数理统计课件

(2).
(n
1)S
2
2
n
~ 2 (n 1)
(3). X与S 2独立。
(4) X ~ t(n 1)
S/ n
五 参数估计
1.点估计 2.区间估计
参数估计的思想
参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息 来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.
估计新生儿的体重 估计湖中鱼数
在参数估计问题中， 假定总体分布形式已知， 未知的仅仅是一个或几 个参数.
则称统计量：
2
X
2 1
X
2 n
所服从的分布为自由度 是n的 2分布。
记为 2 ~ 2 (n)
2分布的性质：
10.12
~
2
(n1
),
2 2
~
2 (n2 ),且12， 22独立，则有
12
2 2
~
2 (n1
n2 )
20.E 2 n, D 2 2n
2
对于给定的(0 1)，称满足条件：
( xi
x)2
bk
1 n
n
(xi
i 1
x)k ,
k 1,2
分别称为样本均值、样本方差、样本k阶矩、样本 标准差、样本k阶中心矩。
(3) 抽样分布
1）定义：统计量是样本的函数，它是一个随机 变量，统计量的分布称为抽样分布。
2）常用统计量的分布
2 分布
设( X1,X n )为来自于正态总体 N(0,1)的样本，
S2
1 n 1
n i1
(Xi
X
)2
样本k阶中心矩： Bk
1 n
n
(Xi
i 1
X )k
k 1,2,
它们的观察值分别为：
x
1 n
n i 1
xi
s2
1 n 1
n i 1
(xi
x)2
1n [
n 1 i1
xi 2
nx 2 ]
ak
1 n
n i 1
xik ,
k 1,2
s
1 n 1
n i 1
数理统计
四、数理统计的基本概念 五、参数估计
四 数理统计的基本概念
1、基本概念 (1) 总体和样本
总体：研究对象的某项数量指标的值的全体。 个体：总体中的每个元素为个体。 容量：总体中所包含的个体的个数。
按此分为有限总体和无限总体。
例如：某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体，每 一个灯泡的寿命是一个个体；某学校男生的身高 的全体一个总体，每个男生的身高是一个个体。
2
X
1
250
则 ˆ x 1 (0 75 1 90 6 1) 1.22
250
所以 X , 估计值ˆ 1.22。
例2. 设总体X ~ U[a,b],a,b未知；X1,, X n是一个 样本；
求：a, b的矩估计量。
解：
1
EX
a
b, 2
2 EX 2 DX (EX )2
(b a)2 12
的点t (n)为t分布的上分位点。
t1 (n)
t (n)
由概率密度的对称性知 ：t1 (n) t (n)
当n 45时，t (n) z .
3) 正态总体的样本均值与样本方差的分布：
定理 . 设X1,, X n是总体N (, 2 )的样本，X , S 2
分别是样本均值与样本 方差，则有：
(1). X ~ N(, 2 ).
其中1,,k是待估参数,，X1,, X n为来自X的样本。
设 则 令
EX l
Al Al
1
n
l
nl
i 1
,
,l 1,2,,
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X
l i
l 1,, k
k.存在。
这里是包含 k个未知参数 1，， k的联立方程组，
从中解出方程组的解 ˆ1，，ˆk。 用ˆ1，，ˆk 分别作为1，，k的估计量，这种求
估计量的方法称为 矩估计法。
参数估计问题的一般提法 设有一个统计总体，总体的分布函数
为 F(x, )， 其中 为未知参数.
现从该总体抽样，得样本
X1,X2,…,Xn
要依据该样本对参数 作出估计.
这类问题称为参数估计.
1、点估计
设总体X的分布函数F(x; )的形式为已知， 是待估参数。 X1 X n是X的一个样本，x1 xn是相应的样本值。
定义：设X是具有分布函数F的随机变量，若X1,X n 是具有同一分布函数F的相互独立的随机变量， 则 单称随机X样1,本X，n 简为称从为总样体本X，中其得观到察的值容x量1,为nx的n称简 为样本值。
总体（理论分布） ？
样本
样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去推断 总体的情况---总体分布F(x)的性质.
2.）常用的统计量
样本均值：
X
1 n
n i 1
Xi
它反映了总体均值 的信息
样本方差： S 2
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
1
n
[
n 1 i1
Xi2
nX 2 ]
它反映了总体方差 的信息
样本k阶(原点)矩：Ak
1 n
n i 1
Xik
k 1,2,
它反映了总体k 阶矩 的信息
样本标准差：S
(a b)2 4
令
a
2
b
A1
1 n
n
Xi
i 1
(b a)2 12
(a b)2 4
A2
1 n
n i 1
X
2 i
即 a b 2A1, b a 12( A2 A12 )
这种估计量称为矩估计量；矩估计量的观察值 称为矩估计值。 例 1 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从
参数为的泊松分布， 未知，有以下样本值；
试估计参数 （用矩法）。
着火的次数 k
0 12 3456
发生k次着火天数 nk
解： 1 EX
令 X ,
75
90
A1
54
1
n
22
n
X
i 1
6
i
P{ 2 2 (n)}
的点
2
(n
)为
2
(n)分布的上分位点。
z是标准正态分布的上分位点。
t 分布
X ~ N (0,1), Y ~ 2 (n), X ,Y独立，则称随机变量T X
Y n
所服从的分布为自由度是n的 t 分布，记作T ~ t(n).
对于给定的(0 1)，称满足条件：
P{t t (n)}
样本是联系二者的桥梁
(2 ) 统计量 1.） 定义：设 X1,X n 为来自总体X的一个样本， g(X1,X n ) 是 X1,X n 的函数，若g是连续函数，且 g中不含任何未知参数；
则称g( X1,Xn )是一个统计量。
设 x1,xn是相应于样本 ( X1, X n )的样本值。
则称g(x1,xn )是g( X1,X n )的观察值。
构造一个适当的统计量 ( X1,, X n )，用它的观察值 ˆ(x1,, xn )来估计未知参数 。
我们称 ( X1,, X n )为的估计量；称ˆ( x1,, xn ) 为 估计值。
(1) 矩估计法
设X为连续型随机变量，其 概率密度为f (x;1,,k ),
X为离散型随机变量，其 分布列为P{X x} P(x;1,,k ),