线性系统的时域分析法
线性系统的时域 分析法
证明：对负反馈控制，根据特征方程1+G(s)H(s)=0
m
Kr (s zi )
G(s)H (s)
i 1 n
1
(s pj)
j 1
n
m
(s p j ) Kr (s zi ) 0
4.1.1 根轨迹的定义
所谓根轨迹就是当开环系统的某个参数从0→+∞变化时，闭环系
统特征根（闭环极点）在s复平面上移动所形成的轨迹。
例4-1 控制系统结构如图所示，其开环传递函数为
试绘出当Kr 从0→+∞变化时的根轨迹。
G(s)H (s)
Kr
(s 1)(s 2)
R(s)
-
Kr
C(s)
(s 1)(s 2)
▪ 1948年，伊万斯（Evans）根据反馈控制系统中开、闭环传递 函数之间的关系，首先提出了一种根据开环传递函数的零、极 点分布，用图解方法来确定闭环传递函数极点随参数变化的运 动轨迹，这种方法被称为根轨迹法。
▪ 轨迹法是一种图解的方法，具有直观、形象的特点，且可以避 免繁琐的计算，故在控制工程领域中获得了广泛地应用。
jω
Kr=4.25
2
Kr=0.25 Kr=0
-2
Kr=1.25 Kr=0 -1
Kr=1.25
1
0
σ
-1
Kr=4.25
-2
4.1.2 根轨迹与系统性能
1. 稳定性
当Kr 从0→+∞变化时，显然，由上图可知，闭环系统的根轨迹均在s平 面的左半平面，故系统对所有大于0的Kr 值都是稳定的。如果系统根 轨迹越过了虚轴而进入右半s平面，则在相应Kr 值下系统是不稳定的， 其中根轨迹与虚轴交点处的Kr 值，一般称为临界根增益。
数字信号处理线性系统的时域分析法
a0>0
ai(i=0,1,2,…n)>0
(2)劳思稳定判据 1)劳思表
cij=
i---列；j---行
ci+1.j-2 c1.j-2 ci+1.j-1 c1.j-1
c1.j-1
稳定充分必要条件 C1,j >0 (j=0,1…n+1)
Sn
a0
a2
a4
a6
…
Sn-1
a1
a3
a5
a7
…
Sn-2
0
s0
-4
-7
-4
-4
0
-4
0 (dF(s)/d(s)=0 系数)
由于劳思表第一列数值有一次符号变化,故系统不稳定,且 有一个正实部根.其特征根是±2, ±j,(-1±j√3)/2
辅助方程:F(s)=s4-3s2-4=(s2-4)(s2+1)=0
3)劳思稳定判据的应用 例:设比例-积分(PI)控制系统如图所示.其中,K1为与积分器
r k 1
Ck Bkkk k 1 k2
e k k t
sin(
k
1 k2 )t
t0
特征根实部
0
lim
k(t)
t
c或振荡
全负
稳定
1个为正
不稳定
1个为零其余为负 临界稳定
r(t)
0
t
j
s
× ××
×× × 0
× ××
特征根全部位于左半S平面
c(t)
0
t
c(t)
0
t
c(t)
0
t
稳定判据
设: D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0
线性系统的时域分析法二阶系统
04
二阶系统的稳定性分析稳定性定义平衡状态
线性系统在平衡状态下的输出称为平衡状态输出。
稳定性
如果一个系统的平衡状态输出对于所有初始条件和输入都是稳定的，则称该系统是稳定 的。
稳定性判据
劳斯-赫尔维茨判据
数值法
数值法是通过数值计算来求解二阶系 统的方法。它通过将时间轴离散化， 将微分方程转化为差分方程，然后使 用迭代或直接计算的方法求解。
数值法具有简单易行和适用性广的优 点，适用于各种类型的二阶系统。但 是，对于某些特殊类型的系统，数值 法可能存在精度和稳定性问题。
实验法
实验法是通过实际实验来测试二阶系统的方法。它通过在系统中输入激励信号，然后测量系统的输出 响应，从而得到系统的性能参数。
线性系统的时域分析 法二阶系统
目录
CONTENTS
• 线性系统的时域分析法概述 • 二阶系统的基本概念 • 二阶系统的时域分析方法 • 二阶系统的稳定性分析 • 二阶系统的性能指标分析 • 二阶系统的应用实例
01
线性系统的时域分
析法概述
定义与特点
定义
时域分析法是一种通过在时间域 内对系统进行直接分析的方法， 用于研究系统的动态性能和响应 特性。
通过计算系统特征方程的根来判断系统 的稳定性。如果所有根都位于复平面的 左半部分，则系统稳定；如果有根位于 右半部分，则系统不稳定。
VS
Nyquist稳定判据
