常微分方程初值问题的数值解法60608
常微分方程初值问题的数值解法
1 1 2 1 , 2 p 2
这里有 3 个未知 数， 2 个方程。
存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库 塔格式。注意到，p 1, 1 2 1 就是改进的欧拉法。
Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开
K 2 f ( xi ph, yi phK1 ) f ( xi , yi ) phf x ( xi , yi ) phK1 f y ( xi , yi ) O( h2 )
y( xi ) phy( xi ) O(h2 )
d f ( x, y) dx 首先希望能确定系数 1、2、p，使得到的算法格式有 2阶 dy 精度，即在 yi y( xi ) 的前提假设下，使得 f x ( x, y) f y ( x, y) dx Ri y( xi 1 ) yi 1 O(h3 ) f x ( x, y) f y ( x, y) f ( x, y) y( x )
y( x0 ) y0 yk 1 yk h f ( xk , yk 1 )
, k 0,1,...
隐式欧拉法的求解: 利用迭代的思路进行.
yi 1 yi hf ( xi , yi 1 )
变换为
y
( k 1) i 1
yi hf ( xi , y )
y i 1 K1 K2
1 1 y i h K 1 K 2 2 2 f ( xi , yi ) f ( xi h, yi hK 1 )
步长一定是一个h 吗？
§2 Runge-Kutta Method
第8章-常微分方程初值问题数值解法
一个数值方法。
h
yi1 yi 2 f (xi , yi ) f (xi1, yi1 ) ( 8.5 )
(8.5)式的右端含有未知的yi+1,它是一个关于 yi+1的函数方程,这类数值方法称为隐式方法。相 反地,欧拉法是关于yi+1的一个直接的计算公式， 这类数值方法称为显式方法。
对于欧拉公式，假定 yi y(xi )，则有
得梯形公式（隐式公式）。
例8.1 用欧拉法解初值问题
y y xy2 (0 x 0.6) y(0) 1
取步长h=0.2 ,计算过程保留4位小数 解: h=0.2, f (x, y) y xy2 欧拉迭代格式
yi1 yi hf (xi , yi ) yi hyi hxi yi2
yn
h( yn
2xn ) yn
1.1yn
0.2xn . yn
计算及结果如下.
clear; y=1, x=0, %初始化
y= 1
x= 0
y = 1.1000 x = 0.1000
for n=1:10
y = 1.1918 x = 0.2000
y=1.1*y-0.2*x/y, x=x+0.1,
方程为
y y0 f (x0 , y0 )( x x0 )
当x x1时,得
y1 y0 f (x0 , y0 )( x1 x0 )
这样就获得了P1点的坐标。
P1
P1 P0
Pi+1 Pn Pi
Pi Pi+1
y=y(x) Pn
x0 x1
xi xi+1 xn
同样, 过点P1(x1,y1),作积分曲线y=y(x)的切线
【推荐】数值计算方法：第六章 常微分方程初值问题的数值解法.ppt
计算结果见表6.1
9
6.1.3 改进欧拉公式
这称为改进欧拉公式
10
例6.2 仍取步长h = 0.2，采用改进欧拉法重新计算例 6.1 的
常微分方程初值问题。 解 这时改进欧拉公式为
(计算结果见表6-2)
11
6.1.4 计算公式的误差分析
定义6.1
为该方法的整体截断误差. 如果 则称该方法是收敛的.
