线性代数矩阵及其运算

那么，变量t1, t2 到变量y1, y2 的线性变换应为
y1 y2
a11 a21
b11t1 b12t2 b11t1 b12t2
a12 a22
b21t1 b22t2 b21t1 b22t2
a13 b31t1 b32t2 a23 b31t1 b32t2
即
①
，②( A B) C A (B C)
a1n b1n
a2 n
b2n
L
amn bmn
二、数乘
设 是数， A (ai j )mn 是m n 矩阵，则数乘定义为
显然
a11 a12 L
A
a21
a22
L
L L L
am1 am2 L
a1n
a2 n
L
amn
① () A () A ，② ( ) A A A ，③( A B) A B
三、乘法
乘法运算比较复杂，首先看一个例子
设变量t1, t2 到变量 x1, x2 , x3 的线性变换为
x1 x2
b11t1 b12t2 b21t1 b22t2
x3 b31t1 b32t2
变量 x1, x2 , x3 到变量 y1, y2 的线性变换为
y1 y2
a11x1 a12 x2 a13 x3 a21x1 a22 x2 a23 x3
ai j bi j
i 1, 2,L , m ; j 1, 2,L , n
AB
AB
则称矩阵 与 相等，记成
。
二、特殊形式
n 阶方阵： n n 矩阵 行矩阵：1 n 矩阵（以后又可叫做行向量），记为
A a1, a2 ,L , an
列矩阵： m 1 矩阵（以后又可叫做列向量），记为
b1
y1 y2
a11b11 a12b21 a13b31 t1 a11b12 a12b22 a13b32 t2 a21b11 a22b21 a23b31 t1 a21b12 a22b22 a23b32 t2
定义矩阵
的乘积为
a11
a21
a12 a22
a13 a23
和
a13 a23
b11 b21 b31
b12
b22
b32
设 A (ai )j ms ， B (bi j )sn ，则乘法定义为 AB C
其中
C (ci j )mn
s
ci j ai1b1 j ai2b2 j L aisbs j aikbk j ， k 1
i 1, 2,L , m
第二章 矩阵及其运算
§１ 矩阵
一、矩阵的定义
称 m 行、n 列的数表
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n L LLL
am1 am2 L amn
mn
为
矩阵，或简称为矩阵；表示为
a11 a12 L
A
a21
a22
L
L L L
a1n
a2n
L
am1 am2 L amn
Ai 或简记为 A (ai j )mn , 或 A (ai j ), 或 Amn ；其中ai j 表示 中第 行，第j
列的元素。
a11 注：第一章中行列式 D a21
L
a12 L a21 L LL
a1n a2n 为按行列式的运算规则所得到的一个数，而 L
am1 am2 L amn m n 矩阵是m n 个数的整体，不对这些数作运算。
例如，公司的统计报表，学生成绩登记表等，都可写出相应的矩阵。
设 A (ai j )mn , B (bi j )mn , 都是m n 矩阵，当
y1, y2 ,L , ym 的变换称为线性变换，
mn
线性变换由 个 元函m数组n成，每个函数都是变量的一次幂，故而称之为线性变换。
上式的系数可构成一个
矩阵
a11 a12 L
A
a21
a22
L
L L L
am1 am2 L
a1n
aBiblioteka Baidu n
L
amn
称之为线性变换的系数矩阵。 线性变换和系数矩阵是一一对应的。
a22
L
L L L
am1 am2 L
a1n
a2n
L
amn
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
La21Lx1L
a22 x2 L LLLL
L
a2n xn LLL
b2
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
a11 a12 L
B
a21
a22
L
L L L
am1 am2 L
y1 a11x1 a12 x2 L a1n xn
Ly2
L
a21x1 a22 x2 L LLLLLLL
L
a2n xn L
ym am1x1 am2 x2 L amn xn
这 里 ai j (i 1, 2,L , m ; j 1, 2,L , n) 为 常 数 ． 这 种 从 变 量 x1, x2 ,L , xn 到 变 量
B
b2
M
bm O
零矩阵：所有元素为 0 的矩阵，记为
对角阵：对角线元素为1, 2 ,L , n ，其余元素为 0 的方阵，记为
1
2
O
diag
1 ,
2
,L
, n
n
单位阵：对角线元素为１，其余元素为 0 的方阵，记为
1
E
1
O
1
三、线性变换的系数矩阵
线性变换的定义：设变量 y1, y2 ,L , ym 能用变量x1, x2 ,L , xn 线性表示，即
齐次线性方程组 与系数矩阵 也是一一对应的。 非齐次线性方程组 与增广矩阵 也是一一对应的。
a11x1 a12 x2 L a1n xn 0
La21Lx1
L
a22 x2 L LLLL
L
a2n xn LLL
0
am1x1 am2 x2 L amn xn 0
a11 a12 L
A
a21
b11 b21 b31
b12
b22
b32
a11b11 a12b21 a13b31
a21b11
a22b21
a23b31
a11b12 a21b12
a12b22 a22b22
a13b32 a23b32
a11 a21
a12 a22
按以上方式定义的乘法具有实际意义。由此推广得到一般定义
a1n b1
a2n
b2
L L
amn bm
§2 矩阵的运算
一、加法
设 A (ai j )mn ， B (bi j )mn 都是m n 矩阵，则加法定义为
a11 b11
A
B
a21
b21
L
a12 b12 L a22 b22 L
LL
am1 bm1 am2 bm2 L
显然，
AB B A