通过绘制系统的开环传递函数的Nyquist 曲线，判断曲线是否不穿越复平面的右半 部分，从而判断系统的稳定性。
稳定性分析方法
直接法
线性系统的时域分析法
三、动态性Leabharlann 和稳态性能动态性能：通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动
态性能。一般认为阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。
描述稳定的系统在阶跃函数作用下，动态过程随时间的
变化状况的指标称为动态性能指标。通常包括：
延迟时间 td ：指响应曲线第一次到达稳态值一半所需的时间。
上升时间 tr ：指响应第一次 h(t) % 误差带
洛比特法则
lim lim
(s pi )N (s)
(s pi )N (s) N (s) N ( pi )
s pi
D(s)
s pi
D(s)
D( pi )
f (t) L1
F (s)
L1
n i1
Ai s pi
n i 1
Aie pi t
② 具有多重极点的有理函数的反变换
F (s)
误差平方积分(ISE，Integral of Square Error)
ISE e2 (t)dt 0
( e(t)是输入输出之间存在的误差)
时间乘误差平方积分(ITSE，Integral of Timed Square Error)
ITSE te2 (t)dt 0
误差绝对值积分(IAE，Integral of Absoluted Error)
(s a
j)F (s) sa j
N (s) D(s)
sa j
k1
e j
思考：为何 k1，k2 必为共轭复数？
f
(t)
L1 F (s)
L1
s
A1 p1
k1 sa
j
k2 sa
j
A1e p1t
k1e(a j)t
线性系统的时域分析法和误差计算
单位脉冲响应 [R(s)=1]
C(s) 1 Ts1
h(t) 1/T
它恰是系统的闭环传函，这
0.368/T
时输出称为脉冲（冲激）响应 函数，以h(t)标志。
h(t)C脉冲 (t)T1eTt
0.135/T
0.05/T
0 T 2T 3T
t
求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于
系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。
时域分析法， 根轨迹法， 频率法 非线性系统：描述函数法，相平面法
采样系统： Z 变换法
多输入多输出系统： 状态空间法
§3-1 线性系统时间响应的性能指标
动态性能，静态性能。 动态性能需要通过其对输入信号的响应过程来评价。因此在分 析和设计控制系统时，需要一个对系统的性能进行比较的基准--典型输入信号。条件：1 能反映实际输入；2 在形式上尽可能简 单，便于分析；3 使系统运行在最不利的工作状态。
０T
0.95 0.982
响应曲线在[0，） 的时间区间中始终不会
超过其稳态值，把这样
2T 3T 4T
的响应称为非周期响应。 t 无振荡
c(t)
1.0 0.865
t
c( t)1eT
0t
0.95 0.982
一阶系统响应具备两个 重要的特点： ①可以用时间常数T去度量
0.632
系统输出量的数值。
②响应曲线的初始斜率等于
c(t) 1.0
c(t) T
0
t
0
T
t
在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小，
最终趋于0，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也
最大；无差跟踪
实验二 线性系统时域分析
（c）step(b,a,t1:p:t2) （d）y=step(b,a,t1:p:t2) 上述调用格式的功能与 impulse()函数完全相同， 所不同的是命令绘制的是系统的阶 跃响应 g (t ) 的曲线而不是冲激响应 h (t ) 的曲线。对上例，若执行命令： step(b,a) 则绘制的系统阶跃响应时域波形如图 2-5 所示。
8
