关于清华大学高等数学期末考试
清华大学本科生微积分B(1)期末考试往年试题及解答
的收敛域是 ∑∞ an (x −1)n
．
n=1
答案： [0, 2)
．若 ，则 6
∫
lim
x→+∞
x x
− +
a a
x
=
+∞ xe−xdx
a
a=
.
答案：
．7
lim
n→∞
n
1 +1
+
n
1 +
2
+
⋯
+
n
1 +
n
=
.
函数 ≤ ≤ 的以 为周期的 级数是 8.
f
(x)
=
1, −1,
0 x π, −π<x < 0
+
x)
从而 ∑∞ (−1)n n=0
n+2 n +1
xn
=
1
1 +
x
+
ln(1 + x
2,
x)
,
x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1), x = 0.
．证明 ，并计算定积分 ． 13
∫ ∫ π 3 π
cos2 x x(π − 2x)
dx
=
π
3 π
sin2 x x(π − 2x)
dx
∫ I =
π
3 π
3 π
6
． = ln 2 π
14. 已知曲线段 ：L y = ln x (1≤ x ≤ 3 ) ，有界区域 D 由 L 与 x 轴及直线 x = 3 围成．
（Ⅰ）求 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积；
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高等数学期末试题(含答案)
高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。
选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。
3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。
4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。
5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。
二。
填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。
2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。
3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。
4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。
清华大学数学试题及答案
清华大学数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项是实数集的子集？A. 空集B. 复数集C. 整数集D. 有理数集答案：A2. 函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \) 的最小值是多少？A. 0B. 1C. 4D. 8答案：B3. 以下哪个选项是矩阵的特征值？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A4. 以下哪个选项是二元一次方程组的解？A. \( (1, 2) \)B. \( (2, 3) \)C. \( (3, 4) \)D. \( (4, 5) \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( y = \sin(x) \) 的周期是 ________。
答案：\( 2\pi \)2. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式是 ________。
答案：-23. 函数 \( y = e^x \) 的导数是 ________。
答案：\( e^x \)4. 函数 \( y = \ln(x) \) 的反函数是 ________。
答案：\( e^x \)三、解答题（每题30分，共60分）1. 证明函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 在 \( x = 1 \) 处取得极小值。
证明：首先求导数 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，令 \( f'(x) = 0 \) 得到\( x = \pm 1 \)。
然后求二阶导数 \( f''(x) = 6x \)，当 \( x =1 \) 时，\( f''(1) = 6 > 0 \)，说明 \( x = 1 \) 处函数 \( f(x) \) 取得极小值。
2. 解方程组：\[\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases}\]解：将方程组写成矩阵形式 \( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix} \)，通过高斯消元法求解得到 \( x = 2 \)，\( y = 3 \)。
清华大学中学生标准学术能力诊断性测试2024届数学高一下期末学业水平测试试题含解析
清华大学中学生标准学术能力诊断性测试2024届数学高一下期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1( ) A ．cos160︒ B ．cos160±︒ C ．cos160±︒D ．cos160-︒2．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．103．已知函数sin y x =和cos y x =在区间I 上都是减函数，那么区间I 可以是（ ） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭4．角α的终边经过点221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，那么tan α的值为（ ）A ．12B ．C ．3-D ．5．得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将sin 2y x =的图象（ ） A ．向左移动6π B ．向右移动6π C ．向左移动3π D ．向右移动3π 6．一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积为（ ）A ．1232+B ．1262+C ．932+D ．962+7．若2cos75a =，4cos15b =，a 与b 的夹角为30，则a b ⋅的值是（ ） A ．12B ．32C ．3D ．238．执行如图所示的程序框图，若输入3k =，则输出S =（ ）A ．13B ．15C ．40D ．469．三角形的三条边长是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的最大边长为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．710．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
