边长为10的正五边形的外接圆的半径是

边长为10的正五边形的外接圆的半径是?

方法一：

正五边形的每个内角是(5－2)×180°/5＝108°

连接圆心和一条边的两端，得到一个等腰三角形，其底角为108°/2＝54°，顶角为180°－2×54°＝72°

设正五边形的边长为a，外接圆的半径为r，则r＝a/(2cos54°)＝a/(2sin36°)

下面给出sin36°的求法：

由于sin36°＝sin(180°＝36°)＝sin144°＝2sin72°cos72°

＝4sin36°cos36°[2(cos36°)^2－1]

由此得到8(cos36°)^3－4cos36°－1＝0

(2cos36°＋1)[4(cos36°)^2－2cos36°－1]＝0

由4(cos36°)^2－2cos36°－1＝0解出

cos36°＝(1＋√5)/4,

sin36°＝√[1－(cos36°)^2]＝√(10－2√5)/4.

所以r＝a/(2sin36°)＝a/[2√(10－2√5)/4]＝2a/√(10－2√5)

＝(√(50＋10√5)a/10

解作黄金△ABC，∠BAC=36 °，∠ABC=∠ACB=72 °.

令BC=a,AB=AC=b。

过B作∠ABC的角平分线BD，交AC于D。

因为等腰△ABC∽等腰△BCD,

所以BC/CD=AB/BC，

故CD=a^2/b，

由此得:AD=b-a^2/b=(b^2-a^2)/b。

因为BC=BD，故a=(b^2-a^2)/b。

即得:b^2=a^2+ab

令b/a=t，则t^2-t-1=0，

解方程得:t=(√5+1)/2.

故b/a=(√5+1)/2，a/b=(√5-1)/2.

由正弦定得:sin36 °/sin72 °=a/b=(√5-1)/2.

故得:cos36 °=(√5+1)/4.

因而得: sin36 °=[√(10-2√5)]/4.