第一章 概率论

例 3.袋中有 10 个球,其中 4 个白色,6 个红色,从中 任取 3 个,求这三个中至少有一个是白球的概率.
例 4 将 n 只不同的球随机地放入 N（N n）个不 同的盒子中去，试求每个盒子至多有一个球的概 率。 [生日问题] （1）设每个人的生日在一年 365 天中 的任一天是等可能的，则随机选取 n(n 365) 中个人 中，求其中至少有两人生日相同的概率。经计算 n 30 40 50 64 100 P 0.706 0.891 0.970 0．997 0.9999997 即 100 个 人 中 生 日 各 不 相 同 的 概 率 非 常 小 为 0.0000003，
（三） 、随机试验的特点 1、在相同的条件下试验可以重复进行； 2、试验之前可以明确知道试验的所有可能结果； 3、试验之前不能确定将出现哪一种结果。 具有以上三个特点的试验称为随机试验。
二．样本空间与随机事件
（一）样本空间（sample space）
随机试验的所有可能结果组成的集合称为样本空 间，记为 ；
等可能概型（古典概型）
若试验满足： （1）样本空间只有有限个元素；
（2）每个基本事件发生的可能性相同； 则称该试验为古典概型。
（二） 、古典概型的计算公式
中有 n 个基本事件，若 A 包含 m 个基本事件，则
P( A) m n
例 1．掷两枚匀称的硬币,求他们都是正面的概率.
例 2.设有Ｍ件产品， 其中 N 件次品， 今从中任取ｎ 件，问其中恰有 k (k N , k n) 件次品的概率？
（1）非负性： P ( A) 0 ;
（2）规范性： P () 1;
（3）可列可加性：若 A1, A2 ,, An ,两两互不相容，则

P( Ai ) P( Ai ) .
i 1 i 1
（二）概率的性质：
1. P () 0
2. 若A1, A2 ,, An两两互不相容，则有
（2） A1 A2 An ， 称 A1 , A2 ,, An 为 的一个完备事件组。
【注】 最简单的完备事件组为 A 与 A 。
（二）全概率公式和贝叶斯公式
设 为随机试验 E 的基本事件空间 ， A1 , A2 ,, An 构成
的一个完备事件组， B 为一事件，并且都有正概率，
2、抛一枚骰子，A：点数为奇数；B：点数不超过 3。
3、在一批灯泡中任意抽取一只，寿命小于 1000 小时。
事件A发生：Ａ中的某个样本点出现，
称为事件Ａ发生.
单点集
基本事件
样本空间
空集
必然事件
不可能事件
２．关系及运算：
（1）事件 B 包含事件 A，记为 A B ，即 A 发生导致 B 发生。
例 1.
A, B 为两事件， P ( A) 0.3, P ( B ) 0.4, P ( A B ) 0.5 ，
求 P ( B | A) .
例 2 假设一批产品中一、二、三等品各占 60％，30％， 10％，从中随意取出一件，结果不是三等品，求取的是一 等品的概率。
二、乘法公式 当 P ( A) 0 ， P ( AB ) P ( A) P ( B | A) 当 P ( B ) 0 ， P ( AB ) P ( B ) P ( A | B )
例 1．(候车问题)公共汽车每隔 5 分钟来 一辆,假定乘客在接连两辆车之间的任何 时刻随机地到达车站,试求乘客候车不超 过 3 分钟的概率。
例 2．(会面问题)两人约定于 12 点到 13 点在某地会面,先到者等候１0 分钟后就 可离去,求两人能会面的概率。
第五节
条件概率
引例：抛一枚骰子，用 A 表示“出现 2 点” ，用 B 表示“出现偶数点” ，考虑“已 知出现了偶数点，则出现是 2 点”的概 率。
P( A1 An ) P( A1 ) P( An )
3. P( A B) P( AB) P( A) P( AB)
注：若A B ，则
P ( B A) P ( B) P ( A); P ( B ) P ( A).