清华期末考试题目和答案
清华期末考试题目和答案****一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个选项是清华大学的校训？A. 自强不息，厚德载物B. 求实创新，追求卓越C. 笃学慎思，明辨笃行D. 博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之答案：A2. 清华大学位于中国的哪个城市？A. 北京B. 上海C. 广州D. 成都答案：A3. 清华大学的创立年份是？A. 1898年B. 1911年C. 1928年D. 1949年答案：B4. 清华大学的校花是什么？A. 牡丹B. 荷花C. 紫荆花D. 樱花答案：C5. 清华大学的校色是什么？A. 红色B. 蓝色C. 绿色D. 黄色答案：B6. 清华大学的校歌中，“自强不息”的下一句是？A. 厚德载物B. 求实创新C. 笃学慎思D. 明辨笃行答案：A7. 清华大学的校徽中，哪两个元素是主要构成？A. 龙和凤B. 书和笔C. 松和竹D. 钟和鼓答案：B8. 清华大学的校庆日是哪一天？A. 4月27日B. 5月4日C. 6月1日D. 10月1日答案：A9. 清华大学的校训“自强不息，厚德载物”出自哪里？A. 《论语》B. 《大学》C. 《中庸》D. 《孟子》答案：D10. 清华大学的校歌中，“清华众秀钟”的下一句是？A. 华夏声名重B. 英才辈出C. 桃李满天下D. 学术之光答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 清华大学的校训是“________，________”。
答案：自强不息，厚德载物2. 清华大学的校歌中，“________，________”描述了清华学子的精神风貌。
答案：自强不息，厚德载物3. 清华大学的校徽由________和________两个元素构成。
答案：书和笔4. 清华大学的校花是________。
答案：紫荆花5. 清华大学的校色是________。
答案：蓝色6. 清华大学的校庆日是每年的________。
答案：4月27日7. 清华大学的校训“自强不息，厚德载物”出自《________》。
清华大学附属中学高三期末考试理科数学试题及答案
1清华大学附属中学高三期末考试理科数学试题及答案数学（理科）试卷说明：本试卷分第І卷（选择题）和第П卷（非选择题）两部分。
满分160分。
考试时间120分钟。
第І卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1、已知甲、乙两个样本（样本容量一样大），若甲样本的方差是0.4，乙样本的方差是0.2, 那么比较甲、乙两个样本的波动大小的结果是 （ ） A ．甲样本的波动比乙大 B ．乙样本的波动比甲大 C ．甲、乙的波动一样大 D ．无法比较2、 “3x >”是“24x >”的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3、已知向量()()8,3,,2,6,5m a n b ==，若//m n ，则a b +的值为 （ ） A ．0B ．52C ．8D ．2124、复数z 满足方程224z i z i ++-=，z 对应点的轨迹是 （ ）A ．一条直线B ．椭圆C ．一个圆D ．线段5、已知在平行六面体1111ABCD A B C D -中，14,3,5,90AB AD AA BAD ===∠=，1160BAA DAA ∠=∠=，则1AC 等于（ ）AB ．85C． D ．506、已知32()26f x x x m =-+（m 为常数），在[2,2]-上有最大值3，那么此函数在[2,2]-上的最小值为 （ ） A ．37- B ． 29- C ． 5- D ． 11- 7、已知椭圆22ax +y 2=1（a>1）的两个焦点为F 1、F 2，P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2=60°，则 |PF 1|·|PF 2|的值为 （ ） A ．1B ．31 C ．34 D ．32 8、函数322()f x x ax bx a =+++在1x =时有极值10，则a 的值为 （ ） A ．43a a ==-或 B ．4a = C ．43a a =-=或 D ．3a =-9、已知点F 1、F 2分别是双曲线2222by a x -=1的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 （A ．（1，+∞）B ．（1，3C ．（2－1，1+2）D ．（1，1+2）10、过抛物线x y =2的焦点F 的直线m 的倾斜角m ,4πθ≥交抛物线于A 、B 两点，且A 点在x轴上方，则|FA|的取值范围是（ ）A ．]221,41(+B ．)1,41[C ．]1,41(D ．),21(+∞ 第П卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2025届北京市清华大学附属中学高三数学第一学期期末检测试题含解析