subplot(2,2,2) plot(k2,f2) %在子图 2 绘 f2(t)时波形图 title('f2(t)') xlabel('t') ylabel('f2(t)') subplot(2,2,3) plot(k,f); %画卷积 f(t)的时域波形 h=get(gca,'position'); h(3)=2.5*h(3); set(gca,'position',h) %将第三个子图的横坐标范围扩为原来的 2.5 倍 title('f(t)=f1(t)*f2(t)') xlabel('t') ylabel('f(t)') 下面举例如何使用此程序： 已知两信号波形图如下所示，用 MATLAB 求解 f (t ) = f 1 ( t ) * f 2 (t ) 。 f1 (t) 1 0 实现卷积的命令如下： p=0.01; k1=0:p:2; f1=0.5*k1; k2=k1; f2=f1; [f,k]=sconv(f1,f2,k1,k2,p) 程序运行结果如下： 2 t f2 (t) 1 0 2 t
LTI 连续时间系统可用如下所示的线性常系数微分方程描述
∑a y
i= 0 i
N
(i )
(t ) = ∑ b j f ( j ) (t )
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
线性系统的时域分析法
第三章 线性系统的时域分析法●时域分析法在经典控制理论中的地位和作用时域分析法是三大分析方法之一，在时域中研究问题，重点讨论过渡过程的响应形式。
时域分析法的特点：1).直观、精确。
2).比较烦琐。
§3.1 系统时间响应的性能指标1. 典型输入2. 性能指标∙稳→基本要求 ∙准→稳态要求↓ss e ：∙快→过渡过程要求⎪⎩⎪⎨⎧↓↓⨯∞∞-=s p t h h t h %)()()(%σ§3.2 一阶系统的时域分析设系统结构图如右所示 开环传递函数sK s G =)(闭环传递函数)1(11111)(T Ts T s T Ks K s K s Ks -=+=+=+=+=Φλ:)(1)(时t t r =Ts sTs s T s R s s C 111)1(1)()()(+-=+=Φ=1)(,0)0( 1)(1=∞=-=∴-c c e t c tTTc eT t c tT 1)0( 1)(1='='-依)(t h 特点及s t 定义有：95.01)(1=-=-st T s e t h05.095.011=-=-st T e305.0ln 1-==-s t TT t s 3=∴一阶系统特征根1s T=-分布与时域响应的关系：21110 ()().(). ()s C s s R s h t t s s s∙==Φ===时 11 () ()1()ata s a C s h t e s s a ss a∙===-+=-+--时例1 已知系统结构图如右 其中：12.010)(+=s s G加上H K K ,0环节，使s t 减小为原来的0.1倍，且总放大倍数不变，求H K K ,0解：依题意，要使闭环系统02.00.21.0*=⨯=s t ，且闭环增益=10。
11012.0)101(10 1012.01012.010112.010.)(1)(.(s)0000+++=++=+++=+=Φs K K K K s K s K s K s G K s G K HH HH H令 101011002.01012.00⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=H H K K K K T 联立解出⎩⎨⎧==109.00K K H 例2 已知某单位反馈系统的单位阶跃响应为atet h --=1)(求(1).闭环传递函数)(s Φ；(2).单位脉冲响应；(3).开环传递函数。
线性系统的时域分析法简剖析
0
8
K
20
例2：
可见： 1）右半平面无根； 2）虚根： 5s2 25 0, s1.2 j 5 3）其余根：
s4,5 1 j2
s3 1
注意：此时系统不为稳定系统，而是临界稳定系统
例 系统结构图如右， (1)确定使系统稳定的参数(K,x) 的范围; (2)当x2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。
当 x2 时，进行平移变换：
s s) 1
D(s)
s3
s
2s)012
s2
100 s
100K
0
D(s) ) (s) 1)3 40 (s) 1)2 100(s) 1) 100K 0
s) 3 37 s) 2 23 s) (100K 61) 0