第六章 常微分方程 初值问题的数值解法
6.1 欧拉方法 6.2 龙格－库塔方法
1
6.1 欧拉方法 6.1.1 引言
问题的提出
数值求解方法
2
6.1.1 欧拉公式与后退欧拉公式与梯形公式 算法：
3
选择不同的数值积分公式来求 近似值就得到初值问题的各种数值解法
1.欧拉公式
这称为欧拉公式
4
2.后退欧拉公式
12
设单步显式公式的一般形式为 一般地, 微分方程初值问题精确解不满足(6.1.15), 即
定义6.2
称
13
截断误差的估计 设 y(x)C 3 [x0 , b] , 则 （1）对欧拉公式，有局部截断误差
因此，欧拉公式的局部截断误差为 O (h2)
14
（2）对后退欧拉公式，有如下分析： 对(6.1.16)中的积分,用习题五第2题中的右矩形公式, 得 其中
18
定义6.4 若一种求解常微分方程初值问题的数值计算方法 的局部截断误差为 O ( hp+1 ) ，则称该方法为 p阶精度，或称该 方法为 p阶方法。
由此定义知，欧拉方法与后退欧拉方法为一阶精度，梯 形法与改进欧拉方法为二阶精度。
19
6.2 龙格-库塔方法
由中值定理，有
数值分析课件第9章常微分方程初值问题数值解法
上页 下页
设用欧拉公式
y(0) n1
yn
hf
( xn ,
yn )
给出迭代初值 yn(0)1，用它代入(2.5)式的右端，使之转
化为显式，直接计算得
y(1) n1
yn
hf
( xn1 ,
y(0) n1
),
然后再用 yn(代1)1 入(2.5)式，又有
在yn=y(xn)的前提下，f(xn,yn )=f(xn,y(xn))=y(xn).于是
可得欧拉法(2.1)的公式误差为
y(xn1)
yn1
h2 2
y(n )
h2 2
y(xn ),
(2.3)
称为此方法的局部截断误差.
上页 下页
如果对方程(1.1)从xn到xn+1积分，得
y( xn1) y( xn )
基于上述几何解释，我们从初始点P0(x0, y0)出发, 先依方向场在该点的方向推进到x=x1上一点P1，然后 再从P1点依方向场在该点的方向推进到 x=x2 上一点 P2 , 循环前进做出一条折线P0 P1 P2.
上页 下页
一般地，设已做出该折线的顶点Pn,过Pn(xn, yn)依
方向场的方向再推进到Pn+1(xn+1, yn+1)，显然两个顶
(2.13)
校正 yn1 yn 2 [ f ( xn , yn ) f ( xn1, yn1 )] .
或表为下列平均化形式
yp yc
y(2) n1
yn
hf
( xn1 ,
y(1) n1
).
如此反复进行，得
y(k1) n1
计算方法-常微分方程初值问题数值解法-Euler公式-龙格-库塔法市公开课获奖课件省名师示范课获奖课
这么就取得了P1点旳坐标： (x1, y1) 。将y1作为y(x1)旳 近似值(想象(x1, y1) 在积分曲线y=y(x)上)
过点P1(x1,y1)，作积分曲线y=y(x)旳切线交直线x=x2于
P2点。注意切线 P1P2 旳斜率(近似)为 y(x1 ) f(x1 , y1 )
第9章 常微分方程初值问题数值解法
§9.1 引言
➢ 包括自变量、未知函数及未知函数旳导数旳方程称 为微分方程。
➢ 自变量个数只有一种旳微分方程称为常微分方 程。
微分方程中出现旳未知函数最高阶导数旳阶数 称为微分方程旳阶数。
假如未知函数y及其各阶导数
y, y, … , y(n)
都是一次旳,则称其为线性旳,不然称为非线性旳。
xi1 xi1 f[xi , y(xi )]
代入上式,并用yi近似替代式中y(xi)即可得到 两步欧拉公式
yi1 yi1 2hf(xi , yi ) ( 9.7 )
【注】欧拉措施和梯形措施，都是单步法,其特点是 在计算yi+1时只用到前一步旳信息yi; 而两步欧拉公式 (9.7)中除了yi外,还用到更前一步旳 信息yi-1,即调用了前两步旳信息。
当 x xi1 时,得
yi1 yi f(xi , yi )(xi1 xi )
这么,从x0逐一算出 x1 , x2 , … xn
相应旳数值解
y1 , y 2 , … yn
就取得了一系列旳点: P1, P1,…,Pn。 从图形上看,就取得了一条近似于曲线y=y(x)
旳折线 P1P2P3 … Pn 。
xi x0 ih, i 1,2, … , n
数值解法需要把连续性旳问题加以离散化，从 而求出离散节点旳数值解。
第九章常微分方程初值问题的数值解法
当r=0时,称为单步法,这恰好就是欧拉方法.