2025届北京市清华大学附属中学高三数学第一学期期末检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则A B =（ ）A ．(3,)+∞B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．(2,)+∞D ．(2,3)2．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=3．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，且(6085)0.3P X <≤=．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ） A ．40B ．60C ．80D ．1004．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是（ ）A ．12ω=B ．8f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 5．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且5AF =，过点F 的动直线l 与抛物线,B C 交于两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M .给出下列四个命题： ①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个；②若P 是抛物线准线上一动点，则PA PO +的最小值为 ③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有OMB OMC ∠=∠；④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B O D 、、在同一条直线上.其中所有正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知函数()2sin()(0,0)3f x x A ωωπ=->>，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，则ω的最小值为A ．16B ．23 C ．53D ．567．二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．1608．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n nn a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确D ．①②都错误9．如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）A ．22B ．32C ．212D ．31210．若双曲线E ：221x y m n-=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（ ）A 23B 3C ．223D ．2311．已知抛物线()220y px p =>经过点(2,22M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．22B ．24C ．22D ．22-12．关于函数()cos cos 2f x x x =+，有下列三个结论:①π是()f x 的一个周期；②()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③()f x 的值域为[]22-,.则上述结论中，正确的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
清华大学微积分期末试题
期末样题参考解答一、填空题（15空45分，答案直接填写在横线上）1．积分⎰⎰xdy xy f dx 03)(在极坐标下的累次积分为 。
答案：⎰⎰=θπθθθcos 30240)sin cos (rdr r f d2．设平面闭域}1|||| :),{(≤+=y x y x D ，则积分()=+⎰⎰Ddxdy yx x )sin(12。
答案：2==⎰⎰Ddxdy3．已知函数),(y x f 在{}10 ,10 :),(≤≤≤≤=y x y x D 上具有连续偏导数，且x x f cos 2)1,(=，⎰⎰=Ddxdy y x f 1),(，则⎰⎰=∂∂Ddxdy yy x f y),( 。
答案：11sin 2-4．计算积分值⎰⎰=-1)1ln(yydx xx dy。
答案：⎰⎰⎰-=--=-=101041)1ln()1()1ln(2dx x x dy x x dx x x5. 设}2:),,{(22≤≤+=Ωz y x z y x ，则=++⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x )( 。
答案：ππθπ4222302020====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωdz z zrdr dz d zdxdydz z6. 设L 是xy 平面上以)1,1(),1,1(),1,1(--C B A 为顶点的三角形周边构成的曲线， 则第一型曲线积分=-⎰Lds y x )(22 。
答案：07. 设S 为上半球面222y x R z --=，则第一型曲面积分=++⎰⎰SdS z y x )( 。
答案：3222R dxdy zRzzdS R y x S π===⎰⎰⎰⎰≤+ 8. 设L 为xy 平面上的曲线10,2≤≤=x e y x ，起点为)1,0(，终点为),1(e ， 则第二型曲线积分=+⎰Lydy xdx 。
答案：2222),1()1,0(22),1()1,0(22e y x y x d e e =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰ 9．设32),,(z xy z y x f =，则在1===z y x 点=)],,(div[grad z y x f 。
2024届清华大学高一数学第二学期期末复习检测试题含解析