闭环特征方程： D(s) s3 7s2 14s K 0
劳斯表：
系统稳定充要条件：
s3 1 14
s2 7 K
s1 98 - K 0 7
s0 K
K 0 (98 K)
/
7
0
0
K
98
系统临界稳定时：
K 98
系统不稳定稳定时：
K 98
2）要求闭环极点全部位于s=-1左侧，则有新变量
s1=s+1，令 s=s1-1 ，代入原特征方程，整理后以s1 为变量的特征方程为：
D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0
则此系统稳定的充分必要条件是：特征方程系 数均为正且对应劳斯表第一列各元素均为正。
推论： 1）第一列符号改变次数 = 系统特征方程含有正实部 根的个数； 2）特征方程系数缺项或不同号则系统不稳定。
2、劳思表定义
D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0
《自动控制理论》第三章 重点与难点
42第3章 线性系统的时域分析法重点与难点一、基本概念1. 稳定性（1）定义：系统受扰动偏离了平衡状态，当扰动消除后系统能够恢复到原来的平衡状态，则称系统稳定，反之称系统不稳定。
（2）系统稳定的充要条件：系统特征根全部具有负的实部。
（3）代数稳定判据：①必要条件：特征多项式各项系数均大于零。
②古尔维茨判据：由系统特征方程各项系数所构成的各阶古尔维茨行列式全部为正。
③劳斯判据：由系统特征方程各项系统列出劳斯表，如果劳斯表中第一列各值严格为正，则系统稳定；如果表中第一列中出现小于零的数，则系统不稳定；第一列各系数符号的改变次数，代表特征方程的正实部根的数目。
（4）系统的稳定性只与系统自身结构参数有关，而与初始条件、外作用大小无关；系统稳定性只取决于系统特征根（极点），而与系统零点无关。
（5）结构不稳定概念：并非由于系统参数设置不当，而是由于系统结构原因导致的不稳定。
2. 误差及稳态误差（1）误差的两种定义及其相互关系：从系统输入端定义的误差)(s E 如图3.1（a ）所示，从系统输出端定义的误差)(s E '是系统输出量的希望值)(s R '与实际值)(s C 之差。
前者在实际系统中是可量测的，具有一定的物理意义；而后者一般只有数学意义。
将图3.1（a ）等效变换为图 3.1（b ），可以看出)(s E 与)(s E '之间有对应关系：)(/)()(s H s E s E ='。
对于单位反馈系统来说，这两种定义是等价的。
（2）稳态误差ss e 是系统的误差响应达到稳态时的值，是对系统稳态控制精度的度量，是系统的稳态指标。
（3）计算稳态误差的方法：1）一般方法：i.判定系统稳定性（对于稳定系统求ss e 才有意义）；ii.按误差定义求出系统误差传递函数)(s e Φ或)(s en Φ；iii.利用终值定理计算稳态误差：)]()()()([lim 0s N s s R s s e en e s ss Φ+Φ⋅=→。
自动控制原理_线性系统时域响应分析
自动控制原理_线性系统时域响应分析1.线性系统时域响应概念线性系统是指其输入与输出之间存在线性关系的系统。
时域响应是指系统在时域上对不同输入信号的响应情况。
时域响应可以用系统的微分方程表示，也可以通过系统的冲激响应来表示。
2.常见的线性系统时域响应方法2.1零状态响应零状态响应是指系统在无初始条件下对输入信号的响应。
常用的分析方法有拉氏变换和复频域分析法。
拉氏变换法可以将微分方程转化为代数方程，从而得到系统的传递函数。
复频域分析法通过将时间域信号变换到复频域，进而进行频域分析。
2.2零输入响应零输入响应是指系统在只有初始条件而没有输入信号的情况下的响应。
常用分析方法有状态方程法和拉氏变换法。
状态方程法将系统表示为一组一阶微分方程的形式，通过求解状态方程可以得到系统的零输入响应。
拉氏变换法可以将初始条件转化为代数方程进行求解。
2.3总响应总响应是指系统在有输入信号和初始条件的情况下的响应。
常用分析方法有零输入响应法和零状态响应法。
零输入响应法通过去除输入信号的影响，只考虑系统的初始条件来求解系统的响应。
零状态响应法则相反，通过去除初始条件的影响，只考虑输入信号来求解系统的响应。
最后，将两者相加得到系统的总响应。
3.线性系统时域响应的应用线性系统时域响应的分析方法可以应用于各种实际工程问题中。