3 当r =1时,称为二步法,其局部截断误差为 O h .
Adams线性多步法的特点:
r r , 1. 对任意的 j 1
r j 0
2. Adams线性多步法的截断误差的来源是数值积分的截断误差, 而数值积分的截断误差来源于插值误差,因此阿达姆斯方法的 的局部截断误差是 O hr 2 3. Adams线性多步法与Runge-Kutta法比较,R-K每提高一阶精 度至少需要多计算一个函数值;而线性多步法每提高一阶精 度只需多用一个已知的数据,所以从这个角度看计算量较小, 但线性多步法必须在单步法的基础上做. 所以在实际计算时 常常把两者相结合. 13
i
再对右端的积分应用数值积分(用函数值的线性组合来近似积分)
r yi 1 yi h j f xi j , yi j r j 0
12
由于 j 仅与r , j 有关, 而与f , i 无关，所以可以事先制成表。
r
当r =2时,称为三步法,其局部截断误差为 O h
i i
这个方法称二阶泰勒方法
6
2. 梯形方法和改进欧拉方法
xi 1 x i
h y x dx y xi 1 y xi [ f xi , yi f xi 1, yi 1 ] 2 h yi 1 yi [ f xi , yi f xi 1 , yi 1 ] 2
常微分方程初值问题解的存在唯一性定理:
以后我们总假定给出的方程都满足该定理的条件. 微分方程初值问题数值解法的特点： 先把方程离散化,即在区间[a,b ]中插入一些节点(通常采用等 距节点) ba
第6章常微分方程初值问题的数值解法PPT课件
从 而 把 微 分 方 程 问 题 转 化 为 积 分 方 程 问 题
选y(择xi不 1)同 的y(数xi) 值 积x x 分ii 1公f(式x,来y(求x))d xxi1
(6 . 1 . 5 )
f(x, y(x))dx
xi
近似值就得到初值问题的各种数值解法
1.欧拉公式
y
当xi1 xi
f(x,y(x))dxhf(xi,y(xi))
(i0,1, ,n1)
这称为改进欧拉公式
y 0 ( 1 )~ y 1 ( 2 )y 1 ( 1 )~ y 2 ( 2 )y 2 ( 1 )~ y 3 ( 2 )y 3 ~ y N ( 2 )y N
11
例6.2 仍取步长h = 0.2，采用改进欧拉法重新计算例 6.1 的
常微分方程初值问题。
(1 ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 )
y 1 (0 ) y 2 (0 ) y 2 (1 ) y 2 (2 ) y 2 (3 ) y 2 (k ) y 2 (k 1 )
迭代计 k,使 算 |y 得 i(到 k1 )yi( k 某 1 1)|个 时 ,取 yi( k1 )作为
值 y(xi 1)的近 yi 1似值
第六章 常微分方程 初值问题的数值解法
6.1 欧拉方法
6.2 龙格－库塔方法
整体概述
概述一
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2
6.1 欧拉方法 6.1.1 引言
问题的提出
求 初 值 问 题 y y(x 0)f (xy,0y) x[x0,b] 的 数 值 解
【精选】第8章 常微分方程初值问题的数值解法
3
8.1 基础知识
二、数值解法（续）
另一种分类方法为：
⑴ 显式方法：递推公式的右端都是已知量，可以直接计算出递推的结 果，递推格式为：yk=yk-1＋hT(xk-r,yk-r,xk-r+1,yk-r+1,……, xk-1,yk-1) ⑵ 隐式方法：递推公式左端的未知量也出现在公式的右端，递推格式 为： yk=yk-1＋hT(xk-r,yk-r,xk-r+1,yk-r+1,……, xk,yk) 隐式方法的递推公式其实是一个方程。解方程的运算量可能较大，为避免 解方程，常采用预测—校正系统。