2024届清华大学高一数学第二学期期末复习检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为（ ） A ．1：3B ．3：1C ．2：3D ．3：22．在边长为1的等边三角形ABC 中，D 是AB 的中点，E 为线段AC 上一动点，则EB ED ⋅的取值范围为（ ） A ．233,162⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．233,644⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．23,316⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．233,642⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．已知实数满足约束条件，则的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3a =，3A π=，sin 2sin C B =，则ABC 的周长为（ ） A ．33+B ．36+C ．333+D ．336+5．数列{a n }中a 1＝﹣2，a n +1＝11na -，则a 2019的值为（ ） A ．﹣2 B ．13 C ．12D ．326．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c 2，则C = A ．π12B ．π6C ．π4D ．π37．若(0,),(,0)22ππαβ∈∈-，13cos ,cos +4342ππβα⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,则cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （ ）A ．33B ．33-C ．69-D ．5398．已知*n N ∈，实数x 、y 满足关系式()2223n x y nx n +=++，若对于任意给定的*n N ∈，当x 在[)1,-+∞上变化时，x y +的最小值为n M ，则lim n n M →∞=（ ） A ．426-B ．0C ．424-D ．19．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若ABC ∆的面积15cos ,2,1S B a c ===，则b =( )A ．32B ．2C ．34D ．5210．如图，各棱长均为a 的正三棱柱111ABC A B C -，M 、N 分别为线段1A B 、1B C 上的动点，且MN ∥平面11ACC A ，M ，N 中点S 轨迹长度为3，则正三棱柱111ABC A B C -的体积为（ ）A 3B 233C ．3D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2023-2024学年北京市清华大学附中高二(上)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市清华大学附中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则等于()A. B.C.D.2.在的展开式中，x 的系数为()A.10B.C.20D.3.若双曲线的焦距为4，则其渐近线方程为()A.B.C.D.4.已知函数，则下列说法中正确的是()A. B.的图像关于原点对称 C.在定义域内是增函数D.存在最大值5.在中，，则等于() A.B.C.9D.166.已知底面边长为2的正四棱柱的体积为，则直线AC 与所成角的余弦为()A.B.C.D.7.已知点F 是双曲线C ：的一个焦点，直线l ：，则“点F 到直线l 的距离大于1”是“直线l 与双曲线C 没有公共点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.已知数列的前n 项和为，满足，则下列结论中正确的是()A. B.C.数列的前n 项和为D.数列是递增数列9.已知直线：恒过定点A ，直线：恒过定点B ，且直线与交于点P ，则点P 到点的距离的最大值为()A.4B.C.3D.210.已知函数，若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知复数对应的点到原点的距离是，则实数______.12.已知点在抛物线C：上，则A到焦点F的距离为______.13.已知函数在区间上的最大值为2，则正数的最小值为______.14.从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数共有______个.15.在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”.点O是坐标原点，点P在圆上，点Q在直线上.在这个定义下，给出下列结论：①若点P的横坐标为，则；②的最大值是；③的最小值是2；④的最小值是，其中，所有正确结论的序号是______.三、解答题：本题共6小题，共85分。
(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解
一、1 B;2 C; 3 D;4 A.
二、1 2 3 0; 4 0.
三、1解原式 6分
2 解 2分
4分
3解原式 3分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2分
1分
4 解令 则2分
5 1分
6 1分
1分
1分
7 两边求导得 2分
8 1分
1分
2分
9 解 2分
10 4分
11 解原式= = 6分
四、1解令 则 3分
= 2分
2分
1分
2 解 3分
-----------3
3．求摆线 在 处的切线的方程.
解：切点为 -------2
-------2
切线方程为 即 . -------2
4.设 ，则 .
5．设 ，求 .
解： ---------2
--------------2
= ------------2
故 =
四．应用题（每小题9分，3题共27分）
1．求由曲线 与该曲线过坐标原点的切线及 轴所围图形的面积.
(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限
二、填空题（共12分）
1．（3分） 平面上过点 ，且在任意一点 处的切线斜率为 的曲线方程为.
2. （3分） .
3. （3分） =.
4. （3分） 的极大值为.
三、计算题（共42分）
1.（6分）求
2.（6分）设 求
3.（6分）求不定积分
4.（6分）求 其中
(D)(D)若可积函数 为奇函数,则 也为奇函数.
4.设 ,则 是 的（C）.
(A)连续点;(B)可去间断点;
(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.