例如，可以通过时域响应分析来评估系统的稳定性、性能和抗干扰能力。
此外，时域响应分析也可以用于设计控制器和参数优化。
通过对系统的时域响应进行分析和改进，可以使得系统更加可靠、稳定和高效。
4.总结线性系统时域响应分析是自动控制原理中的重要内容，可以应用于各种实际工程问题中。
本文介绍了线性系统时域响应的概念、方法和应用。
时域响应的分析方法包括零状态响应、零输入响应和总响应分析，分别适用于不同的问题和要求。
了解和掌握线性系统时域响应分析方法对于设计和优化控制系统具有重要意义。
线性系统的时域分析法
第三章 线性系统的时域分析法●时域分析法在经典控制理论中的地位和作用时域分析法是三大分析方法之一，在时域中研究问题，重点讨论过渡过程的响应形式。
时域分析法的特点：1).直观、精确。
2).比较烦琐。
§3.1 系统时间响应的性能指标1. 典型输入2. 性能指标•稳→基本要求 •准→稳态要求↓ss e ：•快→过渡过程要求⎪⎩⎪⎨⎧↓↓⨯∞∞-=sp t h h t h %)()()(%σ§3.2 一阶系统的时域分析设系统结构图如右所示 开环传递函数sK s G =)(闭环传递函数)1(11111)(T Ts Ts T K s K s K s K s -=+=+=+=+=Φλ :)(1)(时t t r =Ts sTs s T s R s s C 111)1(1)()()(+-=+=Φ=1)(,0)0( 1)(1=∞=-=∴-c c e t c t TTc e T t c t T 1)0( 1)(1='='-依)(t h 特点及s t 定义有：95.01)(1=-=-s t Ts et h05.095.011=-=-s t Te305.0ln 1-==-s t TT t s 3=∴一阶系统特征根1s T=-分布与时域响应的关系：21110 ()().(). ()s C s s R s h t t s s s •==Φ===时11() ()1()at a s a C s h t e s s a s s a•===-+=-+--时例1已知系统结构图如右其中：12.010)(+=s s G加上H K K ,0环节，使s t 减小为原来的0.1倍，且总放大倍数不变，求H K K ,0解：依题意，要使闭环系统02.00.21.0*=⨯=s t ，且闭环增益=10。
11012.0)101(10 1012.01012.010112.010.)(1)(.(s)0000+++=++=+++=+=Φs K K K K s K s K s K s G K s G K HH H H H令 101011002.01012.00⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=H H K K K K T 联立解出⎩⎨⎧==109.00K K H 例2已知某单位反馈系统的单位阶跃响应为at e t h --=1)(求(1).闭环传递函数)(s Φ；(2).单位脉冲响应；(3).开环传递函数。
天津大学812自动控制原理线性系统的时域分析方法概要
系统响应为稳态值为 1的无超调单调上升曲线。
（ 3）ξ>1 （过阻尼情况）
h(t) ? 1 ? e ? t / T1 ? e ?t /T2 T2 / T1 ? 1 T1 / T2 ? 1
系统响应为稳态值为 1的无超调单调上升曲线。
（4）ξ=0 （零阻尼情况） h(t)=1-cosω nt
?
响应特点 ：为单调下降曲线，响应幅度为1/τ，
初始变化率为
1 ?2
， tS=3τ。
第六页，编辑于星期一：四点 三十五分。
三、一阶系统的单位斜坡响应
C (s) ?
1
? 1 ? ? ? ?2
s 2 (?s ? 1) s 2 s ?s ? 1
有 h(t) ? t ? ? ? ?e ? t /?
e(t ) ? ? ? ?e ? t /?
1
?? 2 TM K
标准形式
系统的闭环极点：
s1,2 ? ??? n ? ? n ? 2 ? 1
第九页，编辑于星期一：四点 三十五分。
闭环极点分布规律：
-1<ξ<0
ξ <-1
ξ=0
ξ =1
0< ξ<1
ξ >1
第十页，编辑于星期一：四点 三十五分。
二、二阶系统的单位阶跃响应
系统闭环极点的性质与 ξ有关
一、二阶系统的数学模型
二阶系统可用如下框图表示，开环传函为惯性环节与积分环节的串联。
R -
K
C
s(TM s ? 1)
R -
?