⑶ 预测—校正系统：每一轮递推包括预测和校正这2个步骤。先用显式方 法计算出yk，作为迭代的初值，这一过程称为预测；再把隐式方法的递推 公式作为迭代公式，把预测值yk代入迭代公式右端进行迭代，这一过程称 为校正。在校正时往往迭代1次或几次，校正值的精度就会有大幅提高。 一阶常微分方程初值问题的数值解法一般是对连续的初值问题进行离散化 处理，把微分方程转化为代数方程来求解。常用的离散化方法有： ⑴ 基 于数值微分的离散化方法，⑵ 基于数值积分的离散化方法，⑶ 基于泰勒 展开的离散化方法。
一阶常微分方程初值问题的数值解法有多种分类方法。 一种分类方法为： ⑴ 单步法：每一轮递推只用到前面一轮的递推结果，递推格式为： yk=yk-1＋hT(xk-1,yk-1) ⑵ 多步法：每一轮递推要用到前面多轮递推的结果，递推格式为： yk=yk-1＋hT(xk-r,yk-r,xk-r+1,yk-r+1,……, xk-1,yk-1)，其中r＞1。
dy f (x, y) , a x b dx y(x0 ) y0
常微分方程初值问题的数值解法
常微分方程初值问题数值解法初值问题：即满足初值条件的常微分方程的解y′=f(x,y),x∈[x0,b]y(x0)=y0.定理1（利普希茨条件）若存在正数L，使得对任意，y1，y2，有|f(x,y1)−f(x,y2)|≤L|(y1−y2)|定理2（解存在性）①若函数f在方区域x∈[a,b],y∈R连续，②函数f关于y 满足利普希茨条件，则对任意x∈[a,b]，常微分方程存在唯一的连续可微数值解.两类问题：①单步法---计算下一个点的值yn+1只需要用到前面一个点的值yn②多步法---计算下一个点的值yn+1需要用到前面l个点的值yl1、欧拉法---下一个点的计算值等于前一个点的计算值加上步长乘以前一个点的函数值•具体过程一些批注：显式欧拉方程指下一步要计算的值，不在迭代方程中；隐式欧拉方程指下一步要计算的值，在迭代方程中。
怎么计算隐式欧拉方程----要借助显示欧拉迭代计算---一般用迭代法-----迭代---将微分方程在区间[xn,xn+1]进行积分，然后函数f进行近似，即可得到迭代方程-----迭代方程收敛性？由函数关于y满足利普希茨条件，可以推出迭代公式收敛。
•局部截断误差：假设前n步误差为0，我们计算第n+1步的误差，将次误差称为局部截断误差，且局部误差为O(hp+1)•p阶精度：由理论证明：若局部误差阶的时间复杂度为O(hp+1)，则整体误差阶为O(hp)我们称公式精度为p。
•显示欧拉法与隐式欧拉法•梯形方法----将显式欧拉迭代方程与隐式欧拉迭代方程做一下加权平均，构造的计算公式.•改进的欧拉方法---思想：因为梯形公式是隐式公式，将显式欧拉公式对下一步的计算值进行预估，用梯形公式对下一步的计算值进行校正.2、龙格-库塔方法思想：根据Lagrange中值定理，下一次的计算值可以用前一次的计算值加上h乘以前一个点的斜率；而这个斜率用该区间上的多个点的斜率的算数平均来逼近。
注意：怎么计算任意斜率Ki？第i个点的斜率Ki有微分方程可以算出f′=f(xn,yn)所以要算的f(xn,yn)值，由欧拉法即可算出, yn+1=yn+hf′•2阶-龙格-库塔方法----类似改进的欧拉法根据Lagrange中值定理，下一次的计算值可以用前一次的计算值加上h乘以斜率；而这个斜率用区间上的端点和中点的斜率的算数平均来逼近。
07_常微分方程初值问题的数值解法.doc
第九章 常微分方程初值问题的数值解法第一部分 内容提要一、数值解的一般概念常微分方程初值问题00'()(,)()y x f x y y x y =⎧⎨=⎩的数值解是指通过一定的近似方法得出准确解()y y x =在一列离散点012,,,,,n x x x x 上的近似值012,,,,,n y y y y 。
