求数列极限的几种方法
求数列极限的十五种解法
求数列极限的十五种方法1．定义法N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ；记作：lim n n a a →∞=，否则称{}n a 为发散数列．例1．求证：1lim 1nn a →∞=，其中0a >．证：当1a =时，结论显然成立．当1a >时，记11n a α=-，则0α>，由()1111(1)nn a n n ααα=+≥+=+-，得111na a n--≤， 任给0ε>，则当1a n N ε->=时，就有11n a ε-<，即11na ε-<，即1lim 1nn a →∞=．当01a <<时，令1b a=，则1b >，由上易知：1lim 1nn b →∞=，∴111lim 1lim n n nn a b→∞→∞==．综上，1lim 1nn a →∞=，其中0a >．例2．求：7lim !nn n →∞． 解：变式：77777777777771!1278917!6!n n n n n n=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤⋅=⋅-；∴77710!6!n n n -≤⋅， ∴0ε∀>，7716!N ε⎡⎤∃=⋅⎢⎣⎦，则当n N >时，有77710!6!n n n ε-≤⋅<；∴7lim 0!n n n →∞=． 2．利用柯西收敛准则柯西收敛准则：数列{}n a 收敛的充要条件是：0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >、时，总有：n m a a ε-<成立． 例3．证明：数列1sin (1, 2, 3, )2nn kk kx n ===⋅⋅⋅∑为收敛数列． 证：11111sin(1)sin 111112(122222212n mn m m n m n m m m n x x m -+++-+-=+⋅⋅⋅+≤+⋅⋅⋅+<<<-， 0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n m N >>时，有n m x x ε-<，由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛．例4．（有界变差数列收敛定理）若数列{}n x 满足条件：11221n n n n x x x x x x M ----+-+⋅⋅⋅-≤，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，则称{}n x 为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛．证：令1112210, n n n n n y y x x x x x x ---==-+-+⋅⋅⋅-，那么{}n y 单调递增，由已知可知：{}n y 有界，故{}n y 收敛， 从而0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >>时，有n m y y ε-<；此即1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-+⋅⋅⋅-<；由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛． 注：柯西收敛准则把N ε-定义中的n a 与a 的关系换成了n a 与m a 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性． 3．运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．例5．证明：数列n x =n 个根式，0a >，1, 2, n = ）极限存在，并求lim nn x →∞．证：由假设知n x =；①用数学归纳法可证：1, n n x x k N +>∈；② 此即证{}n x 是单调递增的．事实上，10n x +<<<1=；由①②可知：{}n x 单调递增有上界，从而lim n n x l →∞=存在，对①式两边取极限得：l =解得：l =l =；∴lim n n x →∞=4．利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数N ，当n N >时，有：n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=． 例6．求：22212lim()12n nn n n n n n n→∞++⋅⋅⋅+++++++．解：记：2221212n n x n n n n n n n =++⋅⋅⋅+++++++，则：2212121n n nx n n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤≤++++；∴22(1)(1)2(2)2(1)n n n n n x n n n n ++≤≤+++；从而22(1)1(1)lim lim 2(2)22(1)n n n n n n n n n n →∞→∞++==+++， ∴由迫敛性，得：222121lim()122n n n n n n n n n →∞++⋅⋅⋅+=++++++．注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用． 5．利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为()f x 定义在[, ]a b 上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数0ε>，总存在某一正数δ，使得对[, ]a b 的任意分割T ，在其上任意选取的点集{}i ξ，i ξ∈[]1,i i x x -，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称函数()f x 在[, ]a b 上（黎曼）可积，数J 为()f x 在[, ]a b 上的定积分，记作()baJ f x dx =⎰．