(完整版)大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案
第一学期期末高等数学试卷一、解答下列各题(本大题共16小题，总计80分)1、(本小题5分)求极限 lim x x x x x x →-+-+-23321216291242、(本小题5分) .d )1(22x x x ⎰+求3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsinx x x →∞⋅14、(本小题5分)⎰-.d 1x x x 求5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ⎰+2021 6、(本小题5分)⎰⋅.d csc cot 46x x x 求7、(本小题5分) ．求⎰ππ2121cos 1dx x x8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e ty y x dy dx t t ==⎧⎨⎪⎩⎪=cos sin (),229、(本小题5分) ．求dx x x ⎰+301 10、(本小题5分)求函数 的单调区间y x x =+-42211、(本小题5分) ．求⎰π+202sin 8sin dx x x 12、(本小题5分)．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=-13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分)求函数的极值y e e x x =+-215、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222Λ16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ⎰+求二、解答下列各题(本大题共2小题，总计14分)1、(本小题7分),,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿2、(本小题7分) .8232体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y ==三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230一学期期末高数考试(答案)一、解答下列各题(本大题共16小题，总计77分)1、(本小题3分)解原式:lim =--+→x x x x 22231261812 =-→lim x x x 261218 =22、(本小题3分) ⎰+x x x d )1(22 ⎰++=222)1()1d(21x x =-++12112x c .3、(本小题3分) 因为arctan x <π2而limarcsin x x →∞=10故limarctan arcsin x x x →∞⋅=10 4、(本小题3分) ⎰-x x x d 1 x x x d 111⎰----= ⎰⎰-+-=x x x 1d d =---+x x c ln .1 5、(本小题3分)原式=+214x x6、(本小题4分) ⎰⋅x x x d csc cot 46⎰+-=)d(cot )cot 1(cot 26x x x=--+171979cot cot .x x c7、(本小题4分) 原式=-⎰cos ()1112x d x ππ=-sin 112x ππ=-1 8、(本小题4分) 解： dy dx e t t e t t t t t =+-22222(sin cos )(cos sin ) =+-e t t t t t t (sin cos )(cos sin )2222 9、(本小题4分)令 1+=x u 原式=-⎰24122()u u du=-2535312()u u =11615 10、(本小题5分) ),(+∞-∞函数定义域 01)1(222='=-=-='y x x x y ，当 (][)+∞<'>∞->'<,1011,01函数的单调减区间为，当函数单调增区间为， 当y x y x 11、(本小题5分)原式=--⎰d x x cos cos 9202π=-+-163302ln cos cos x x π=162ln12、(本小题6分) dx x t dt ='()[]dt t k t k e kt ωωωωsin )34(cos )34(+--=- 13、(本小题6分) 2265yy y y x '+'='=+y yx y 315214、(本小题6分) 定义域，且连续(),-∞+∞ '=--y e e x x 2122()驻点：x =1212ln 由于''=+>-y e e x x 20 22)21ln 21(,,=y 故函数有极小值 15、(本小题8分) 原式=++++++++--→∞lim ()()()()()()x x x x x x x 1121311011011112222Λ =⨯⨯⨯⨯=101121610117216、(本小题10分) dx x x dx x x x ⎰⎰+=+2sin 2112cos cos sin 12cos :解⎰++=x x d 2sin 211)12sin 21(=++ln sin 1122x c 