2013天津高考数学文科试题及解析

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

文 科 数 学

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第Ⅰ卷

一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{}

|2A x R x =∈≤，{}|1B x R x =∈≤，则A

B =

（A ）(,2]-∞ （B ）[1,2] （C ）[2,2]- （D ）[2,1]-

2．设变量x ，y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-≥⎧⎪

--≤⎨⎪-≤⎩

则目标函数2z y x =-的最小值为

（A ）7- （B ）4- （C ）1 （D ）2 3．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为

(A) 7

(B) 6

(C) 5

(D) 4

4．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件

(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件

5．已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =

(A) 12

-

(B) 1 (C) 2 (D)

12

6．函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上的最小值是

(A) 1- (B) 22

(C)

22

(D) 0

7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212

(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是

(A) [1,2]

(B) 10,2⎛⎤

⎥⎝⎦

(C) 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦

(D) (0,2]

8．设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 (A) ()0()g a f b << (B) ()0()f b g a <<

(C) 0()()g a f b << (D) ()()0f b g a <<

二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 9．i 是虚数单位. 复数(3 + i )(1－2i ) = .

10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为

92

π

, 则正方体的棱长为 . 11．已知抛物线2

8y x =的准线过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该

双曲线的方程为 .

12．在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·

1AC BE =, 则AB 的长为 . 13．如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE =

4, 则弦BD 的长为 .

E

A

14．设a + b = 2, b >0, 则

1||2||a a b

+的最小值为 . 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.

15．(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S x y z =++评价该产品的等级．若4S ≤，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表

（II ）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，

（i ）用产品编号列出所有可能的结果；

（ii ）设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率． 16．(本小题满分13分)在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3

B =

. (Ⅰ) 求b 的值; (Ⅱ) 求sin 23B π⎛

⎫- ⎪⎝

⎭的值.

17． (本小题满分13分) 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，

E ，

F 分别为棱AB ，BC ，11A C 的中点．

（I ）证明：//EF 平面1A CD ； （II ）证明：平面1A CD ⊥平面11A ABB ； （III ）求直线BC 与平面1A CD 所成角的正弦值．

C 1

A 1

B

18．(本小题满分13分)

设椭圆22

221x y a b

+=(

0)a b >>的左焦点为F F 且与x 轴

． （I ）求椭圆的方程；

（II ）设A ，B 分别为椭圆的左、右定点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若

8AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值．

19． (本小题满分14分)已知首项为3

2

的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N , 且234,2,4S S S -成等差数列.

(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 证明13

*)6

1(n n S n S +≤∈N .

20．(本小题满分14分)

设[2,0]a ∈-, 已知函数332(5),03,0(,).2

x f a x x a x x x x x a -+≤+-+>⎧⎪

=⎨⎪⎩