概率论第一章

第一章 随机事件与概率

1．从0,1,2,,9十个数字中，先后随机取出两数，写出下列取法中的样本空间：

(1)放回时的样本空间1Ω

(2)不放回时的样本空间2Ω 解：

(1)

100 01 02 0910 11 12 1990 91 92 99⎧⎫⎪⎪⎪⎪Ω=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭，(2)201 02 03 0910 12 13 1990 91 92 98⎧⎫⎪⎪⎪⎪Ω=⎨⎬

⎪⎪⎪⎪⎩⎭ 2.一个袋内装有４个白球和５个红球，每次从袋内取出一球，直至首次取到红球为止。写出下列两种取法的样本空间： (1)不放回时的样本空间1Ω

(2)放回时的样本空间2Ω

解：(1)Ω１＝{红，白红，白白红，白白白红，白白白白红｝

(2)Ωn 个

２＝｛红，白红，，白白白红｝

5.设样本空间{0,1,2,,9},A Ω=事件＝{2,3,4},B={3,4,5},C={4,5,6}，求： (1)

A

B

(2)

()

A

B C

解：(1) {2,3,4,5}

A

B A

B A

B ===

(2)

()(){4,5}

{0,1,5,6,7,8,9}{4,5}

{0,1,4,5,6,7,8,9}A

B

C A BC A ====

11.小何买了高等数学、高等代数、解析几何、和大学英语四本书放到书架上，问各册自左向右或自右向左排列恰好是上述次序概率。

解：

214!12P ==

15.在整数0-9中，任取4个，能排成一个四位偶数的概率。

解：4105040n A ==，3112

94882296k A C C A =+= 22960.465040k p n ∴=

==

14. 设n 个人排成一行，甲与乙是其中的两个人，求这n 个人的任意排列中，甲

与乙之间恰有r 个人的概率。如果n 个人围成一圈，试证明甲与乙之间恰有r

个人的概率与r 无关，都是1

1n -（在圆排列中，仅考虑从甲到乙的顺时针方向）。

解：(1)基本事件数为!n ，设甲排在第i 位，则乙排在第i+r+1位，1,2,,1i n r =--，共1n r --中取法，其余n-2个位置是n-2个人的全排列，有（n-2）!种，甲乙位

置可调换，有12C 种，故有利事件数由乘法原理有12C （n-r-1）(n-2)!，由古典概型的计算公式，得

1

22(1)(1)C n r P n n --==

-（n-r-1）(n-2)!n! 甲乙相邻的概率为：

12(1)!2!C n P n n -==

另解１：先固定甲，有n 种，再放置乙，有n-1,基本事件数有(1)n n -,有利事件

数为2(n-r-1).故有

2(1)(1)n r P n n --=

-

另解2:先在甲乙之间选出r 个人，然后将甲乙与这r 个人看成一个整体与剩下的n-r-2个人作全排列.

212212(1)!(1)r n r n n r A A A n r P n n n -------==

-

(2)环排列：甲乙按顺时针方向排列，中间相隔r 个人的基本事件数是 n 个位置取

2个人的排列，共有2n A 种，而甲的位置选取有n 种选法，故由古典概型的计算有

21

1n n P A n =

=-

甲乙相邻的情形：设甲乙合一个位置，甲乙可互换，则甲乙相邻有2(2)!n -种排

列，故

2(2)!2(1)!1n P n n -==

--. 另解：一圈有n 个位置，甲占一个后，乙还有n-1个，与甲相邻的共2个,故21P n =

-(只考虑乙)

16.口袋内有2个伍分,3个贰分,5个壹分的硬币,任取其中5个,求总值超过一角的概率.

解: 基本事件数为5

10252n C ==,有利事件数为

1) 2个伍分,其他任意,有232856C C = 2) 1个伍分,2个贰分:12223560C C C = 3) 1个伍分,3个贰分: 131

23510C C C =

故56601012522k P n ++===

17:箱中有α个白球和β个黑球,从其中任意地接连取出k+1(1k αβ+≤+)球,如果每次取出后不放回,试求最后取出的是白球的概率. 解:令{1()}A k =+第次最后取出的是白球,则

+1

+1+(+1)!

(+1)!

(A)=

(+)!A +(+1)!k

A k P k ααβαβαβα

ααβαβαβαβ----==

--1

k C

另解:只考虑第k+1次取球的情况,显然每个球都可能排列在第k+1个位置,基本事件数为αβ+,有利于A 的基本事件数为α,故

()P A ααβ=

+

18.一架电梯开始有6位乘客并等可能地停于10层楼的每一层，求下列事件的概

率：

(1)某一层有两位乘客离开。

(2)没有两位及两位以上乘客在同一层离开。 (3)恰有两位乘客在同一层离开。 (4)至少有两位乘客在同一层离开。 解：

(1) 某有2位乘客离开，6个乘客选2名有26C 种选法，其余4人在其余9层下有49种，故共有：

2466910C p =

(2) 没有2人或2人以上的乘客在同一层离开，即只有一个人在某层离开，从而

610

6

10A P = (3) 恰好有2位乘客在同一层离开

基本事件数为610n =.考虑有利事件数，“有2位乘客在同一层”种数为12106C C ，其余4人有以下几种情况

a) 其余9层，4个人单独在某层下，有4

9A 种。 b) 4人一起在其余9层中的某层下，有19C 种。 c) 9层中的某层下3人，其余8层下1人，共有131

948C C C

所以1241131

106999486[]10C C A C C C C P ++=

(4) 为(2)的逆事件，从而

610

6

110A P =- 19．一列火车共有n 节车厢，有k n ≥个旅客上火车并随意地选择车厢，求每一节车厢内至少有一个旅客的概率。