概率论 第一章 第三节

而事件:{两件商品来自同一产地}=A∪B,且A与 B互斥,A∪B包含基本事件数66+3=69。
故，所求概率=69/105=23/35。
例3：有外观相同的三极管6只,按电流放大系
数分类,4只属甲类,2只属乙类。按下列两种方 案抽取三极管两只, (1).每次抽取一只,测试后放回,然后再抽取 下一只(放回抽样); (2).每次抽取一只,测试后不放回,然后在剩下 的三极管中再抽取下一只(不放回抽样)。 设A={抽到两只甲类三极管},B={抽到两只同类 三极管},C={至少抽到一只甲类三极管},D={抽 到两只不同类三极管}。
从而，P({i})= 1/n，i=1,2,„n。
因此，若事件A包含k个基本事件，有 P(A)=k(1/n)=k/n。
III. 古典概型的例 例1： 掷一颗均匀骰子，
设:A表示所掷结果为“四点或五点”； B表示所掷结果为“偶数点”。 求:P(A)和P(B)。
解： 由n=6，kA=2,得P(A)=2/6=1/3；
(2).由于第一次抽测后不放回,因此,第一次
从6只中取一只,共有6种可能的取法；第二次 是从剩余的5只中取一只,有5种可能的取法。 由乘法原理，知取两只三极管共有n=65=30 种可能的取法。 由乘法原理,得 kA=43=12, P(A)=12/30=2/5; kE=21=2，P(E)=2/30=1/15; 由C是E的对立事件,得P(C)=1-P(E)=14/15； 由B=A∪E,且A与E互斥,得 P(B)=P(A)+P(E)=7/15； 由D是B的对立事件, 得 P(D)=1-P(B)=8/15。
故, 种等可能的装法。 基本事件总数有 个。
15! /( 5!5!5! )
续: 把三件次品分别装入三个箱中,共有3!种
装法。这样的每一种装法取定以后, 把其余12 件正品再平均装入3个箱中,每箱装4件,有
12! /( 4!4!4! ) 种装法,
再由乘法原理,可知装箱总方法数有
3!12! /(4!4!4! ) 种。
例8 在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到 的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是 多少 ? 解: 设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件
P “取到的数能被8整除”则所求概率为 ( A B ). P(AB) P(A B) 1 P(A B)
1 { P ( A ) P ( B ) P ( AB )}.
n! n1 ! n2 ! n k !
种。
例5: 某公司生产的15件产品中,有12件正品,3 件次品。现将它们随机地分装在3个箱中,每箱 装5件，设: A={每箱中恰有一件次品}, B={三件次品都在同一箱中}。 求: P(A)和P(B)。
解: 15件产品装入3个箱中,每箱装5件,共有 15! /( 5!5!5! )
考虑不放回抽样: 解：在 N 件产品中抽取 n 件，取法共有 C N 种，
k 又 在 M 件次品中取 k 件，所有可能的取法有 C M 种，
n
在 N-M 件正品中取 n-k 件, 所有可能的取法有 C N M 种，
n k
由乘法原理知：在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k
k n 件次品的取法共有 C M C N kM 种，
P(A)= ANn/Nn。
许多问题和上例有相同的数学模型。
例如(生日问题): 某人群有n个人，他们中至 少有两人生日相同的概率有多大？ 设每个人在一年(按365天计)内每天出 生的可能性都相同,现随机地选取n(n≤365) 个人,则他们生日各不相同的概率为 A365n/365n。 于是, n个人中至少有两人生日相同的概率 为 1- A365n/365n。
即A包含
3!12! /(4!4!4! )
个基本事件。
从而，
P ( A) 3! 12! 4!4!4! 15! 5!5!5! 25 91 。
续: 把三件次品装入同一箱中,共有3种装法.这
样的每一种装法取定以后,再把其余12件正品装 入3个箱中(一箱再装2件,另两箱各装5件)又有
12! /( 2!5!5! ) 种装法。
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于是所求的概率为：
p C M C N M CN
n k n k
此式即为超几何分布的概率公式。
例7 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的. 解 假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的. 7 1 周一 7 2 周二 7 3 周三 7 4 周四
由乘法原理，知装箱方法共有
3 12! /( 2!5!5! ) 种。
即B包含 3 12! /( 2!5!5! ) 个基本事件。故，
P ( B) 3 12! 2!5!5! 15! 5!5!5! 6 91 。
例6 设有 N 件产品，其中有 M 件次品，今从中任
取 n 件，问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少?
求：P(A),P(B),P(C),P(D)。
解: (1).由于每次抽测后放回,因此,每次都是
在6只三极管中抽取。因第一次从6只中取一 只,共有6种可能取法；第二次还是从6只中取 一只,还是有6种可能取法。故,取两只三极管 共有66=36 种可能的取法。从而,n=36。
注意:这种分析方法使用的是中学学过的
乘法原理
因每个基本事件发生的可能性相同,第一 次取一只甲类三极管共有4种可能取法,第二 次再取一只甲类三极管还是有4种可能取法。 所以,取两只甲类三极管共有 44=16 种可能 的取法, 即kA=16。故 P(A)=16/36=4/9； 令E={抽到两只乙类三极管},kE=22=4。故 P(E)=4/36=1/9; 因C是E的对立事件，故 P(C)=1-P(E)=8/9； 因B= A∪E ,且A与E互斥,得 P(B)=P(A)+P(E)=5/9； D是B的对立事件, 得 P(D)=1-P(B)=4/9。