二、解答下列各题(本大题共2小题，总计13分)1、(本小题5分)设晒谷场宽为则长为米新砌石条围沿的总长为 x xL x x x ,,()51225120=+> '=-=L x x 2512162 唯一驻点 ''=>=L x x 10240163 即为极小值点 故晒谷场宽为米长为米时可使新砌石条围沿所用材料最省165121632,,= 2、(本小题8分)解 :,,.x x x x x x 232311288204====V x x dx x x dx x =-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎰⎰ππ()()()223204460428464=⋅-⋅π()1415164175704x x π=-π=35512)7151(44三、解答下列各题( 本 大 题10分 ) 证明在连续可导从而在连续可导:()(,),,[,];,.f x -∞+∞03又f f f f ()()()()01230====则分别在上对应用罗尔定理得至少存在[,],[,],[,](),011223f x ξξξξξξ1231230112230∈∈∈'='='=(,),(,),(,)()()()使f f f 即至少有三个实根'=f x (),0,,,0)(它至多有三个实根是三次方程又='x f由上述有且仅有三个实根'f x ()高等数学（上）试题及答案一、 填空题（每小题3分，本题共15分）1、.______)31(lim 20=+→x x x 。
清华高数期末试题及答案
清华高数期末试题及答案（正文开始）一、选择题（每题10分，共40分）1. 设函数 $f(x)=2x^3-3x+1$，则 $f(-2)$ 的值为：A. 5B. -7C. 13D. -5答案：C2. 若函数$f(x)$ 在区间$[a,b]$ 上连续，且在该区间上的导数存在，则根据介值定理，必存在 $x_0 \in (a,b)$，使得：A. $f(a) \cdot f(b) > 0$B. $f(a) \cdot f(b) < 0$C. $f(a) \cdot f(b) = 0$D. $f(a) \cdot f(b) \geq 0$答案：B3. 设 $e^x$ 是函数 $y=f(x)$ 的解，则 $f''(x)=$A. $e^x$B. $e^{-x}$C. $e^{2x}$D. $e^{-2x}$答案：C4. 设 $y=f(x)$ 是方程 $\sqrt{3}y'+\sin x = 0$ 的解，则 $f(x)=$A. $-\sin x$B. $\cos x$C. $-\frac{2}{\sqrt{3}} \cos x + C$D. $\frac{2}{\sqrt{3}} \sin x + C$答案：C二、计算题（每题20分，共60分）1. 求不定积分 $\int(2x-1)(3x^2+5x+2) \mathrm{d}x$。
答案：$\frac{1}{2}x^2(3x^2+5x+2)-\frac{2}{3}(3x+1)^3+C$ 2. 求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - \sin 4x}{\sin 2x}$。
答案：$\frac{5}{2}$3. 求曲线 $y^2=x$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程。
答案：$y=2(x-1)+1$三、证明题（每题20分，共20分）设 $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$，证明：在区间 $[0,+\infty)$ 上，$f(x)$ 在点 $x=1$ 处取得极大值。
清华大学数分3期末
2.
设幂级数
∑∞
n=0
anxn
的收敛半径为
r
> 0.
试利用上述判别法证明如果此幂级数在
x = r 处收敛则其和函数 S(x) 在 x = r 处左连续.
3. 试利用 log(1 + x) 在 x0 = 0 处的幂级数展开求如下级数的和, 并说明理由:
∑ ∞ (−1)n−1 .
n
n=1
4.
设数项级数
∑ n≥0 an,
考试课程
清华大学本科生考试试题专用纸 ( A 卷 )
数学分析 – III
2019 年 1 并说明推导过程的理由（在 3 题中任选 2 题即可）: (15 分)
∫ +∞ log(x2 + a2)
1.
0
x2 + 1 dx ,
2.
lim
x→ 0
∑ +∞
1
nx + n5x2
∫
1
f
∗
Hλ(x)
=
√ 2π
fˆ(ξ )e−λ|ξ| eixξ dξ .
R
其中
f
∗ Hλ(x)
=
√1 2π
∫
R
f
(t)Hλ(x
−
t)dt.（提示:
用
Hλ
的原始定义,
不需用第
1
小
题的计算结果）
3. 试利用上述结论证明，如果 fˆ 也是 R 上的有界连续且绝对可积函数, 则有等式
f˜ˆ = f.
六、 （附加题）定义函数 ζ 及 Bernoulli 数 Bn 使得
1. 试求 f 的三角 Fourier 级数, 并由此证明如下恒等式:
大学清华复变函数引论考试试题及答案
= −π i c−1 + G(r) − G(−r),
7
所以我们有：
∫ lim f (z) dz = π (a − b).
r→0 Cr
最后，所求积分即为
(∫ −r ∫ R)
I = lim
+
f (z) dz = π (b − a).
