最全拉氏变换计算公式

1

最全拉氏变换计算公式

1. 拉氏变换的基本性质 1

线性定理

齐次性

)()]([s aF t af L =

叠加性

)()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±

2

微分定理

一般形式

=

-=][ '- -=-=----=-∑1

1

)1()

1(1

22

2)

()()

0()()(0)0()(])([)0()(])

([

k k k k n

k k n n n

n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时

)(])([s F s dt

t f d L n n

n = 3

积分定理

一般形式

∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+-===+=+

+=+=

n

k t n n k n n n

n t t t dt t f s s s F dt t f L s

dt t f s dt t f s s F dt t f L s

dt t f s s F dt t f L 10

102

2022

]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个

共个

共

初始条件为0时

n n n s

s F dt t f L )

(]))(([=⎰⎰个

共

4 延迟定理（或称t 域平移定理）

)()](1)([s F e T t T t f L Ts -=--

5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=-

6 终值定理 )(lim )(lim 0

s sF t f s t →∞

→=

7 初值定理 )(lim )(lim 0

s sF t f s t ∞

→→=

8 卷积定理

)()(])()([])()([210

210

21s F s F d t f t f L d f t f L t

t =-=-⎰⎰τττττ

2

2． 常用函数的拉氏变换和z 变换表 序

号 拉氏变换E(s)

时间函数e(t) Z 变换E(z)

1 1

δ(t) 1

2 Ts

e --11

∑∞

=-=0)()(n T nT t t δδ

1

-z z 3 s

1 )(1t

1

-z z 4 2

1s t

2

)1(-z Tz

5 3

1s 2

2t

3

2

)1(2)1(-+z z z T

6 11+n s

!n t n

)(!)1(lim 0aT n n n a e

z z a n -→-∂∂- 7 a

s +1 at e - aT

e z z

-- 8 2

)(1a s +

at

te

- 2

)(aT aT e z Tze ---

9 )

(a s s a

+ at

e

--1

)

)(1()1(aT aT e z z z e ----- 10 )

)((b s a s a

b ++-

bt at e e --- bT

aT e z z

e z z ----- 11 2

2ωω

+s t ωsin

1

cos 2sin 2

+-T z z T

z ωω 12 2

2ω+s s

t ωcos

1

cos 2)

cos (2

+--T z z T z z ωω

13 22)(ω

ω

++a s t e at

ωsin - aT

aT aT e

T ze z T

ze 22cos 2sin ---+-ωω 14 2

2)(ω+++a s a s

t e

at

ωcos -

aT

aT aT e T ze z T ze z 222cos 2cos ---+--ωω

15

a

T s ln )/1(1- T t a /

a

z z -

3

3． 用查表法进行拉氏反变换

用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式

1110

111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++=

=---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根

这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=-=-++-++-+-=n

i i

i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122

11)(

式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：

)()(lim s F s s c i s s i i

-=→

或

i

s

s i s A s B c ='=

)()

(

式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数

[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11

1

)()(＝t

s n i i i

e c -=∑1

②

0)(=s A 有重根

设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为

())

()()()

(11n r r

s s s s s s s B s F ---=

+ =

n

n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11

111

111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；