数值解的特征是步进式，即()y x 在1n x +点的近似值1n y +是由1,,n n x x -等若干点处的近似值1,,n n y y -的信息给出的递推公式。
若1n y +依赖于前面k 步的值11,,,n n n k y y y --+，则称为k 步法；1k =称为单步法。
利用()y x 在11,,,n n n k x x x --+的精确解11(),(),,()n n n k y x y x y x --+借助某种算法计算出1n y +，则称11()n n y x y ++-为该方法的局部截断误差。
如果一个算法的局部截断误差是1()p O h +，则称该方法是p 阶的；而利用数值解11,,,n n n k y y y --+得到的1n y +与微分方程的精确解之差11()n n y x y ++-称为整体截断误差，即是该数值方法的误差。
对于固定的0x x >，取0x x h n-=，用某种算法得到n y ，如有lim ()n h y x y →-=0，则称该方法是收敛的。
注意，因x 是固定的，随着0h →，数值解的步数n →∞。
在实际计算时由于舍入误差不可避免，实际得到数值解是n y ，稳定性即研究n n y y -是否随着计算步骤n 的增加而增加。
通常所提的稳定性是通过模型方程(0)y y λλ'=<来讨论的。
若当某一步n y 有舍入误差时，在以后的计算中误差不会逐步扩大，则称这种稳定性为绝对稳定性。
二、简单单步法及其收敛性、稳定性Euler 法1(,)n n n n y y hf x y +=+的局部截断误差为2()O h ，整体截断误差为()O h ，即一阶收敛。
计算方法课件第八章常微分方程初值问题的数值解法
整体截断误差与局部截断误差的关系
定理：如果f(x，y)满足李普希兹（Lipschitz）条件
f(x ,y 1 )f(x ,y 2) L y 1y 2
且局部截断误差有界：
|R n|1 2h2M 2
(n1,2, )
则Euler法的整体截断误差n满足估计式：
ne(ba)L 0h 2L M 2(e(ba)L1)
分光滑。初值问题的解析解(理论解）用 y(x表n ) 示, 数值解法的精确解用 y表n 示。
常微分方程数值解法一般分为：
（1）一步法：在计算y n 1 时，只用到x n 1 ,x n和 y，n 即前一步的值。
（2）多步法：计算 y n 1 时，除用到 x n 1 ,x n 和 y n 以外，还要用 x n p 和 y n p (p1 ,2 k;k0) ,即前
其中L为李普希兹常数，b-a为求解区间长度，
M2 mayx(x) 。 axb
证明参见教材。
Remark：该定理表明，整体截断误差比局部截 断误差低一阶。对其它方法，也有类似的结论。
收敛性与稳定性
收敛性定义：如果某一数值方法对于任意固定的
xn=x0+nh，当h0(同时n )时有yn y(xn)，
则称该方法收敛。 稳定性定义 定义 用一个数值方法，求解微分方程初值问 题时，对给定的步长h>0，若在计算 y n 时引入 误差 （n 也称扰动），但由此引起计算后面的 ynk(k1,2, )时的误差按绝对值均不增加，则 称这个数值方法是稳定的。
一般的显式rk方法可以写成型钢截面只需少量加工即可用作构件省工省时成本低但型钢截面受型钢种类及型钢号限制难于完全与受力所需的面积相对应用料较多其中为常数选取这些常数的原则是要求第一式的右端在处泰勒展开后按h型钢截面只需少量加工即可用作构件省工省时成本低但型钢截面受型钢种类及型钢号限制难于完全与受力所需的面积相对应用料较多上述公式叫做n级的rungekutta方法其局部截断误差为显然euler法是一级一阶rk方法
常微分方程初值问题的的数值解法