R→∞, r→0 −R
r
注记：本题所求积分其实是课上讲过的如下积分的变形 ∫ +∞ sin2 x −∞ x2 dx = π,
解答二：设 D 是 C 上的连通开集，若 D 中任意简单闭曲线都
可在 D 中连续地缩为一点，则 D 称为单连通区域。
2. 请写出 Cauchy-Goursat 基本定理的内容；(5 分) 解答：设 D 是 C 上的单连通区域， γ 是 D 中可求长闭曲线， f : D → C 是 D 上的解析函数，则 ∫
I=
−∞
x2
dx.
解答一：考虑函数
f (z) =
ei a z −ei b z z2
在教材中图
5.3
所示道路
上的积分。因为 f (z) 在道路所围区域中没有奇点，所以根据
Cauchy-Goursat 基本定理，有
(∫ −r ∫ ∫ R ∫ )
++ +
f (z) dz = 0.
−R
Cr
r
CR
当 R 充分大时，
p→0
p→0
p
注记：这种解答利用的是所谓含参积分技术。这种技术也是计 算各种积分的有力工具，其威力丝毫不逊色于复变函数方法。
∫
CR
f (z) dz
=
∫0
π n
清华大学数学期末考试题及答案
清华大学数学期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，如果函数f(x)在某点x=a的极限存在，则对于任意正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。
以下哪个选项不是极限存在的条件？A. ε>0B. δ>0C. |f(x)-L|<εD. x≠a答案：D2. 以下哪个函数在x=0处不可导？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(x)D. f(x) = e^x答案：B3. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...C. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...D. 1 - 1/2^2 + 1/3^2 - 1/4^2 + ...答案：B4. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 0; 0 0]B. [1 1; 1 1]C. [1 2; 3 4]D. [2 0; 0 2]答案：D5. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = sin(x)D. f(x) = x + 1答案：B二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是_________。
答案：07. 曲线y = x^3在点(1,1)处的切线斜率是_________。
答案：38. 矩阵A = [1 2; 3 4]的行列式是_________。
答案：-29. 函数f(x) = e^x的不定积分是_________。
答案：e^x + C10. 函数f(x) = sin(x)的周期是_________。
答案：2π三、解答题（每题15分，共40分）11. 求极限lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 - 1)]。
答案：lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 - 1)] = lim(x→0) [(x^2 + 1) / (-(1 - x^2))] = -112. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的极值点。
清华大学期末试题及答案
清华大学期末试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 清华大学位于哪个城市？A. 北京B. 上海C. 广州D. 深圳答案：A2. 清华大学的校训是什么？A. 厚德载物B. 格物致知C. 明德新民D. 知行合一答案：A3. 清华大学的创建年份是？A. 1911年B. 1921年C. 1931年D. 1941年答案：A4. 清华大学的校花是？A. 牡丹B. 荷花C. 梅花D. 菊花5. 清华大学的校歌名称是？A. 清华之歌B. 清华校歌C. 清华颂D. 清华赋答案：B6. 清华大学的校徽颜色是什么？A. 蓝色B. 绿色C. 红色D. 黄色答案：A7. 清华大学的校庆日是每年的哪一天？A. 4月28日B. 5月4日C. 6月1日D. 7月1日答案：A8. 清华大学的图书馆藏书量超过多少万册？A. 100万B. 200万C. 300万D. 400万答案：C9. 清华大学的哪个学院以工程学科为主？B. 工学院C. 文学院D. 法学院答案：B10. 清华大学的哪个学院以人文学科为主？A. 理学院B. 工学院C. 文学院D. 法学院答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 清华大学的校训“厚德载物”出自《________》。
答案：周易2. 清华大学的创始人是________。
答案：梁启超3. 清华大学的校歌由________作词。
答案：汪国真4. 清华大学的校徽设计中，五角星代表________。
答案：中国共产党5. 清华大学的校徽设计中，水波纹代表________。
答案：清华池6. 清华大学的校徽设计中，书籍代表________。