例7．求：()()11lim !2!nnn n n n --→∞⎡⎤⋅⋅⎣⎦． 解：原式n n →∞→∞==112lim (1)(1)(1)nn n n n n →∞⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦11exp lim ln(1)nn i i nn →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑()()1expln(1)exp 2ln 21x dx =+=-⎰．例8．求：2sin sin sin lim 1112n n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+ ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭． 解：因为：222sinsinsin sin sin sin sin sin sin 111112n n n nn n n n n n n n n n n n n n nπππππππππ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+<+++++，又：2sinsinsin 12limlim (sin sin sin )11n n n n n nn n n n n n n n ππππππππ→∞→∞++⋅⋅⋅+⎡⎤=⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥++⎣⎦∴02sinsinsin 12limsin 1n n nn n xdx n ππππππ→∞++⋅⋅⋅+=⋅=+⎰； 同理：2sinsinsin 2lim1n n nn n n nππππ→∞++⋅⋅⋅+=+； 由迫敛性，得：2sin sin sin 2lim 1112n n n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+= ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭． 注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论．6．利用（海涅）归结原则求数列极限归结原则：0lim ()x xf x A →=⇔对任何0 ()n x x n →→∞，有lim ()n n f x A →∞=． 例9．求：11lim 1n n e n →∞-． 解：11001lim lim ()111n nx x n n e e e e n n=→∞→∞--'===-． 例10．计算：211lim 1nn n n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 解：一方面，2111(1)(1) ()n n e n n n n+-<+→→∞； 另一方面，2221112221111(1)(1)(1n n n n n n n n n n n n n -------+-=+≥+；由归结原则：（取2, 2, 3, 1n n x n n ==⋅⋅⋅-），22222111222211111lim(1)lim(1lim(1lim(1)lim(1)n n n x n n n n n n n x n n n n e x n n n n ----→∞→∞→∞→∞→∞----+=+⋅+=+=+=； 由迫敛性，得：211lim(1)nn e n n →∞+-=． 注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决． 7．利用施托尔茨（stolz ）定理求数列极限stolz 定理1：()∞∞型：若{}n y 是严格递增的正无穷大数列，它与数列{}n x 一起满足：11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．stolz 定理2：0()0型：若{}n y 是严格递减的趋向于零的数列，n →∞时，0n x →且11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．例11．求：112lim ()p p pp n n p N n +→∞++⋅⋅⋅+∈． 解：令112, , p p p p n n x n y n n N +=++⋅⋅⋅+=∈，则由定理1，得：112lim p p p p n n n +→∞++⋅⋅⋅+=11(1)lim (1)p p p n n n n ++→∞+=+-1(1)1lim (1)1(1)12p n p p n p p p p n n →∞-+=+⋅++-+⋅⋅⋅+． 注：本题亦可由方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略．例12．设02ln nk nk n CS n ==∑，求：lim n n S →∞． 解：令2n y n =，则{}n y 单调递增数列，于是由定理2得：lim n n S →∞=02ln lim nknk n C n =→∞∑110022ln ln lim (1)n nk k n nk k n C C n n++==→∞-=+-∑∑01ln 1lim 21nk n n n k n =→∞+-+=+∑11(1)ln(1)ln lim 21n k n n n k n +=→∞++-=+∑ 1ln()(1)ln(1)ln ln(1)1lim lim 2122nn n n n n n n n n n →∞→∞+++--+===+．注：stolz 定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用stolz 定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达（L'Hospita ）法则． 8．利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级数求和的知识使问题得到解决．例13．