周五
7 12 周六 周日
故一周内接待 12 次来访共有 712 种.
2 1
2
2 3
2 4

2 12
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有 212 种. 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为
p 2 7
12 12
0 . 0000003
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的.
教材例2
例4：n个球随机地放入N(N≥n)个盒子中,若盒 子的容量无限制。求“每个盒子中至多有一球” 的概率。
解: 因每个球都可以放入N个盒子中的任何一个,
故每个球有N种放法。由乘法原理,将n个球放 入N个盒子中共有Nn种不同的放法。 每个盒子中至多有一个球的放法(由乘法 原理得): N(N-1)„(N-n+1)=ANn 种。 故，
第一章第四节
古典概率模型
I. 什么是古典概率模型
如果试验E满足 (1) 试验结果只有有限种， (2) 每种结果发生的可能性相同。 则称这样的试验模型为等可能概率模型或 古典概率模型，简称为等可能概型或古典 概型。
II. 古典概率模型中事件概率求法
因试验E的结果只有有限种,即样本点是有 限个: 1,2 ,„,n ，其中 S={1}∪{2 }∪„∪{n}， {i}是基本事件，且它们发生的概率都相等。 于是，有 1=P(S)=P({1}∪{2 }∪„∪{n}) =P({1})+P({2 })+„+P({n}) =nP({i}), i=1,2,„n。
经计算可得下述结果：
n
20
23
30
40
50
64
100
p 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997 此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式可 以得出：
“在一个有64人的班级里，至少有两人生日相同”的 概率为 99.7%。
公式
把n个物品分成k组,使第一组有n1个, 第二组有n2个, „,第k组有nk个,且 n= n1+ n2+„+nk 。 则:不同的分组方法有
250 83 3 333 1 . 2000 2000 4 2000
小结
本节首先给出古典概型的定义；然后 讨论了古典概型中事件概率的求法：
若事件A包含k个基本事件，有 P(A)=k(1/n)=k/n； 最后，给出了几个古典概型中求随机事件 概率的应用实例。
再由kB=3，得P(B)=3/6=1/2。
例2： 货架上有外观相同的商品15件，其中12
件来自产地甲, 3件来自地乙。现从15件商品 中随机地抽取两件,求这两件商品来自同一产 地的概率。
解: 从15件商品中取出2商品,共有C215 =105种
取法,且每种取法都是等可能的，故n=105。
令
A={两件商品都来自产地甲},kA= C212=66, B={两件商品都来自产地乙},kB= C23 =3，
因为 333 2000 6 334 , 所以 P ( A ) 333 2000
,
由于
2000 8
250 , 故得 P ( B ) 2000 24 84 , 得
250 2000
. 83 2000
由于
83
P ( AB )
.
于是所求概率为
P ( A B ) 1 { P ( A ) P ( B ) P ( AB )}