华东师大版八年级数学下册电子课本

第17章分式 (2)

§17.1 分式及其基本性质 (2)

1.分式的概念 (2)

2.分式的基本性质 (3)

§17.2分式的运算 (5)

1.分式的乘除法 (5)

2.分式的加减法 (6)

阅读材料 (9)

§17.3可化为一元一次方程的分式方程 (10)

§17.4零指数幂与负整指数幂 (12)

1.零指数幂与负整指数幂 (12)

2.科学记数法 (13)

小结 (14)

复习题 (15)

第17章 分 式

现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。如果设原来每天能装配x 台机器，那么不难列出方程：

326306=-+x

x

这个方程左边的式子已不再是整式，这就涉及到分式与分式方程的问题.

§17.1 分式及其基本性质

1.分式的概念

做一做

（1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米； （2）面积为S 平方米的长方形一边长a 米，则它的另一边长为________米； （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是______元；

形如B

A

(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式(fraction ).

其中 A 叫做分式的分子(numerator ),B 叫做分式的分母（denominator ）.

整式和分式统称有理式（rational expression ）, 即有

有理式 整式，

分式.

例1 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？

（1）

x 1；（2）2

x ；（3）y x xy +2；（4）33y

x -.

解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）.

注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.

例如，在分式a

S 中，a ≠0；在分式n m -9

中，m ≠n.

例2 当x 取什么值时，下列分式有意义？

（1）11－x ；（2）3

22

+-x x .

分析 要使分式有意义，必须且只须分母不等于零. 解 （1）分母1－x ≠0，即x ≠1.

所以，当x ≠1时，分式1

1

－x 有意义.

（2）分母23+x ≠0，即x ≠-2

3

.

所以，当x ≠-23时，分式3

22

+-x x 有意义.

2.分式的基本性质

在进行分数的化简与运算时，常要进行约分和通分，其主要依据是分数的基本性质.类似地，分式有如下基本性质：

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.

与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分. 例3 约分

（1）4

3

22016xy

y x -； （2）44422+--x x x 分析 分式的约分，即要求把分子与分母的公因式约去.为此，首先要找出

分子与分母的公因式.

解（1）4

3

22016xy

y x -＝－y xy x xy 544433⋅⋅＝－y x 54. （2）44422+--x x x ＝2)2()2)(2(--+x x x ＝2

2

-+x x .

约分后，分子与分母不再有公因式. 分子与分母没有公因式称为最简分式.

例4 通分

（1）

b

a 2

1，21

ab ； （2）y x -1，y x +1； （3）

221y x -，xy

x +21

.

分析 分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为原来的分式相等的

同分母的分式.通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的

最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）.例如第（1）小题中的两个分式b

a 2

1

和21

ab

，它们的最简公分母是a 2b 2. 解 （1）b

a 21与21

ab 的最简公分母为a 2b 2，所以

b a 21＝b b a b ⋅⋅21＝2

2b a b ， 21ab ＝a ab a ⋅⋅21＝2

2b

a a

. （2）

y x -1与y

x +1

的最简公分母为（x -y ）(x +y )，即x 2－y 2，所以 y x -1＝))((1y x y x y x +-+⋅）（＝2

2y x y

x -+， y x +1＝))(()(1y x y x y x -+-⋅＝2

2y

x y

x --. （3）因为 x 2－y 2＝________________,

x 2＋xy ＝________________, 所以

221y x -与xy x +21

的最简公分母为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，因此

2

21

y

x -＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿， xy

x +21

＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

练 习 1. 约分：

（1）2

232axy

y

ax ； （2）)(3)(2b a b b a a ++-； （3）32)()(a x x a --； （4）y xy x 242+-.