求：212lim()n n na a a→∞++⋅⋅⋅+，(1)a >． 解：令1x a =，则1x <，考虑级数：1nn nx ∞=∑．∵11(1)lim lim 1n n n n n n a n x x a nx ++→∞→∞+==<， ∴此级数是收敛的．令1()nn S x nx ∞==∑11n n x nx∞-==⋅∑，再令11()n n f x nx ∞-==∑，∵111()xxn n n n f t dt nt dt x ∞∞-=====∑∑⎰⎰1xx-；∴21()(1(1)x f x x x '==--； 而2()()(1)x S x x f x x =⋅=-；因此，原式=1112()(1)a S a a ---==-．9．利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题． 例14．设00x >，12(1)2n n nx x x ++=+(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明：数列{}n x 收敛，并求极限lim nn x →∞． 证：由00x >，可得：0n x >(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，令2(1)(), (0)2x f x x x+=>+， 则2210'()(2)2f x x <=<+，且12(1)(), 0, (0, 1, 2, )2n nn n nx f x x x n x ++==>=⋅⋅⋅+， 考虑级数：10n n n x x ∞+=-∑；由于11n n n n x x x x +--=-11()()n n n n f x f x x x ---=-11'()()12n n n n f x x x x ξ---<-；所以，级数10n n n x x ∞+=-∑收敛，从而10()n n n x x ∞+=-∑收敛．令()10nn k k k S x x +==-∑10n x x +=-，∵lim n n S →∞存在，∴10lim lim n n n n x x Sl +→∞→∞=+=（存在）；对式子：12(1)2n n n x xx ++=+，两边同时取极限：2(1)2l l l+=+，∴l =或l =（舍负）；∴lim nn x →∞= 例15．证明：111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在．（此极限值称为Euler 常数）． 证：设1111ln 23n a n n =++⋅⋅⋅+-，则1n n a a --=[]1ln ln(1)n n n---； 对函数ln y n =在[1, ]n n -上应用拉格朗日中值定理， 可得：1ln ln(1) (01)1n n n θθ--=<<-+，所以1211111(1)(1)n n a a n n n n n θθθ---=-=<-+-+-； 因为221(1)n n ∞=-∑收敛，由比较判别法知：12n n n a a ∞-=-∑也收敛， 所以lim nn a →∞存在，即111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在． 10．利用幂级数求极限利用基本初等函数的麦克劳林展开式，常常易求出一些特殊形式的数列极限． 例16．设11sin sin , sin sin(sin ) (2, 3, )n n x x x x n -===⋅⋅⋅，若sin 0x >，求：sin n n x →∞． 解：对于固定的x ，当n →∞时，1sin n x单调趋于无穷，由stolz 公式，有： 2222111lim sin lim lim 111sin sin sin n n n n n n n n n n x x x x →∞→∞→∞++-==-221lim 11sin (sin )sin n n n x x→∞=-46622220002244221()1sin 3lim lim lim 111sin (())sin 3t t t t t o t t t t t t t t o t t t +++→→→-⋅+⋅===----+46622004411()1()33lim lim 311()(1)33t t t t o t t o t t o t o ++→→-⋅+-⋅+===++． 11．利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质，其应用十分广泛．下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用．例17．求：2lim (arctan arctan )1n a an n n →∞-+，(0)a ≠． 解：设()arctan f x x =，在[, 1a an n+上应用拉格朗日中值定理， 得：21()()( [, ]1111a a a a a af f n n n n n nξξ-=-∈++++，故当n →∞时，0ξ→，可知：原式22lim 11n a nn a n ξ→∞=⋅⋅=++． 12．巧用无穷小数列求数列极限引理：数列{}n x 收敛于a 的充要条件是：数列{}n x a -为无穷小数列． 注：该引理说明，若lim nn x a →∞=，则n x 可作“变量”替换：令n n x a α=+，其中{}n α是一个无穷小数列． 定理1：若数列{}n α为无穷小数列，则数列{}n α也为无穷小数列，反之亦成立． 定理2：若数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．推论1：设数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．例18．