拉格朗日插值法与牛顿插值法的比较

拉格朗日插值法与牛顿插值法的比较

[摘 要]在生产和科研中出现的函数是多样的。对于一些函数很难找出其解析表达式。即使在某些情况下，可以写出函数的解析表达式，但由于解析表达式的结构相当复杂，使用起来很不方便。插值法即是解决此类问题的一种古老的、然而却是目前常用的方法，它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。拉格朗日插值法和牛顿插值法则是二种常用的简便的插值法。本文即是讨论拉格朗日插值法和牛顿插值法的理论及二者的比较。

[关键词] 拉格朗日插值 牛顿插值 插值多项式 比较

一、 背景

在工程和科学研究中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数)(x f 在区间],[b a 上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值（即一张函数表）。显然，要利用这张函数表来分析函数)(x f 的性态，甚至直接求出其他一些点上的函数值可能是非常困难的。面对这些情况，总希望根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造某个简单函数)(x P 作为)(x f 的近似。这样就有了插值法，插值法是解决此类问题目前常用的方法。

如设函数)(x f y =在区间],[b a 上连续，且在1+n 个不同的点b x x x a n ≤≤,,,10 上分别取值n y y y ,,,10 。

插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数类Φ中，求一简单函数)(x P ，使

),,1,0()(n i y x P i

i ==

而在其他点i x x ≠上，作为)(x f 的近似。

通常，称区间],[b a 为插值区间，称点n x x x ,,,10 为插值节点，称式i i y x P =)(为插值条件，称函数类Φ为插值函数类，称)(x P 为函数)(x f 在节点n x x x ,,,10 处的插值函数。求插值函数)(x P 的方法称为插值法。

插值函数类Φ的取法不同，所求得的插值函数)(x P 逼近)(x f 的效果就不同。它的选择取决于使用上的需要，常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。本文讨论的拉格朗日插值法与牛顿插值法就是这类插值问题。

在多项式插值中，最常见、最基本的问题是：求一次数不超过n 的代数多项式 n

n x a x a a x P +++= 10)(

使),,1,0()(n i y x P i i n ==，其中，n a a a ,,,10 为实数。

拉格朗日插值法即是寻求函数)(x L n （拉格朗日插值多项式）近似的代替函数)(x f 。相似的，牛顿插值法则是通过)(x N n （牛顿插值多项式）近似的求得函数的值。

二、 理论基础

（一）拉格朗日插值法

在求满足插值条件n 次插值多项式)(x P n 之前，先考虑一个简单的插值问题：对节点

),,1,0(n i x i =中任一点)0(n k x k ≤≤，作一n 次多项式)(x l k ，使它在该点上取值为1，

而在其余点),,1,1,1,0(n k k i x i +-=上取值为零，即

⎩⎨

⎧≠==k

i k

i x l i k 01)( 上式表明n 个点n k k x x x x x ,,,,,,1110 +-都是n 次多项式)(x l k 的零点，故可设

]

1[1110)

())(())(()(n k k k k x x x x x x x x x x A x l -----=+-

其中，k A 为待定系数。由条件1)(=k k x l 立即可得

)

())(()(1

110n k k k k k k k x x x x x x x x A ----=

+-

故 )

())(()()

())(()()(110110n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=

+-+-

由上式可以写出1+n 个n 次插值多项式)(,),(),(10x l x l x l n 。我们称它们为在1+n 个节点n x x x ,,,10 上的n 次基本插值多项式或n 次插值基函数。

利用插值基函数立即可以写出满足插值条件的n 次插值多项式 )()()(1100x l y x l y x l y n n +++

根据条件⎩⎨⎧≠==k i k

i x l i k 01)(，容易验证上面多项式在节点i x 处的值为),,1,0(n i y i =，

因此，它就是待求的n 次插值多项式)(x P n 。

形如)()()(1100x l y x l y x l y n n +++ 的插值多项式就是拉格朗日插值多项式，记为

)(x L n ，即

)

())(()()())(()()

()()()(1101102211n k k k k k k n k k n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x l y x l y x l y x L --------=

+++=+-+- 作为常用的特例，令1=n ，由上式即得两点插值公式

)()(00

10

101x x x x y y y x L ---+

=，这是一个线性函数，故又名线性插值。 若令1=n ，则又可得到常用的三点插值公式

)

)(())(())(())(())(()

)(()(120210221012012010210

2x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ----+----+----=

这是一个二次函数，故又名二次插值或抛物插值。

（二）牛顿插值法

由线性代数知，任何一个不高于n 次多项式，都可以表示成函数

)())((,),)((,,1110100-------n x x x x x x x x x x x x 的线性组合。既可以吧满足插值条件),,1,0()(n i y x P i i ==的n 次插值多项式写成如下形式

)())(())(()(110102010----++--+-+n n x x x x x x a x x x x a x x a a

其中，k a 为待定系数。这种形式的插值多项式称为牛顿插值多项式，记为)(x N n ，即

]

1[110102010)

())(())(()()(----++--+-+=n n n x x x x x x a x x x x a x x a a x N

因此，牛顿插值多项式)(x N n 是插值多项式)(x P n 的另一种表示形式。

设函数)(x f 在等距节点),,1,0(0n k kh x x k =+=处的函数值k k y x f =)(为已知，其中h 是正常数，

称步长。我们称两个相邻点k x 和1+k x 处函数之差k k y y -+1为函数)(x f 在点k x 处以h 为步长的一阶向前差分，记作k y ∆，即k k k y y y -=∆+1

于是，函数)(x f 在各节点处的一阶差分依次为11121010,,---=∆-=∆-=∆n n n y y y y y y y y y 又称一阶差分的差分k k k k y y y y ∆-∆=∆∆=∆+12)(为二阶差分。一般的，定义函数)(x f 在点

k x 处的m 阶差分为k m k m k m y y y 111-+-∆-∆=∆。