函数的最大值和最小值(PPT课件)

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第四章
例1 求函数
的极值 .
解: 1) 求函数的定义域为 ( ,)
x 1 3 x 3) 令 f ( x) 0 , 得 x1 1; 而 x2 0, f ( x) 不存在
2) 求导数 f ( x) 1
3 2 13 x 2 3
令f ( x) 0可得x1 3, x2 1. 因为求的是函数 f ( x)
在区间[2, 2] 上的最值，所以舍去 x1 3.
计算函数在驻点和区间端点处的函数值得：
f (1) 12, f (2) 5, f (2) 15
3 2 所以函数 f ( x) x 3x 9x 7 在区间[2, 2] 上的
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第四章
例2 求函数
的极值 .
解: 1) 求导数
f ( x) 6 x ( x 2 1) 2 ,
f ( x) 6 ( x 2 1)(5 x 2 1)
2) 求驻点 令 f ( x) 0 , 得驻点 x1 1, x2 0 , x3 1 3) 判别 因 f (0) 6 0 , 故 为极小值 ;
导数左负右正，是极小值点，即为最小值点 . V Vr 此时 h 2 3 2r ， 即高与底面直径相等. r r
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第四章
练习
用边长为 48cm 的正方形铁皮作一个无盖铁盒，问 在四周截去多大的四个相同的小正方形后，才能使所作的 铁盒容积最大？
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第四章
第四节 函数的极值与最值
函数的极值 函数的最值
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第四章
一、 函数的极值 定义：
在其中当
(1) 则称 称 为
时,
的极大值点 ,
为函数的极大值 ; 为 的极小值点 , 为函数的极小值 .
y
(2)
则称 称
x 1 , x4 为极大值点 x 2 , x5 为极小值点
(3) 比较以上个各函数值， 可知在[-2 ,6] 上
f max f (6) 59,
f min f (3) 22
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第四章
3 2 例2 求函数 f ( x) x 3x 9x 7 在区间 [2, 2] 上的
最大值和最小值。
解: f ( x) 3( x 3)( x 1),
续，且在x0的某邻域内可导(点x0可除外).如果在该邻域内 (1)当x<x0时, f (x0 ) 0 ;当x>x0时, f (x0 ) 0 则x0为 f(x)的极大值点 (2)当x<x0时, f (x0 ) 0 ;当x>x0时, f (x0 ) 0则x0为
f(x)的极小值点
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x 1 , x4 为极大值点
x 2 , x5 为极小值点
x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4
x5 b
x
极值点是单调区间 的分界点
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第四章
函数的极值的判定和求法
驻点
定理1(极值的必要条件) 设函数 f(x) 在点x0处可导，且x0为f(x)的极值点，则
f ( x0 ) 0. 定理2 (判定极值的第一充分条件) 设函数y=f(x)在点x0连
最大值是12，最小值是-15.
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特别:
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第四章
•当
在
内只有一个极值可疑点时,
若在此点取极大 (小) 值 , 则也是最大 (小)值 . •当 在 上单调时, 最值必在端点处达到.
• 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大 值点或最小值点 .
例3 要做一个容积为V的圆柱形罐头筒，怎样设计 才能使所用材料最省？ 解 即表面积最小. 设底半径为r, 高为h，
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第四章
V 则容积 V r h h ， 2 r 总的表面积为
2
2
2
h r
2V S 2 r 2 rh 2 r ，r (0, ) r 2V 2 V 3 S 4 r 2 2 ( 2 r V ) , 得唯一驻点 r 3 , r r 2
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第四章
例1
求函数 在[2 , 6]上的最大值和最小值
解: (1) f ( x) 3( x 2 2x 3) 3( x 1)(x 3)
得驻点为 x1 1,
(2)
x2 3
f (1) 10 f (3) 22 f (2) 3, f (6) 59
o a x1 x2
x4
极 大 点 与 极 小 点 统 称 为 极 值 点
x5 b
x
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第四章
注意 1)函数的极值是函数的局部性质.
2)函数的极值只可能出现在区间的内部； 而最值可能 出现在区间内部也可能出现在端点处. 3) 对常见函数, 在可导点处 取得极值，曲线的切线是 水平的. 但曲线是水平的地方却不一定取得到极值. 可能出现在导数为0或不存在的点. y
(1)求出函数的定义域
(2) 求出导数 f ( x)
(3)求出f ( x)的所有驻点和f ( x)不存在的点 x1， ，x k .
(4)判定每个驻点和导数不存在的点 xi (i 1,2, , k )两 侧(在xi较小的邻域内) f ( x) 的符号，依定理2判定 xi是否为f(x)的极值点.
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第四章
如上图所示 ,当 渐增地经过 时,如果 的符 号由正变负,则函数 在 处取得极大值； 如果 的 符号由负变正 , 则函数 在 处取得极小值 . 注意 , 如 果当 渐增地经过 时 , 的符号并未改变 , 那么函 数 在 处没有极值.
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第四章
求函数极值一般步骤为：

3
4) 列表判别
x ( , 0) f ( x) f ( x)
0
不存在
极大值 0
(0 , 1)

1
0
极小值 1 2
(1, )

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第四章
定理3 (极值存在的第二充分条件)
则 则 注意：
在点 在点
取极大值 ; 取极小值 .
时必须用第一充分条件判断
思考：f1 ( x) x 3在 x 0 处的极值情况
y
又 f (1) f (1) 0 , 故需用第一判别法判别.
1
1
x
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源自文库第四章
二、函数的最大值和最小值
则其最值只能
在极值点或端点处达到.
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第四章
求函数 f ( x ) 在连续区间 [a, b] 上的最值和最值点的一般 步骤： （1）求出 f ( x ) 的驻点和导数不存在的点； （2）计算以上各点的函数值以及 f (a), f (b); （3）比较这些函数值，得出函数 f ( x ) 在 [a, b] 上的最值 和最值点．