2
n
C
s(s ? 2?? n )
系统的闭环传递函数为二阶系统，
线性系统时域分析
线性系统时域分析一、简述线性系统时域分析，简单来说就是研究线性系统在时间变化下的表现。
你可能会觉得，这听起来有点抽象，但其实它在我们日常生活中无处不在。
想象一下你调节家里的水龙头，水流的强弱、温度的变化其实就是一个线性系统在时间上的表现。
这就是我们研究这个领域的初衷——理解现实世界中的变化。
1. 介绍线性系统时域分析的重要性及其应用领域线性系统时域分析，听起来好像很高大上，但其实它在我们生活中无处不在。
你知道吗它就像是给电子世界的“大脑”做体检。
咱们先来聊聊它的重要性吧，想象一下当你用手机播放音乐时，音质是否清晰、流畅，很大程度上就依赖于这背后的线性系统时域分析。
再如汽车的安全系统、家电的控制电路，都需要线性系统来保证稳定可靠的工作状态。
咱们生活中的许多电子设备，离开了线性系统时域分析，可能就无法正常运行了。
那么线性系统时域分析到底应用在哪些领域呢？简单来说凡是涉及到电子信号传输、控制的地方，几乎都有它的身影。
比如通信领域，手机信号、网络信号的传输都离不开它。
还有自动化控制领域，机器的运行、调整都需要线性系统来保证精准控制。
再比如音频处理、图像处理等领域，也需要线性系统来确保信号的完整性和质量。
可以说线性系统时域分析是电子技术中不可或缺的一环，它的影响无处不在，咱们的生活都离不开它呢！2. 概述线性系统时域分析的基本概念和主要任务线性系统时域分析，听起来好像很复杂，但其实它是研究线性系统对输入信号响应的一种方法。
简单来说就是看看系统对输入的反应是怎样的，这里的“时域”，就是时间的领域，我们关心的是随着时间的推移，系统是如何响应的。
那么咱们就一起了解下这个分析的基本概念以及主要任务吧。
首先它的基本概念就是要理解一个线性系统是如何接受输入并产生输出的。
就像是你在给音响输入音乐，音响就会放出声音一样。
这里的音响系统，就是一个线性系统。
我们要探究的是，不同的输入会得到什么样的输出。
接下来主要任务是什么呢？我们要分析线性系统的特性，看看它是如何对不同的输入做出反应的。
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一.典型初状态
•
••
c(0)c(0)c(0)0
符合一般物理规律
二．典型外作用
1 阶跃函数 a t>=0 a为常数
f (t)
0 t<0
L[1(t )] a
a
s
at
t
t
t
图3.1 典型外作用
2. 斜坡函数at
at f (t) 0
t 0 t 0
a L[at•1(t)]
s2
] 3.单位理想脉冲
t 0
系统的动态和静态过程
动态过程：系统在典型信号下系统输出量从 初态到终态的响应过程。过程一般表现为 衰减、振荡，收敛。用动态特性描述。
稳态过程：系统在典型信号下，时间趋于无 穷时系统输出量的表现方式。用稳态性能 描述。一般指稳态误差。
系统在典型信号下的性能指标由动态性能和 稳态性能组成。
四．阶跃响应的性能指标
Φ（s）=C(s)/R(s)=1 / (Ts+1)
二、 单位阶跃响应
c(s) (s)•R(s) 1 •1 T s1 s
h(t)L1[
1
•1]L1[1
1
1t
]1eT
T s1 s s s1
T
响应是初值为零指数规律上升到
稳态的曲线
1/T
图3.4一阶系统单位阶跃响应曲线
响应特点（1）可以用T来衡量输出数值，如上图
（2）响应曲线的初始斜率为1/T,随时间变化减小。
可以用初始斜率确定T，或判别是否为一阶系统
dh (t) | 1eT 1t | 1
dt t0 T
t0 T
三 性能指标
σ%=0或无意义，tp不存在 ts=3T(对应5%误差带) ts=4T(对应2%误差带)可见T 反应系统的惯性 ess=1-h(∞)=1-1=0 性能由定义求出
2. (s) 100/s 1/KH
11s00KH
0.01s1 KH
-
T=0.01/ KH ts=3T=0.03/ KH 0.1=0.03/ KH KH=0.3
图3.5 系统结构图
3-3典型二阶系统分析
一、 数学模型
dd 2c(2tt)2n dd(tc )tn 2c(t)n 2r(t)