本章讨论常微分方程初值问题的数值解法
2
考虑一阶常微分方程的初值问题
⎧ dy ⎪ = f ( x, y ) ⎨ dx ⎪ ⎩ y (a ) = y0
x ∈ [a, b]
只要 f (x, y) 在[a, b] × R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条 件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使对任意x∈[a, b] ，和y1， y2 ∈ R1 都有 | f ( x, y1) − f ( x, y2 ) | ≤ L| y1 − y2 | 在唯一解。 成立， 则上述问题存
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ y n +1 = yn + hf ( xn , yn ), h yn +1 = yn + [ f ( xn , yn ) + f ( xn +1 , y n +1 )] 2
改进的Euler方法：y0=1,
y1=y0+hf (x0, y0) =1.1, y1=1+01./2 ×[(1−2 ×0/1)+(1.1−2 ×0.1/1.1)] =1.095909, …… y11=…… y11=1.737869.
1 yn +1 = yn + h[ f ( xn , yn ) + f ( xn +1 , yn +1 )] 2
12
称之为梯形公式。这是一个隐式的计算公式，欲求的yn+1需 解一个方程。
3．截断误差
定义 在假设 yn = y(xn)，即第 n 步计算是精确的前提下，考 虑的截断误差 εn+1 = y(xn+1) − yn+1 称为局部截断误差
⎧ y n +1 = y n + k1 ⎨ ⎩k1 = hf ( xn ,y n )
第九章常微分方程初值问题的数值解法ppt课件
y ( xi 1 )
y(
xi ) hf
hr f r!
(
xi
,
y(
xi
))
h2 2
(r1) (xi , y(xi ))
f (xi ,
O(h r 1
y(
)
xi
))
yi1
yi
hf
(xi ,
yi )
h2 2
f (xi , yi )
hr r!
f
(r1) (xi , yi )
式中的 f (r1) (xi , yi ) 可利用原有关系 y(x) f (x, y) ，
例 1 用欧拉方法和改进的欧拉方法对初值问
题
y y(0)
y 1
2x y
，取
h
0.1，在区间
0,1
上计算。
解 首先节点为 xi 0 ih 0.1i （i 0,1,2, ,10 ），其中
h
1 0 10
0.1 ，由欧拉方法的公式得
因为假定 f (x, y) 充分光滑，所以它满足李普希兹 条件，即存在正常数 L 使
f (xm, y(xm)) f (xm, ym) L y(xm) ym
并记 em y(xm ) ym ，这样就得到
em1 Rm (1 hL) em (9.13)
把截断误差 em y(xm ) ym 就称为第 m 步的整体截断 误差。
令
i1
yi1
y* i 1
(9.17)
其中,
y* i1
是
yi
1
的近似值，若
i
1
不大，则
y* i1
可以
作为 y(xi1) 的近似值，若 i1很大，yi*1 就不能用。
常微分方程初值问题的数值解法
常微分方程初值问题的数值解法在实际应用中，对于某些微分方程，我们并不能直接给出其解析解，需要通过数值方法来求得其近似解，以便更好地理解和掌握现象的本质。
常微分方程初值问题（IVP）即为一种最常见的微分方程求解问题，其求解方法有多种，本文将对常微分方程初值问题的数值解法进行较为详细的介绍。
一、欧拉法欧拉法是最基本的一种数值解法，它采用泰勒级数展开并截断低阶项，从而获得一个差分方程近似求解。