4. P( A) 1
5. P( A) 1 P( A)
一．条件概率 （一）定义
P ( AB ) 设 A,B 为两事件，P(B)>0，称 P ( A | B ) 为B发 P( B)
生的条件下 A 发生的条件概率；
P ( AB ) 同样，若 P(A)>0， P ( B | A) 为 A 发生的条件下 P ( A)
Ｂ发生的条件概率。
（二）性质 概率的性质、 公式适用于条件概率， 如： P ( B ) 0 时， 当 （1） P ( | B ) 0, P ( | B ) 1 （2） P ( A | B ) 1 P ( A |B ) （3） P ( A1 A2 | B ) P ( A1 | B ) P ( A2 | B ) P ( A1 A2 | B )
二、几何概型：
（一）定义 几何概型的试验满足: ①样本空间 是一个几何区域; ②试验结果落在 中任一区域的可能性与该区域的几何测 度成正比,其中几何测度可以是长度,面积,体积。
在几何概( A) L( )
其中 L( A) 和 L() 分别为 A 和 的几何度量（长度，面积 或体积）
在不变的条件下，重复进行 n 次试验，事件 A 发生的 频率稳定地在某一常数 p 附近摆动，且一般说来，n 越 大，摆动幅度越小，则称常数 p 为事件 A 的概率。 记作 P( A) p 。
二、概率的公理化定义
（一） 定义 随机试验 E 的样本空间为 ， E 的每个事 对 件 A 赋于一个实数，记为 P(A)，称为事件 A 的概率，如 果 P(A)满足以下三条：
E1 ：抛一枚硬币，观察正面
H，反面 T 出现的情况；
E 2 ：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面反面的情况；
E3 ：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数；
E 4 ：抛一枚骰子。观察出现的点数；
E5 ：记录某城市 120 急救电话台一昼夜的呼唤次数；
E6 ：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
E7 ：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。
概率为 1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率 为 7/10，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为 9/10，试求透镜落下三次而未打破的概率。
三、全概率公式与贝叶斯公式
（一）完备事件组的定义
设 为 E 的样本空间， A1 , A2 ,, An 为 E 的一组事 件，若 （1） A1 , A2 ,, An 两两互不相容，
（4）第1个是合格品,但后两个零件中至少有 一个次品； （5）3个零件中最多只有两个合格品； （6）3个零件都是次品； （7）3个零件中最多有1个次品。
第三节
一、概率的统计定义
（一）频率的定义
频率与概率
在相同的条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验
nA 中，事件 A 发生的次数为 nA ，则称 为事件 A 发生的频 n
(1) A, B, C 至少有一个发生的概率为 (2) 则事件 A, B, C 全不发生的概率为 (3) A, B, C 中只有一个发生的概率为 ； ； 。
例 4
A1 , A2 同时发生时,则 A 发生，
试证： P( A) P( A1 ) P( A2 ) 1
第四节
一、 古典概型 （一）定义
（2）若 A B, B A，则称事件 A 与事件 B 相等，记 为 A=B。
（3）A B 发生，即事件 A 与 B 中至少有一个发生。
k 1
Ak 发生，即 A1, A2 ,, An 中至少有一个发生。
n
（4）A B 发生，即事件 A 与 B 同时发生。A B 也记为 AB。
k 1
甲乙两人赌技相同，各出赌注 500元，约定：谁先胜三局，则 谁拿走1000元，现已赌三局，甲 二胜一负，因故中断赌博，问 这1000元如何分才算公平？
第一章
一 随机现象
概率论的基本概念
（一）确定性现象 （1）太阳从东方升起； （2）抛入空中的物体向下落； （3） 1 1 2 。
（二）随机现象
3、事件的运算规律 （1） 交换律 （2） 结合律
A ( B C ) ( A B) C , A( BC ) ( AB )C
A B B A, AB BA
（3）分配律
A ( B C ) ( A B ) ( A C ), A ( B C ) ( A B) ( A C )
样本空间的元素，即试验的每个结果，称为样本点 。
例 1 写出前面随机试验的样本空间。
(二)、随机事件(random event)
1.随机事件的定义 样本空间的子集称为随机事件，简称为事件， 记为 A，B，C 等。 必然事件 ： 不可能事件 ：
例2
写出试验中的某些事件
1、将一枚硬币抛掷三次，A：第一次出现正面；B：三 次都出现正面。
则
P ( B ) P ( Ai ) P ( B | Ai ) ； （全概率公式）
率，记为 f n ( A) 。
n
蒲丰 德摩根 K．皮尔逊 K．皮尔逊 4040 2048 12000 24000
nA
2048 1061 6019 12012
fn
0.5069 0.5181 0.5016 0.5005
以上试验特点：（1）频率具有随机波动性; （2）n增大，频率呈现出稳定性。
概率的统计定义：
Ak 发生，即 A1, A2 ,, An 同时发生。
n
（5）若 AB ，称 A 与 B 互不相容，即 A 与 B 不能同时 发生。
AB （6）若 ，称 A 与 B 对立，记为 A B, B A。 A B