答案：知识与智慧7. 清华大学的校徽设计中，齿轮代表________。
答案：工程与技术8. 清华大学的校徽设计中，麦穗代表________。
答案：农业与丰收9. 清华大学的校徽设计中，松树代表________。
答案：坚韧与不屈10. 清华大学的校徽设计中，长城代表________。
2023-2024学年北京市清华大学附中高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市清华大学附中高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设集合A ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∩B 等于（ ） A ．{2，4}B ．{2，4，8}C ．{2，4，6，8}D ．{2，4，6，8，9}2．在(x 2−1x)5的展开式中，x 的系数为（ ）A ．10B ．﹣10C ．20D ．﹣203．若双曲线x 2m−y 2=1的焦距为4，则其渐近线方程为（ ）A ．y =±√33x B ．y =±√3x C ．y =±√55x D ．y =±√5x4．已知函数f(x)=x −1x ，则下列说法中正确的是（ ）A ．f(2)=f(12)B ．f （x ）的图像关于原点对称C ．f （x ）在定义域内是增函数D ．f （x ）存在最大值5．在△ABC 中，AB =5，BC =3，sin ∠BAC =35，则AB →⋅CB →等于（ ）A ．﹣16B ．﹣9C ．9D ．166．已知底面边长为2的正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为8√3，则直线AC 与A 1B 所成角的余弦为（ ） A ．√32B ．√22C ．√34D ．√247．已知点F 是双曲线C ：x 2﹣y 2＝1的一个焦点，直线l ：y ＝kx ，则“点F 到直线l 的距离大于1”是“直线l 与双曲线C 没有公共点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n ﹣1（n ＝1，2，3，⋯），则下列结论中正确的是（ ） A ．a n =2nB ．S n =2n+1−2C ．数列{log 2a n }的前n 项和为n 2−12D ．数列{S na n}是递增数列 9．已知直线l 1：mx +y ＝0恒过定点A ，直线l 2：x ﹣my ﹣2＝0恒过定点B ，且直线l 1与l 2交于点P ，则点P 到点(0，2√2)的距离的最大值为（ ） A ．4B ．2√3C ．3D ．210．已知函数f（x）={x2−2x，x≤0ln(x+1)，x＞0，若不等式x（f（x）﹣a|x|）≤0对任意实数x恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2]C．[1，2]D．[1，+∞）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
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清华大学
2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷）
考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2010级工科各班
）
1、若在),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调
，曲线是 的。
2、设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=232322t
t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。
3、=⎰
dx 1cos 12 。
题共3小题，每小题3分，总计 9分）
1、设A x x ax x x =-+--→1
4lim 231，则必有 答( )
2、设211)(x
x f -=，则)(x f
的一个原函数为 答( )
3、设f 为连续函数，又，⎰=x
e x dt t
f x F 3)()(则=')0(F 答( )
2小题，每小题5分，总计10分 ）
1、求极限x
e e x x x cos 12lim 0--+-→。
2、x y 2ln 1+=,求y '。
3小题，每小题8分，总计24分 ）
1、讨论⎪⎩
⎪⎨⎧=≠=0,00arctan )(2
x x x x x f ，，在0=x 处的可导性。
2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得 ξξ=)(f 。
3、证明不等式：当4>x 时，22x x >。
3小题，每小题8分，总计24分 ）
1、求函数x e y x cos =的极值。
2、求不定积分⎰
x x x d cos sin 3。
3、计算积分⎰-+-+2222)cos 233(ln sin ππdx x x
x x 。
4小题，每小题6分，总计24分 ）
1、求不定积分⎰
+)1(10x x dx 。
2、计算积分⎰+πθθ4
30 2cos 1d 。
3、求抛物线221x y =
被圆822=+y x 所截下部分的长度。
4、求微分方程''-'-=++y y y x e x 2331的一个特解。