（算术平均收敛公式）设lim n n x a →∞=，求极限12limnn x x x n→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim nn x a →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，其中{}n α是一无穷小数列； 由定理2的结论有：12lim n n x x x n →∞++⋅⋅⋅+12()()()lim n n a a a nααα→∞++++⋅⋅⋅++= 1212()()lim lim 0n n n n na a a a n nαααααα→∞→∞+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==+=+=．此题还可以用方法1（定义法）证明，也可通过方法7（stolz 公式）求得，此处略．例19．设lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，求极限1211lim n n n n x y x y x y n-→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，n n y b β=+，其中{}n α，{}n β都是一无穷小数列， 故1211lim n n n n x y x y x y n -→∞++⋅⋅⋅+11()()()()lim n n n a b a b nαβαβ→∞+++⋅⋅⋅+++= 1111lim n n n n n ab b a n n n ααββαβαβ→∞+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦ 因为0n β→()n →∞，所以{}n β有界数列，即n M β≤， 从而结合上述推论1，有：12110 ()nn n M n nnααααβαβ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅≤⋅→→∞，再根据定理1，即有：110 ()n n n nαβαβ+⋅⋅⋅→→∞；又由定理2，可知：10na nββ+⋅⋅⋅+⋅→，10 ()nb n nαα+⋅⋅⋅+⋅→→∞；∴1211lim n n n n x y x y x y ab n-→∞++⋅⋅⋅+=．注：利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚少，但却是一种很实用有效的方法．用这种方法求某类数列的极限是极为方便的． 13．利用无穷小的等价代换求某些函数列的极限定理：设函数()f x 、()g x 在0x =的某个领域有意义，()0g x >，0()lim 1()x f x g x →=，且当n →∞时，0mn a →(1, 2, 3, )m =⋅⋅⋅，11lim ()lim ()nnmn mn n n m m f a g a →∞→∞===∑∑，则在右端极限存在时成立．例20．求极限1lim 1)nn i →∞=∑．解：令()1f x =-，1()3g x x =，当0x →1x ~，由定理1，得：2111111lim 1)lim 3326nnn n i i i n→∞→∞===⋅=⋅=∑∑． 例21．求：2231lim (1)nn i i a n →∞=+∏，（a 为非零常数）． 解：原式2331exp lim ln(1)nn i i a n →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑；令()ln(1)f x x =+，当0x →时，ln(1)x x +~， 由定理1，得：22333311lim ln(1)lim nnn n i i i i a a n n→∞→∞==+=∑∑223(1)(21)1lim 63n n n n a a n →∞++==；∴2231lim (1)nn i i a n →∞=+=∏21exp()3a ． 注：我们知道，当0x →时，函数sin , tan , arcsin , arctan , 1, ln(1)x x x x x e x -+都x 与等价，倘若熟悉这些等价函数，观察它们与本文定理中的()f x 的关系，把求某些函数列极限问题转化为求熟知的数列极限问题，这样就会起到事半功倍的效果． 14．利用压缩映射原理求数列极限定义1：设()f x 在[, ]a b 上有定义，方程()f x x =在[, ]a b 上的解称为()f x 在[, ]a b 上的不动点． 定义2：若存在一个常数k ，且01k ≤<，使得[, ]x y a b ∀∈、有()()f x f y k x y -≤-，则称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射．压缩映射原理：设称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射且0x ∈[, ]a b ，1()n n x f x +=，对n N ∀∈，有[, ]n x a b ∈，则称()f x 在[, ]a b 上存在唯一的不动点c ，且lim nn x c →∞=． 例22．设12ax =，212n n a x x ++=(01)a <<，1, 2, n =⋅⋅⋅，求lim nn x →∞． 解：考察函数2()22a x f x =+，1[0,2ax +∈， 易见对1[0, ]2a x +∀∈，有：21()2n n n a x x f x ++==，11[0, 22a a x +=∈，1()12af x x +'=≤<； 所以，()f x 是压缩的，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛．设lim nn x c →∞=，则c 是222a x x =+在1[0, ]2a +的解，解得1c =，即lim 1n n x →∞=例23．证明：数列n x =（n 个根式，14a >，1, 2, n =⋅⋅⋅）极限存在，并求lim nn x →∞．解：易知：n x =，考察函数：()f x =，[0, )x ∈+∞且在[0, )+∞上有：1f '<，因此，()f x 在[0, )+∞上是压缩的；1[0, )x =+∞，1()n n x f x +=，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛且极限为方程：()x f x ==的解，解得：lim n n x →∞=本题也可通过方法三（单调有界定理）解得，此处略．