第二节 拉氏变换公式

a 0a
0
a f ( )eas d 0
再令 as
则
L[ f ( t )] a f ( )eas d a f ( )e d
a
0
0
aF () aF (as)
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 复数域积分定理
证：
s F(s) s2 1
求 et f (3t 2) 的象函数
解：由于
f
(t)

s s2 1
利用实位移定理
f
(t

2)

s
2
s
1
e2
s
由尺度变换定理
s
f
(3t
2)

1 3
3
2s
e3
(s)2 1

s
2
s
9

e
2 3
s
3
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
由复位移定理
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-10：求如下函数的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 复数域微分定理
证：
Ltf (t) dF (s)
ds
（2－30）
dF (s) d f (t)estdt d[ f (t)est ] dt
L

f
(t) t


F (s)ds
s

F (s)ds

f (t)estdtds
s
s0


f (t)dt
est ds
0
s
f (t)dt [1est ]
0
t
s
f (t) estdt L[ f (t)]
0t
t
（2－29）

n! s n1
高等函数初等函数
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-3：求解函数
的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 三、拉氏变换的主要运算定理
线性定理 微分定理 积分定理 位移定理 延时定理 卷积定理 初值定理 终值定理
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 线性定理
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-3：求如下函数的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-4：求如下函数的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-5：求如下函数的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-6：求如下函数的拉氏变换
叠加定理
比例定理
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-4：求以下函数的拉氏变换：
f(t)=K(1-e-at)
L[K(1-e-at)] =L[K] -L[Ke-at]
K s
K sa
Ka s(s a)
结论： 由此可见，根据拉氏变换的线性性质，求函
数乘以常数的象函数以及求几个函数相加减的结果 的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行计算。
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 初值定理
（2－26）
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
尺度变换定理
证：令 t a
L

f
(
t a
)


aF
(as)
（2－28）
则
L[ f ( t )] f ( t )estdt f ( )eas d (a )

f11(t)
f11 (t

T 2
)


f11
(t

T 2
)




f11
(t

T
)


4 T2
t

4 T2
(t

T 2
)

4 T2
(t

T 2
)

4 T2
(t
T)
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
终值定理
原函数f(t)的稳态性质
（2－25）
sF(s)在s=0邻域内的性质
F(S) L[1(t)] est ( 1)d(st)
0
s
（2－12）
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 单位速度函数的拉氏变换
斜坡函数
（2－13）
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
幂函数 t n 拉氏变换（法1）
根据函数 ( ) x1exdx 0
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-7：求如下函数的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-8：求如下函数的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-9：求如下函数的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-7：求如下函数的拉氏变换 练习2-8：求如下函数的拉氏变换 练习2-9：求如下函数的拉氏变换
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机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-1：求如下函数的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-2：求如下函数的拉氏变换
(n 1) n(n) n!
令
u st
则
L[tn ]
t nest dt
0

1 s n1
uneudu
0

n! s n1
（2－14）
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 幂函数的拉氏变换（法2）
（2－15）
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 单位加速度函数拉氏变换
解：（1） cos(t) 1 d sin(t) dt
L[sin(t )]

s2
2
L[cos(t )]

L
1

d
sin(t)
dt

1

s
s2
2
0

s2
s
2
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 （2） f(t)=δ(t)
例2-6：利用积分性质求函数f(t)=t的象函数
解：f(t)=t
t
( )d
0
L[f(t)]= 1 1 ss

1 s2
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 衰减定理（复位移定理）
（2－23）
原函数乘以指数函数e-at像函数F(S)在复数域中作位移a
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 例2-7：求 et sint 的拉氏变换 解：直接用复位移定理得：
在s的某一域内收敛，s为复
则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
（2－9）
式中：s=σ+jω（σ，ω均为正实数）；
F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数; f(t)称为F(s)的原函数； L为拉氏变换的符号。
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
est 称为收敛因子。
积分的结果不再是 t 的函数，而是复变量 s的函数。 所以拉氏变换是把一个时间域的函数f(t)变换到 s 域内的 复变函数F(s)。
O f ’’(t)
O
L[f(t)]= A/s- A/s ·e-sT
t
t
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-9：求图所示三角波的拉氏变换 f (t) 2
从图可知，三角波左边函数斜率
T
为
k1

4 T2
，右边函数斜率为
O
k2

4 T2
，则分段函数可表示为：
T
Tt
2
f (t) f1(t) f2 (t) f11(t) f12 (t) f21(t) f22 (t)
拉氏反变换的定义
（2－10）
其中L－1为拉氏反变换的符号。
用符号L-1 [ ]表示对方括号里的复变函数作拉氏
反变换。
L1[F (s)] 1
c

j
F
(s)est
ds
2 j c j
（2－11）
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 二、 典型函数的拉氏变换 阶跃函数的拉氏变换
抛物线函数
（2－16）
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 单位脉冲函数拉氏变换
洛必达法则
（2－17）
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 指数函数的拉氏变换
（2－18）
机械工程控制基础
例2-1：求解函数
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 三角函数的拉氏变换
eas f ( )es d 0
eas F (s)
（2－24）
原函数平移 像函数乘以 e-s
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-8：求f(t)的象函数
f(t)
A
T O
f ’(t)
解：
t
f(t)= f ’(t)+ f ’’(t) =Aε(t) -Aε(t-T)
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 微分定理
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 多重微分
（2－21）
原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-5：利用导数性质求以下函数的象函数：
（1）f(t)=cos(ωt) （2）f(t)=δ(t)
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
第二节 拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
一、拉氏变换的定义
设函数f(t)满足：
1. f(t)实函数；
2. 当t<0时 ， f(t)=0；
3. 当t0时, f(t)在每个区间上是分段连续的
3. f(t)的积分 变数
f (t)est dt 0
L
et
sin
t


(s

)2

2
求 et cost 的拉氏变换？
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 延时定理（实位移定理）
L[ f (t a)] f (t a)estdt 0
令＝t-a
L[ f (t a)] f ( )es( a)d ( a) 0
由于 δ(t)=dε(t)/dt
L[ (t)] L[d (t) / dt]
=s 1 - 0 s
=1
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 积分定理
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 多重积分
（2－22）
原函数的n重积分像函数中除以sn
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
（欧拉公式）
（2－19） （2－20）
机械工程控制基础 例2-2：求解函数
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 典型函数的拉氏变换小结
➢指数函数 ➢三角函数 ➢单位脉冲函数 ➢单位阶跃函数 ➢单位速度函数 ➢单位加速度函数 ➢幂函数
L[tn ]
et f (3t 2)
s 1
2 ( s1)
e3
(s 1)2 9
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习
练习2-1：求如下函数的拉氏变换 练习2-2：求如下函数的拉氏变换 练习2-3：求如下函数的拉氏变换
练习2-4：求如下函数的拉氏变换 练习2-5：求如下函数的拉氏变换 练习2-6：求如下函数的拉氏变换
ds ds 0
0
ds
tf (t)estdt L[tf (t)] 0
推论：
L (t)n
f
(t)

d nF(s) dsn
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-11：求如下函数的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-12：已知因果函数f(t)的象函数