

2()n a a +=-. 1

22113

1,2,31n n

n n a a a -+=-==-2

2131

n

n S ∴=-

-.

又2

1

3n

n T -=2

131

n n S T ∴+

=-.

【例5】 已知数列{}n a 满足2,021==a a ，且对任意*

,N n m ∈都有

211212)(22n m a a a n m n m -+=+-+--.

（1）求53,a a ；

（2）设)(*

1212N n a a b n n n ∈-=-+，证明：{}n b 是等差数列；

（3）设()()

*

11,0,N n q q a a c n n n n ∈≠-=-+，求数列}{n c 的前n 项和n S .

解：(1)由题意，6221,2123=+-===a a a n m 可得令，