注：压缩映射原理在实分析中有着十分广泛的应用，如用它可十分简单的证明稳函数存在定理、微分方程解的存在性定理，特别的在求一些数列极限中有着十分重要的作用，往往可以使数列极限问题得到简便快速的解决．15．利用矩阵求解一类数列的极限（1）若数列的递推公式形如：12n n n x px qx --=+且已知01x x 、，其中p q 、为常数且0p ≠，0q ≠，2, 3, n =⋅⋅⋅；解：可将递推公式写成矩阵形式，则有1111201010n n n n n x x x p q p q x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2, 3, n =⋅⋅⋅，从而可利用线性代数知识求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞．（2）若数列的递推公式形如：11n n n ax bx cx d--+=+且已知0x ，其中0c ≠且ad bc ≠，1, 2, n =⋅⋅⋅，解法1：令211n n n y cx d y ---+=，则1121()n n n y x d c y ---=-，11()n n n yx d c y -=-， 从而有：121211()(())n n n n n n y yy a d d b c y c y y ------=-+⋅，整理得：12()()n n n y a d y bc ad y --=++-，再由（1）可以求解． 解法2：设与关系式010ax b x cx d +=+对应的矩阵为a b A c b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由关系式11n nn ax b x cx d --+=+； 逐次递推，有00n nn n n a x b x c x d +=+，其对应的矩阵为nn n n a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 利用数学归纳法易证得n B A =，通过计算n A 可求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞． 例24．证明：满足递推公式11(1)n n n x x x αα+-=+-(01)α<<的任何实数序列{}n x 有一个极限，并求出以α、0x 及1x 表示的极限．解：由已知可得：111111200111010n n n n n n x x x x A x x x x αααα-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（110A αα-⎛⎫=⎪⎝⎭）； 矩阵A 的特征值121, 1λλα==-，对应的特征向量分别为：''12(1, 1), (1, 1)ξξα==-；令1211(, )11P αξξ-⎛⎫== ⎪⎝⎭，则11001P AP α-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，从而有：()()11111111111111120101n n n AP P ααααα----⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()111111121111n nn n ααααααα--⎛⎫---+- ⎪= ⎪----+-⎝⎭； 于是，101(1(1))(1(1))2n n n x x x αααα=--+-+-⎡⎤⎣⎦-． 因为11α-<，所以lim(1)0nn α→∞-=，从而[]011lim (1)2n n x x x αα→∞=-+-． 例25．已知斐波那契数列定义为：1101 (1, 2, 1)n n n F F F n F F +-=+=⋅⋅⋅==；；若令1n n n F x F +=，01x =且111n n x x -=+，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明极限lim nn x →∞存在并求此极限． 解：显然1011x x =+，相应矩阵0111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的特征值12 λλ==，对应的特征向量分别为：''12 1), 1)ξξ==；令()21121211, 111111P λλλλξξ⎛⎫--⎛⎫ ⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭，11211P λλ-⎫=⎪--⎭； 则有：11200P AP λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭；于是11112121112121200nn n n n nn n n n n A P P λλλλλλλλλλ---++--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭；从而，()111212111212, 1, 2, n n n nn nn n n x n λλλλλλλλ--++-+-==⋅⋅⋅-+-， 由于211λλ<，上式右端分子、分母同时除以1n λ， 再令n →∞，则有：1lim limn n n n n F x F →∞→∞+==． 注：求由常系数线性递推公式所确定的数列的极限有很多种方法，矩阵解法只是其一，但与之相关的论述很少，但却简单实用．。
求极限的12种方法总结及例题
求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。
通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
求极限的几种方法
求极限的几种方法在数学分析中，求极限是一种重要的技巧和方法，用于研究数列、函数的收敛性和特性。
对于求极限的方法，可以总结为以下几类：代入法、夹逼法、等价无穷小代换法、洛必达法则、泰勒展开精确到n次、换元法、分数分解法、递归关系法等。
一、代入法：代入法是求函数极限的最基本的方法之一，适用于绝大多数最简单的函数。
