fredholm积分方程

积分方程数值求解
正问题的研究从内容上讲是由原因到 结果，由本质到现象，比较成熟。反问 题则往往是由果求因，由表及里，由现 象到本质，它的研究较正问题的起步和 发展晚一些。可是反问题的研究不仅具 有重大的科学创新意义，而且具有一定 的现象意义和应用价值。
下面我们考虑一类具体的反问题模型，以函数f=f(x) 表示原因，经过算子A的作用产生的结果记为g=g(y)， 即有如下的关系： g=Af 那么，一般而言，已知A及函数f，求解g的问题是正 问题；而由A和g来反推f，或根据f和g来构建A的问题 则为反问题。根据积分的思想，可以将此类问题转化为 积分方程的形式。
了解了几种类型的积分方程各自具有的形 式之后，我们以第一类Fredholm积分方程为例 进行数值求解。第一类Fedholm积分方程广泛 存在于自然科学与工程技术的各个领域中。第 一类Fredholm积分方程一个突出的特性就是 “不适定”性。这一性质就导致了这一类方程 求解的难度增加许多。 所以，在求解这一类方程时，需要明白如 下的问题： 1.积分方程的相关概念； 2 积分方程的不适定性； 3 积分算子的离散化；
, k ( x, s), f ( x) 均为已知，而 y( x) 为未知函数。
从(3)式可以看出， 第二类 Volterra 积分方程和第 二类 Fredholm 积分方程的区别在于积分限，第二类 Volterra 积分方程的积分上限是变量，而第二类 Fredholm 积分方程上限是常量。
5 非线性的 Frdholm 型与 Voltrra 型积分方程， 具有形式如下：
i
3 第一类 Volterra 积分方程，具有形式如下：

x
a
k ( x, s) y(s)ds f ( x), a x b
(3)
就像第一类 Fredholm 积分方程和第二类 Fredholm 积分方程的差别一样， 第一类 Volterra 积分方程和第 二 类 Volterra 积 分 方 程 的 差 别 就 在 于 第 一 类 Volterra 积分方程的未知函数仅出现在积分号内。
y1 yn yn1
y2
k ( x, y ) f ( y )dy k ( x, y ) f ( y )dy
yi1
h h [k ( x, y0 ) f ( y0 ) k ( x, y1 ) f ( y1 )] [k ( x, yi 1 ) f ( yi 1 ) 2 2 h k ( x, yi ) f ( yi )] [k ( x, yn1 ) f ( yn1 ) k ( x, yn ) f ( yn )] 2 h2 (b a) k ( x, ) f ( ) 12 1 h[ k ( x, y0 ) f ( y0 ) k ( x, y1 ) f ( y1 ) k ( x, yi ) f ( yi ) 2 1 h2 (b a) k ( x, yn ) f ( yn )] k ( x, ) f ( ) 2 12 g ( x) [ a, b]
大量的数学物理反问题都可以转化为第 一类Fredholm积分方程的求解问题。针对这一 问题，在这里我们只讨论其数值解法，即方程 的近似求解问题。一般而言，这一类方程都是 不适定的，即具有病态性。所谓病态性（或不 适定性），指解的存在性、唯一性、稳定性三 者之中至少其一不满足。这里主要指解的稳定 性不被满足，即右端数据的微小扰动将导致解 的无穷大变化。因此，我们说这一类方程是病 态的。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy( x) g ( x) K ( x, s)[ y(s)]mds
1
1
(5)
和
y( x) g ( x) K ( x, s)[ y(s)]mds
1
x
(6)
其中，设 g 是定义在 [-1,1] 上的连续函数， K ( x, s) 是定义在 [1,1] [1,1] 上的连续函数， m 是一 个正整数。
一维第一类fredholm积分方程的一般形式为
其中核函数K(x,y)和自由项g(x)为已知函数，f(y) 为未知函数。离散积分方程的数值方法有很多种， 比如可以用复化梯形公式、复化辛普森公式等，这 里我们利用复化梯形公式来进行离散。复化梯形公 式的形式如下： n b h f ( xk ) f (b)] a f ( x)dx 2[ f (a) 2 k 1 下面具体给出复化梯形公式对积分方程的一般 离散过程。
0 x 1
f ( y) e
y
先将该问题离散成Ax=b的形式，可以为其提 供离散的数值解，当n=5时，离散后就生成一 个5阶的矩阵。（附程序）
y ( s) 是未知函数。此类积分方程虽然形式简单，但
其求解却比较困难，所以这类方程在下文将做详细 介绍。
2 第二类 Fredholm 积分方程，具有如下的形 式：
y( x) k ( x, s) y(s)ds f ( x), a x b
a b
(2)
其中 k ( x, s) 称为积分方程的核，f ( x) 称为自由 项， 为参数， , k ( x, s), f ( x) 均为已知，而 y( x) 为 未知函数。 求积分方程(2)的解 y( x) 的数值方法就是在 区间[a,b]的某些点 x (i 1, 2, , n) 上求 y( xi ) 的近似 值 yi ，使得误差 y( xi ) yi 满足精度要求。
积分方程有各种不同的类型，不同类型方程的理 论及解法也有很大差异。这里我们介绍几种常见的 积分方程类型：
1 第一类 Fredholm 积分方程，具有形式如下：

b
a
k ( x, s) y(s)ds f ( x), a x b
(1)
其中核函数 k ( x, s) 和自由项 f ( x) 为已知函数，
yi1 yn1
yi
yn
然后利用梯形求积公式对积分项进行数值积分，即 将 a, b 区间等分为n份，步长为 得到以下式子：
k ( x, y) f ( y)dy
a
b
y1 y0 yi
k ( x, y ) f ( y )dy k ( x, y ) f ( y )dy
4 第二类 Volterra 积分方程，具有如下形式：
y( x) k ( x, s) y(s)ds f ( x), a s x b (4) a
k ( x, s) 为积分方程的核， 其中， 定义在 a s x b 上，
f ( x)
x
为自由项，定义在 a s x b 上， 为参数。
其中i=0,1,2,....,n 得到线性方程组
Afn g n
其中
f n f ( y0 ), f ( y1 ), , f ( yn )

T
g n [ g ( x0 ), g ( x1 ),, g ( xn )]T
1 2 k ( x0 , y0 ) k ( x0 , y1 ) 1 k(x , y ) k(x , y ) 1 1 A h2 1 0 1 k ( xn , y0 ) k ( xn , y1 ) 2
最后对变量x进行离散，将区间 a, b 等分为n份 步长为 同时忽略积分公式误差项：
1 g ( xi ) h[ k ( xi , y0 ) f ( y0 ) k ( xi , y1 ) f ( y1 ) k ( xi , yi ) f ( yi ) 2 1 k ( xi , yn ) f ( yn )] 2

b
a
k ( x, y) f ( y)dy g ( x)
复化梯形公式对积分方程的具体离散过程：

b
a
k ( x, y) f ( y)dy k ( x, y) f ( y)dy k ( x, y) f ( y)dy
y0 y1
y1
y2
k ( x, y) f ( y)dy k ( x, y) f ( y)dy
1 k ( x0 , yn ) 2 1 k ( x1 , yn ) 2 1 k ( xn , yn ) 2
再对上述方程进行数值求解，即可。
例

其中
真解为
1
0
A( x, y) f ( y)dy g ( x)
A( x, y) e xy
e x 1 1 g ( x) x 1