具体来讲，设 t 为独立变量，y(t) 为函数 y 关于 t 的函数，方程为：$$y'(t) = f(t, y(t)), \qquad y(t_0) = y_0$$其中 f(t,y(t)) 为已知的函数，y(t_0) 为已知的初值。
将函数 y(t) 进行泰勒级数展开：$$y(t+h) = y(t) + hf(t, y(t)) + O(h^2)$$其中 h 表示步长，O(h^2) 表示其他高阶项。
为了使误差较小，一般取步长 h 尽可能小，于是我们可以用欧拉公式表示数值解：$$y_{n+1} = y_n + hf(t_n, y_n), \qquad y_0 = y(t_0)$$欧拉法的优点是容易理解和实现，但是由于截取低阶项且使用的单步法，所以误差较大，精度较低，在具体应用时需要慎重考虑。
二、龙格-库塔法龙格-库塔法（Runge-Kutta method）是一种多步法，比欧拉法更加精确。
龙格-库塔法的主要思想是使用不同的插值多项式来计算近似解，并且将时间步长分解，每次计算需要多次求解。
以下简要介绍二阶和四阶龙格-库塔法。
二阶龙格-库塔法将时间步长 h 分解成两步 h/2，得到近似解表达式：$$\begin{aligned} k_1 &= hf(t_n, y_n)\\ k_2 &= hf(t_n+h/2,y_n+k_1/2)\\ y_{n+1} &= y_n+k_2+O(h^3)\\ \end{aligned}$$四阶龙格-库塔法四阶龙格-库塔法是龙格-库塔法中应用最为广泛的一种方法，其需要计算的中间值较多，但是具有更高的精度。
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5.2Adams方法
显式Adams方法 隐式Adams方法
5.3预测-校正方法
y(0)n+1 = yn + h f(tn,yn)
(5.20)
y n+1 = (1/2)[y(0)n+1 + yn + hf(tn+1, y(0)n+1 )] (5.21)
n = 0,1,2,…N-1 ; y0= η
定理4 若Ф(t,y,h) 对于 a ≤t ≤ b, 0 ≤ h≤ h0以及一 切实数y，关于t,y,h满足Lipschitz条件，则单步 法(4.1)是稳定的。
定义4 对给定的微分方程和给定的步长h，若有
单步法（显式或隐式）计算yn时有大小为δ的误
差，即计算得yn` = yn + δ,而引起其后值ym(m>n)
(5.20)起预测y n+1 的作用， (5.21)起校正作用。 记f(i)n=f(tn,y(i)n).用P表预测过程，C表校正过程，E表计 算f的过程
P: y(0)n+1 = yn + hfn, E: f(0)n+1 = f(t n+1 , y(0)n+1 ) C: y n+1 = yn + (h/2)(fn+f(0)n+1)
5.4Hamming方法
Milne方法 建立线性多步法的待定系数法 Hamming方法
7线性多步法的相容性、收敛性和稳定 性
定义1 若求解初值问题(1.1)的线性k步法(5.1)至少是一阶 方法，则称他们是相容的。 记 ρ(λ)= αk λk+ αk -1 λk-1+…+ α1 λ + α0， σ(λ)= βk λk+ βk-1 λk-1+…+ β1 λ + β0。 他们由线性k步法(5.1)完全确定。反之，若给定了ρ(λ)和 σ(λ)，则他们唯一确定一个线性k步法。我们称ρ(λ)为线 性k步法(5.1)的特征多项式。
L是Ф(t,y,h) 关于y 满足Lipschitz条件的Lipschitz 常数。
4.3稳定性
定义3如果存在常数h0及C ,使得对任意的初始值 y0,y0 `,单步法(4.1)的相应的精确解yn,yn `,对所有 的0<h ≤h0,恒有