通过将自变量值代入函数中，得到具体的函数值，看函数的值是否有限并趋于确定的值，如果有限且趋于确定的值，则可以认为该函数极限存在，并等于该确定的值。
当然，代入法只是一种相对简单和直观的方法，并不适用于复杂函数的极限计算。
二、夹逼法：夹逼法也被称为迫敛法或挤压定理，适用于数列或函数的极限计算。
当数列或函数存在上、下界，且上、下界的极限都为所求极限时，可以通过夹逼法来证明所求极限的存在并求得。
三、等价无穷小代换法：等价无穷小代换法是一种常用的得到极限的方法之一，将一个复杂的极限问题转化成一个简单的等价无穷小求极限问题。
其主要思想是将原函数与理论已知的函数进行比较，找出它们之间的等价关系，进而得到原函数的极限。
常用的等价无穷小有：指数、对数、三角函数等。
四、洛必达法则：洛必达法则是求函数极限的常用方法之一，主要用于求解0/0型或∞/∞型的极限。
其基本思想是将函数的极限转化成求导数的极限。
通常情况下，通过不断使用洛必达法则，可以通过求多次极限最终得到函数的极限。
五、泰勒展开精确到n次：对于有限次求导的函数，可以使用泰勒展开式来近似估计函数极限。
泰勒展开式是用若干项之和来逼近一个函数的方法，通过将函数展开成多项式形式，可以在一定程度上表示出原函数的性质。
通常情况下，使用泰勒展开精确到n次可以更加准确地求得函数的极限。
六、换元法：换元法也称为特殊换元法，通过选择合适的换元变量，将原来复杂的极限问题转化成更加简单的极限计算问题。
常见的换元方法有：取代法、正弦替换法、余弦替换法、平方根替换法等。
七、分数分解法：分数分解法是一种常用的计算复杂函数极限的方法，通过将极限问题利用分式相除的形式，将复杂的极限表达式化简成多个简单函数之比的极限表达式，进而进行求解。
数列极限求解的几种常用方法
数列极限的求解技巧
数列极限的求解技巧数列极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了一个数列在趋向于无穷大时的表现。
求解数列极限的过程涉及到各种技巧和方法。
本文将介绍一些常用的数列极限求解技巧。
1. 数列的定义和性质：首先，我们需要理解数列的定义和性质。
一个数列是由一个函数定义的，其中的每个项是函数在自然数集上的取值。
数列有许多重要的性质，如收敛、发散等。
我们需要熟悉这些性质，以便有效地求解极限。
2. 极限的定义和性质：了解极限的定义和性质也是求解数列极限的关键。
数列的极限定义为当数列中的项无限接近某个常数时，这个常数就是数列的极限。
极限有一些基本的性质，如唯一性和保序性等，我们要熟悉并应用这些性质来求解极限。
3. 递归关系：有些数列可以通过递推关系来定义，即每一项都是前一项的函数。
求解这种数列的极限可以利用递归的思想。
通常，我们可以通过递归关系将数列的项表示为较简单的形式，然后求解这个简化后的数列的极限。
4. 二次递推数列的求解：对于二次递推数列，即每一项都是前两项的函数，求解极限有特定的技巧。
通常，我们可以将这种数列的项表示为相关的二次方程，然后利用求解二次方程的方法求解极限。
5. 求和数列的求解：对于求和数列，即每一项是前若干项的求和，求解极限可以利用求和公式或求和性质。
例如，我们可以利用等差数列的求和公式或等比数列的求和公式来求解相应的极限。
6. 夹逼定理：夹逼定理是求解数列极限的重要工具。
夹逼定理的基本思想是通过构造两个夹逼数列，使得这两个数列的极限相等，从而求出原数列的极限。
夹逼定理可以用来解决一些复杂的极限问题，尤其是当数列无法直接求解时。
7. 最值性质：数列的最值性质也是求解极限的一种方法。
最大值或最小值定理可以用来确定数列的极限。
通过证明数列的项递增或递减，并有上界或下界，我们可以得出数列的极限。
8. 逐项相加：有些复杂的数列可以通过在等式两边逐项相加或相乘的方式来求解。
通过逐项相加或相乘，我们可以把复杂的数列分解成更简单的数列，然后求解这些简单数列的极限。
求数列极限方法总结归纳
求数列极限方法总结归纳极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到，平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。
极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。
熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。
极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。
熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键, 极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算。
以下我们就极限的内容简单总结下。
极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。
四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。
与极限计算相关知识点包括：连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在；渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)；多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。
下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。
求数列极限可以归纳为以下三种形式。
求数列极限的技巧与方法
47关注[2012.6]一、引言数列极限是数学这门学科的重要内容之一。
对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得很困难，不仅计算量大，而且不一定就能求出结果。
