概率论与数理统计第一章

例3 有三个箱子，分别编号为1,2,3， 1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2 红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三 箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求 取得红球的概率.
1
2
3
实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因” 某人从任一箱中任意 摸出一球，发现是红球,求 该球是取自1号箱的概率. 或者问: 该球取自哪号箱的可能 性最大? 1 ?
二、多个事件相互独立性
mutual independence
定义2
Company 定义3
定理2
LOGO
例4 现有四张卡片，其中第一张只写有1， 第二张只写有2，第三张只写有3，第四张上 写有1，2，3三个数字。现从中任取一张卡片， 设A，B，C分别表示抽到写有数字1，2，3的 卡片，则有P(A)=1/2,P(B)=1/2,P(C)=1/2, P(AB)=1/4,P(AC)=1/4,P(BC)=1/4, P(ABC)=1/4. 显然 P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), 即A,B,C两两相互独立，但是 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
2
3
这一类问题在实际中更为常见，它所求的是 条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因 发生可能性大小.
定理2 贝叶斯公式
该公式于1763年由贝叶斯(Bayes) 给出.它是在观察到事件A已发生的条件 下，寻找导致A发生的每个原因的概率. 贝叶斯公式在实际中有 很多应用，它可以帮助 人们确定某结果（事件 A）发生的最可能原因.
知道B 发生后 P(A1 | B) P(A2 | B) P(A3 | B) 最大
例5 在电报通信中不断发出信号0和1，统 计资料表明发出0和1的概率分别为0.6和 0.4，由于存在干扰，分别以概率0.7和0. 1接收到0和1，以0.2的概率收到模糊信号 “x”；发出1时，分别以概率0.85和0.05收 到1和0，以概率0.1收到模糊信号“x”。 （1）求收到模糊信号“x”的概率； （2）当收到模糊信号“x”时，译成哪个信号 为好，为什么？
1 P ( A1 A2 A3 ) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )
3
2
=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)] 4 2 3 3 1 0.6 5 3 4 5
请看演示
“诸葛亮和臭皮匠”
BEY!!! LOGO
解：将三人编号为1，2，3， 记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3
所求为 P(A1 A2 A3)
事件独立的例题：
P( A1) 1/ 5, P( A2 ) 1/ 3, P( A3 ) 1/ 4
P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 A2 An )
1
定义3：对n个事件 A1，A 2， ，A n ,若下面 的等式同时成立
P( Ai Aj ) P( Ai ) P( Aj ),1 i j n; P( Ai Aj Ak ) P( Ai ) P( Aj ) P( Ak ),1 i j k n; P( Ai Aj Ak Al ) P( Ai ) P( Aj ) P( Ak ) P( Al ),1 i j k l n;
0.6
0
0.7
0
0.2
0.1
x
0.05 0.4 0.1 0.85
1
1
（1）求收到模糊信号“x”的概率； （2）当收到模糊信号“x”时，译成哪个 信号为好，为什么？
例6 某电子设备制造厂所用的晶 体管是由三家元件制造厂提供的， 根据已往的纪录有以下数据，设这 三家工厂的产品在仓库中是均匀混 合的，且无区别的标志。 （1）在仓库中随机地取一只晶体管， 求它是次品的概率。 （2）在仓库中随机地取一只晶体管， 若已知取到的是次品，试分析此次 品最可能出自哪个制造厂？
第四节
条件概率(二)
Conditional Probability
Company
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全概率公式和贝叶斯公式
Total Probability Theorem And Bayes’ Rule
Company
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引例： 已知男性人群中有5%是色盲患者， 女性人群中有0.25%是色盲患者。今 从男女人数相等的人群中随机地挑 选一人，问这人是色盲患者的概率 是多少？
练习 设有一系统由4个元件1，2，3， 4组成，其联接方式如下图所示。各元件 工作相互独立。各元件能正常工作的概率 依次为 p1, p2 , p3 , p4 。求系统能正常工作 的概率。
2 1 4 3
练习 三人独立地去破译一份密码，已知各 人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三 人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？
品的概率依次为96%、98%、95%。现
从待出厂的产品中检查出了一个次 品，问该次品是由哪个车间生产的
可能性最大？
练习： 对以往数据分析结果表明，当
机器调整得良好时，产品的合格率为 90%，而当机器发生某一故障时，其合
格率为30%。每天早晨机器开动时，机
器调整良好的概率为75%。试求已知某
日早上第一件产品是合格品时，机器
P( A) P( Bi )P( A | Bi )
i 1 2
例1 一保险公司据以往的资料知 道来投保的客户可分为两类，一类 是容易出事故的，另一类则不是。 前一类在一年中出一次事故的概率 为0.1，后一类则为0.05。一新来的 投保客户属于易出事故一类的概率 为0.2。求一新来投保客户在第一年 内出一次事故的概率。
调整得良好的概率是多少？
这一节我们Leabharlann Baidu绍了
全概率公式 贝叶斯公式
它们是加法公式和乘法公式的综合运用, 同学们可通过进一步的练习去掌握它们. 值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公 式的思想发展了一整套统计推断方法，叫 作“贝叶斯统计”. 可见贝叶斯公式的影 响.
小结
全概率公式：由因遡果 贝叶斯公式：由果索因
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )

则称 A1，A 2， ，A n 相互独立。 定理2
例5 某电路由电子元件A和两个并 联的电子元件B，C串联而成，已知 元件A，B，C能正常工作的概率依次 为0.8，0.9和0.7，假定各电子元件 能否正常工作是相互独立的。 (1)求整个电路能正常工作的概率； (2)若整个电路正常工作，分别求A，B 能正常工作的概率。
贝叶斯公式
P( Bi | A)
P( Bi ) P( A｜Bi )
P( Bi ) P( A｜Bi )
j 1
n
在贝叶斯公式中，P(Bi)和P(Bi |A)分别称为 原因的先验概率和后验概率. 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。 P(B )(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不
知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸 事件发生可能性大小的认识.