| yn - yn ` | ≤C| y0 - y0 ` |, nh ≤ b-a, 则说单步法(4.1)是稳定。
定理 1线性k步法(5.1)相容的充分必要条件是 ρ(1)=0， ρ`(1)= σ(1)，
7.2收敛性
定义2假设f(t,y)在R = {(t,y)|a ≤ t ≤ b, -∞ ≤u ≤ +∞ } 中连续 ，且关于y满足Lipschitz 条件。若对任意 的 t ∈[a,b],但t →0,而a+nh=tn=t 固定时，(5.1) 的解yn收敛于问题(1.1) 的解y(t)，则说线性k步 法(5.1)是收敛的。
定理2 若线性k步法(5.1)是收敛，则必相容。
7.3稳定性
定义3 若f(t,y)在R = {(t,y)|a ≤ t ≤ b, -∞ ≤u ≤ +∞ }中连续 ，
且关于y满足Lipschitz 条件。若存在正常数C和h0，使得
当0<h<h0 时线性k步法(5.1)的任意两个yn和yn`满足不等
常微分方程初值问题的数值解法60608
改进的Euler法
解初值问题的梯形计算公式
yn+1 = yn +(h/2)[f(tn,yn) + f(tn+1,yn+1)], n =0,1,2,…N-1 (3.8)
y0 = η; h = (b-a)/N
局部离散误差为Rn = -(h3/12)y```(ξn) y(0)n+1 = yn + h f(tn,yn) , y n+1 = (1/2)[y(0)n+1 + yn + hf(tn+1, y(0)n+1 )]
E: fn+1 = f(t n+1 , yn+1 )
重复迭代P,E ,C t次可提高精度。
通常，把Adams隐式和 显式方法联合使用， 构成预测-校正方法。
预测公式： y(0)n+1=yn+h[β k0fn+βk1fn-1+…+ βkkfn-k) 校正公式： y(i+1)n+1=yn+h[β*k0fn+β*k1fn-1+…+ β*kkfn-k)
的变化小于δ(| 对稳定的。
ym
-
ym
`
|<|
δ
|
),则说单步法是绝
一般限于 y` = μ y (4.20)
考虑数值方法的绝对稳定性， μ为复常数，若对 于所有μh ∈(α,β),单步法都绝对稳定，称(α,β)为 绝对稳定区间。
5多步法
5.1线性多步法
y` = f(t,y), a ≤ t ≤ b y(a) = η (1.1)
n = 0,1,2,…N-1
(3.10)
二阶Runge-Kutta 方法
m阶Runge-Kutta 显式方法
Richardson外推法
4单步法的相容性和稳定性
相容性 收敛性 稳定性
yn +h Ф(tn,yn,h),n = 0,1,2,…N-1, y0 = η, (4.1)
定理2 若Ф(t,y,h) 对于 a ≤ t ≤ b, 0 ≤ h≤ h0以及一切实数y， 关于t,y,h满足Lipschitz条件，则单步法(4.1)收敛的充分 必要条件是相容条件成立，即Ф(t,y,0) = f(t,y) .
定理3 在定理2 的假设下，单步法(4.1)的局部离 散误差满足(4.13), 则其整体离散误差误差 εn=y(tn)-yn满足估计式 | εn| ≤ e L(b-a)| ε0| +hpM(e L(b-a) –1)/L
定义1
Ф(t,y,0) = f(t,y)
(4.3)
成立，则称单步法与微分初值问题(1.1)相容， (4.3)为相 容条件。
定理一 假设 Ф (t,y,0)关于h是连续的，若单步法与微分 初值问题(1.1)相容，则它至少是一阶方法。
4.2收敛性
定义2 假设微分方程(1.1)的右端函数f(t,y)在带形区域内 R = {(t,y)|a ≤ t ≤ b, -∞ ≤u ≤ +∞ }中连续 ，且关于y满足 Lipschitz 条件。若对所有的 t ∈[a,b], limh →0 tn = t固定 yn = y(t) 则称单步法是收敛的。