C R((ss))(s)(s22 nn 2sn 2s21kS /TK/T
4、调节时间ts 指当c（t）和c（∞）之间误差达到规定允许值（
一般取c（∞）的±５％，有时取±２％）并且以后不 再超过此值所需的最小时间。
5、上升时间：t r 振荡系统响应从0到第一次上升到终
值所需时间或响应从终值10%上升到终值90%所需时间
6、稳态误差еss （稳态性能指标控制精度和
抗扰能力的量度）
超调量
误差带
tr td
图3.2 单位阶跃响应曲线及性能指标
描述稳定系统在单位阶跃函数作用下动态过程随
时间变化的指标称为动态性能指标。
１、峰值时间tp 指输出响应超过稳态值而达到第一个峰值所
需时间。
２、超调量σ%
指暂态过程中输出响应的最大值超过稳态值
的百分数。
%
h(tp)h()
•1
0% 0
h()
3、延迟时间tr：响应第一次到达终值一半的时间
Hale Waihona Puke 本章重点通过本章学习，应 重点掌握典型输入信号 的定义与特征、控制系 统暂态和稳态性能指标 的定义及计算方法、一 阶及二阶系统暂态响应 的分析方法、控制系统 稳定性的基本概念及稳 定判据的应用、控制系 统的稳态误差概念和求 取等内容。
３.1 典型响应和性能指标
时域分析法：以时间为自变量分析系统在 某种典型输入下系统输出的动态和稳态规 律，并分析其结构和参数对动态和稳态性 能的影响，并指出改善性能的方向。
R
T
C
K1/S
K2/(TS+1)
参数关系如下 阻尼比 1 Tk
2
自然频率 n
k T
开环增益 KK1K2
二、 单位阶段响应h(t)的一般式
1 s a
t n 1 ( n 1 )!
t n 1 L[
] 1
( n 1 )!
sn
三 典型时间响应
1. 单位阶跃响应 Φ（s）*R(s)=Φ(s)*1/s h(t)=L-1 [Φ(s)*1/s]
2. 单位斜坡响应 Ct(s)= Φ（s）*R(s)= Φ(s)*1/s² Ct (t)=L-1 [Φ(s)*1/s2]
第3章 线性系统的时域分析法
内容重点：
典型响应的性能指标 一阶系统的时域分析 二阶系统的时域分析 稳态分析
本章主要内容
本章介绍了控制 系统时域性能分析法 的相关概念和原理。 包括各种典型输入信 号的特征、控制系统 常用性能指标、一阶 、二阶系统的暂态响 应、脉冲响应函数及 其应用、控制系统稳 定性及稳定判据、系 统稳态误差等。
3. 单位脉冲响应 K(s)= Φ（s）*R(s) =Φ（s）*1=Φ（s） K(t)=L-1[Φ(s)]与传递函数的信息相同
4.任意输入下系统的响应
任意输入x(t),k(t)为脉冲响应。输入函数分 为N段,每段 t ，N趋于无穷间隔趋于零。 输入信号相当于NN个脉冲信号。在
时刻输入信号的强度为 X(t)
(t) 0 t 0 5.加速度函数
L[δ(t)]=1
4正弦asinωt
L[asi nt] a s22
f(t) at2 t0
0 t 0 a1/2时为单位加速L度[f函 (]t)数 2a/s3
6.余弦函数acosωt
L[acost] as s2 2
7 . 指数函数
e at
L [ e at ] 8 .多项式
对单位负反馈系统，当时间t趋于无穷大时，
系统的单位阶跃响应的实际值（即稳态值）与
期望值（即输入量１（t））之差，定义为稳态
误差，即еss =1-с(∞)
6、延迟时间td响应时间第一次到达终值一半时间。 3-2 一阶系统分析 一、 数学模型
图3.3一阶系统典型结构
一阶系统微分方程
Tdc(t)c(t)r(t) dt
x() 输出 x() 为 k(t)
由叠加原理有系统的输出为
t N等分
输出c(t) 0t x( )k(t )d 当t 时x(t) 0 x( )k(t )d
上式为输入和脉冲响应的卷积。拉氏变换有 c(s) x(s)k(s) x(s)GB (s) GB (s)为系统的传递函数
与传递函数的定义结论相同
tr2 .2 T td0 .6T 9
例3.1 一阶系统如图所示，试求系统单位阶跃响应的调 节时间ts.如果要求ts =0.1秒，试问系统的反馈系数应调整 为何值？
解1.： (s)C (s) 10 /s0 10 1 10 R (s) 1100 0 .1 0.1s1 0.1s1 s
ts=3T=3*0.1=0.3秒