Company
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第五节 事件的独立性
Event Independence
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Company
A,B是试验E的两个事件，若P(B)>0, 可以定义P(A|B)
一般 P(A|B) ≠ P(A) B已发生影响A发生的概率
很多时候还有P(A|B)=P(A) B已发生对A发生的概率没有影响 此时有 P(AB)= P(A)P(B)
定义1 设为随机试验E的样本空间， B1，B2，…，Bn为 E的一组事件，
如果
(1) Bi Bj= （i≠j）; (2)
B1 B2 B3
…
A
…
Bn
则称B1，B2，…，Bn为样本空间的一个划分 。
定理1 全概率公式
引例：
已知男性人群中有5%是色盲患者，女性 人群中有0.25%是色盲患者。今从男女人 数相等的人群中随机地挑选一人，问这 人是色盲患者的概率是多少？ 解：A表示“随机选一人是色盲患者” B1表示“随机选一人是男性” B2 表示“随机选一人是男性”
例6 某工人照看甲、乙、丙三台机床， 在任意时刻这三台机床不需要照管的概 率为0.8,0.9,0.6,设这三台机床是否需 要照管是相互独立的，且这名工人同时 只能照管一台机床。试求在任意时刻： （1）“有机床需要工人照管”的概率； （2）“机床因无人照管而停工”的概率.
例7 一架长机与两架僚机一起飞往某目的地进行 轰炸，三架飞机中只有长机有导航设备，若无导 航设备，则飞机不能到达目的地。在飞机到达目 的地之前，必须飞过敌方的高射炮阵地上空，这 时任何一架飞机被击落的概率都是0.2。到达目 的地后，各架飞机独立地进行轰炸，炸毁目标的 如果目标被炸毁，问是被哪种情况炸毁的可能性 最大？
用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性,比用
P(A|B)=P(A) 或 P(B|A)=P(B)
更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.
一、两个事件相互独立
mutual independence
定义1 Company
定理1
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事件独立的例题：
例1 设P(A)>0, P(B)>0,则A，B相互独 立与A，B互不相容不能同时成立。 例2 甲、乙两人独立地对同一目标射击 一次，其命中率分别是0.5和0.4。现已 知目标被命中，则它是乙射中的概率是 多少？ 例3 设0<P(A)<1，且P(B|A)=P(B|A )， 试证：A、B相互独立.
当有了新的信息（知道A发生），人们对诸 事件发生可能性大小P(Bi | A)有了新的估计.
i
例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有 甲、乙、丙三人.
在不了解案情细节(事件B) 之前，侦破人员根据过去 的前科，对他们作案的可 能性有一个估计，设为
偏小
丙 乙 甲 P(A1) P(A2) P(A3)
但在知道案情细 节后, 这个估计 就有了变化. 比如原来认为作案可能性较小的某甲， 现在变成了重点嫌疑犯.
例2
今有三个盒子，第一个盒子内
有7只红球和3只黄球；第二个盒子内
有5只蓝球5只白球；第三个盒子内有8
只蓝球和2只白球。现在第一个盒子中
任取一球，若取到红球则在第二个盒
子中任取两球；若取到黄球则在第三 只盒子中任取两球，求第二次取到的
两球都是蓝球的概率。
练习 有朋自远方来，乘火车、 船、汽车、飞机来的概率分别为 0.3，0.2,0.1，0.4，迟到的概 率分别为0.25，0.3,0.1，0；求 他迟到的概率．
概率都是0.3。（1）求目标被炸毁的概率；（2）
例8
一批产品共100件，其中有4件次品，
其余皆为正品。每次任取一件产品进
行检验，检验后放回，连续检验3次。
如发现有次品，则认为这批产品不合
格，但检验时，一件正品被误判为次
品的概率为0.05，而一件次品被误判 为正品的概率为0.01，求这批产品被
检验为合格品的概率。
元件制造厂 1 2 3
次品率 0.02 0.01 0.03
提供晶体 管的份额 0.15 0.80 0.05
（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求 它是次品的概率。 （2）在仓库中随机地取一只晶体管，若 已知取到的是次品，试分析此次品最 可能出自哪个制造厂？
练习： 设某工厂甲、乙、丙三个车间
生产同一种产品，产量依次占全厂 的45%、35%、20%，且各车间的合格
练习 某人从外地赶来参加紧急会议， 他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率 分别是0.3、0.2、0.1、0.4，如果他乘 飞机来就不会迟到；而乘火车、轮船或 汽车来迟到的概率分别为1/4、1/3、 1/12。 （1）求他迟到的概率； （2）如果他迟到了，试推断他是怎么来 的，说说你的理由。
例4 据以往的临床记录，某种诊断 糖尿病的试验具有以下的效果：若一 被诊断者患有糖尿病则试验结果呈阳 性的概率为0.90；若一被诊断者未患 糖尿病，则试验结果呈阳性的概率为 0.06。又已知受试验的人群患糖尿病 的概率为0.03。如果一被诊断者其试 验结果呈阳性，求此人患糖尿病的条 件概率。
一、两事件的独立性
先看一个例子：
将一颗均匀骰子连掷两次，
设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，
显然 P(A|B)=P(A)
这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发 生的概率,这时称事件A、B独立.
由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(A)P(B)
P(AB)=P(A|B)P(B)