大一高等数学上册习题及答案

f ( ) f ( a)。
2003级《高数》上试题解答
一、1. 设y cos ln( x2 ex )，求y
解 y sin ln( x2 ex ) 1 (2x ex )
x2 ex
2.
求
1
x2 dx x
(
x
1
1
1
x
)dx
1 x2 x ln1 x C 2
3.
求
lim
x
六、设f
(
x)
x
1
ln 1
t t
dt，求证f
2
(
x)
f ( 1 )(x 0) x
证
由于
f
1 x
1
1x
ln 1
t t
2
dt
设1 u t
ln 1
x
1
1
u 1
1 u2
du
u2
x
1
ln 1
u du u2
f (x)
七、设f ( x)在[0，2a]上连续，且f (0) f (2a)，
证明至少有一点 [0，2a]，使得f ( ) f ( a)。
lim
x0
x
ln(1 x2
x)
1 1
lim x0
1 x 2x
lim
x0
x 2x(1
x)
1 2
8.
由参数方程
x y
et et
cos sin
t t
确定函数y
y( x),
试求y关于x的微分(t k )
解
4 先求函数y关于自变量x的导数
dy
cos cos
t t
sin sin
t t
dx
dx et (cos t sin t )dt dy et (cos t sin t )dt
y* a
a
5 2
非齐次方程的通解为
Y
C1e
x
C2e
2
x
5 2
y(0)
C1
C2
5 2
1
y(0) C1 2C2 2
YCC 12
C1e5x
7 2
所2C求2e特2x 解为
Y
5e x
7 2
e
2
x
5 2
2
1
五、求f ( x) x 3 ( x2 1)3 在[2，2]上的最大值与最小值
解
f
( x)
x
x2 e
x
lim
x
1
2x ex
2
lim
x
e
x
0
4. 确定y ln x x的单调区间
y 1 1 0 x 1 x x (0,1), y 0; x (1,), y 0
y在(0,1)单调增, 在[1,)单调减.
5.
计算1
3
1 x2(1
x2
dx )
1
3[
1 x2
1
1 x2
]dx
4 33 2 2
四. (10分) 求微分方程y( x) 3 y( x) 2 y( x) 5
满足y(0) 1, y(0) 2的特解.
解： 相应齐次特征方程为 r2 3r 2 0
解得特征根为 r1 1,r2 3
故齐次方程的通解为： y C1e x C2e2x
非齐次方程有形如特解
由介值定理知结论成立。
八、已知一个二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程 有相同的实根a, 试写出此微分方程及其通解.
解：此微分方程的特征方程为 (r a)2 0
2003 级《高等数学（上）》试题
一、试解下列各题（48 分）
lim 1. 设y cosln(x2 ex )，求y； 2. 求 x2 dx ； 3. 求
x2 ；
1 x
x x e x
4. 确定y ln x x的单调区间 ； 5. 计算 3 1 dx ；
1 x 2 (1 x 2 )
6.求微分方程 y e x y e y 的通解；
2
1
x3
2x
(
x2
2
1) 3
3
3
2
4
2[( x
1
1)3
x3
2
]来自百度文库
0
3 x 3 ( x2 1)3
x1 0, x2 1, x3
2 2
由于函数的连续性，分别计算函数值
f (0) 1, f (1) 1,
f ( 2) 3 4 2
f (2) 3 4 3 3
因此
f最大(
2) 3 4 2
f最小(2) 3 4 3 3
lim 7. 求
[ 1 1 ln(1 x)] ；
x0 x x 2
8.
由参数方程
x
y
et et
cos t sin t
确定函数
y
y ( x)，试求y关于x的微分 (t
4
k )
。
二、设曲线方程为 exy 2x y 3 ，求此曲线在纵坐标为 y 0 的点处的切线方程。
三、 计算
3
x
4
sin2
dx x
。
四、求微分方程
d2y dx 2
dy 3
dx
2y
5 满足初始条件
y
x0
1,
y
x0
2 的特解。
2
1
五、 求f (x) x 3 (x 1) 3 在[2，2]上的最大值与最小值 。
六、 设f (x) x ln t dt，求证f (x) f (1)(x 0) 。
1 1t2
x
七、设f (x)在[0，2a]上连续，且f (0) f (2a)，证明至少有一点 [0，2a]，使得
1 x
|1
3
arctan
x
|1
3
1 3
3 12
6. 求微分方程y( x) e x y e y的通解
解： y( x) e x y e y为可分离变量方程
变量分离 e ydy (e x 1)dx 两边积分得 e y ex x C
7.
求
lim
x0
[
1 x
1 x2
ln(1
x)]
解 y 0 1 2x 3 x 1
在隐函数方程的两边对x求导 e xy ( y xy) 2 y 0
将x 1, y 0代入, y(0) 1
切线方程为 y ( x 1)
三、计算3
4
x sin 2
dx.(9分) x
解
原式 [ x cot x]3 3cotdx
44
(1 1 ) 1 ln 3
dy cos t sin t dx 由于et (cos t sin t ) x y
cos t sin t
et (cos t sin t ) x y
更准确：
dy x y dx x y
二、设函数e xy 2 x y 3,求此曲线在纵坐标 为y 0的点处的切线方程.(8分)
dy cos t sin t dx cos t sin t
8.
由参数方程
x y
et et
cos sin
t t
确定函数y
y( x),
试求y关于x的微分(t k )
4
解 先求函数y关于自变量x的导数
dx et (cos t sin t )dt dy et (cos t sin t )dt
证 只需设 F( x) f ( x) f ( x a)
F ( x)在定义域[0,a]上连续, 且F (0) f (0) f (a)
F (a) f (a) f (2a) f (a) f (0)
当f (0) f (a) 0时,取 0,结论成立,
当f (0) f (a) 0时,则F(0) F(a) 0