因此，为了解决求极限的问题，我们在研究比较复杂的数列极限问题时,通常先考查该数列极限的存在性问题;如果有极限,我们再考虑如何计算此极限(也就是极限值的计算问题)。
这就是极限理论的两个基本问题。
求数列极限的方法多种多样,比如:化简通项求极限、单调有界原理求极限等。
现在我通过一些具体的例子,和大家一起探讨求数列极限的常用技巧与方法。
二、求数列极限的常用技巧与方法1.化简通项求极限在求一些比较复杂的数列极限,特别是处理通项为n 项和式的一类很特殊的极限时,经常先对通项进行化简,化简时往往利用链锁消去法。
其工作原理如下:若lim n→∞a n=∞,a n≠0,则nk =1∑(1a k-1ak+1)=(1a 1-1a 2)+(1a 2-1a 3)+…+（1a k -1a k+1）=1a 1-1a k+1。
因此lim n→∞nk =1∑（1ak -1a k+1）=lim n→∞（1a 1-1a n+1）=1a 1。
应用时往往需要把通项nk =1∑x k 中的x k裂项为x k =1a k -1a k+1），具体实施可用待定系数法。
例1：求极限lim n→∞nk =1∑(-1)k+12k+1k(k+1)。
解:(-1)k+12k+1k(k+1)=(-1)k+1(1k +1k+1)=-[(-1)k k -(-1)k+1k+1]，n k =1∑(-1)k+12k+1k(k+1)=-n k =1∑((-1)k k -(-1)k+1k+1=-(-1-(-1)n+1n+1→1(n→∞)，所以lim n→∞nk =1∑(-1)k+12k+1k(k+1)=1。
2.利用级数求n 项和式的极限通项为和式的数列极限，可以化为积分或级数求和问题，当然也是计算这类数列极限的一个重要方法。
(整理)求极限的多种方法
求极限的多种方法一，根据迫敛性求极限1，求数列极限定理2.6：设收敛数列{a n }，{b n }都以a 为极限，数列{c n }满足：存在正数N 0,当n>N 0,时有a n ≤c n ≤ bn，则数列{c n }收敛，且a n c n =∞-lim 。
例lim ∞-n （nnnn++++++2221 (2)111）nnn+2≤nn nn++++++2221 (2)111≤nn2≡1lim∞-n nnn+2=lim∞-n nn2=1所以lim ∞-n （nnnn++++++2221 (2)111）=12，求函数极限定理3.6：设,)()(lim lim 0A x g x f x x x x ==--且在某);(00δx u 内有则A x h x x =-)(lim 0例 求]1[lim 0x x x -当x.>0时，1-x ＜]1[x x ≤1而lim 0+-x （1-x ）=1故由迫敛性可知，]1[lim 0x x x -=1另一方面，当x<0时，有1＜]1[x x ≤1-x ，故由迫敛性又可得，]1[lim 0x x x -=1综上求得]1[lim 0x x x -=1二，利用四则运算求极限定理3.7：若极限lim 0x x -f(x)与lim 0x x -g(x)都存在，则函数f+g,f-g,f.g,，当x x 0→的极限也存在，且 1)lim 0x x -[f(x)±g(x)]＝lim 0x x -f(x)±lim 0x x -g(x)2) lim 0x x -[f(x)g(x)] ＝lim 0x x -f(x).lim 0x x -g(x)3)limx x -)()(x g x f ＝lim 0x x -f(x)／lim 0x x -g(x) 例2lim 4π-x (xtanx-1) 解 由xtanx=xx xcos sin lim 4π-x sinx=22= lim 4π-x cosx 按四则运算法则有lim 4π-x (xtanx-1)=lim 4π-x x.x x x x cos sin lim lim 44ππ--－lim 4π-x 1=14-π三，两个重要极限1sin lim 0=-x x x )11(lim xxx +∞-=e例2 求lim-x xx2cos 1-lim-x xx2cos 1- =2121]22sin[lim 22=-ππx例3 求lim 0-x )21(1x x+lim 0-x )21(1x x +=lim 0-x [⋅+)21(21x x ⋅+)21(21x x]=lim 0-x ⋅+)21(21x xlim 0-x ⋅+)21(21x x=e 2四，运用洛比达法则求极限1，0型不定式极限定理6.6若函数f 和g 满足 1）lim 0x x -f(x)=lim 0x x -g(x)=02)在点x0的某空心领域)(00x u 内两者可导且)(,x g ≠03）lim 0x x -)()(,,x x g f =A 则lim 0x x -)()(x g x f =lim 0x x -)()(,,x x g f =A例2 求xxx tanlim2cos 1+-π解容易检验f(x)=1+cosx 与g(x)=x tan 2在点x0=π的领域内满足的条件1）和2）212,,sec tan 2sin lim )()(lim ==---x tx x x g x f x x ππ故洛比达法则得)()(lim x g x f x π-=212,,sec tan 2sin lim )()(lim ==---x tx x x g x f x x ππ2，∞∞型不定极限 定理6.7若函数f 和g 满足 1）lim 0x x +-f(x)= lim 0x x +-g(x)=∞2)在x0的某右领域)(0x u +为两者可导，且)(,x g ≠0 3）lim 0x x +-)(,,)(x g x f =A 则lim 0x x +-)()(x g x f =lim 0x x +-)(,,)(x g x f =A例2x xx ln lim +∞- 解;由定理6.7有x x x ln lim +∞-=01lim )(ln lim ,,==+∞-+-xx x xx 3，其他类型不定式极限 例7 求xinx x lim 0+-解：这是一个0.∞型不定式极限，用恒等变形xlnx=xx 1ln 将它转化为∞∞型的不定式极限，并应用洛比达则xinx x lim 0+-=lim 0+-x xx1ln =lim 0+-x (-x)=0 例8 求lim 0-x x x cos 21解;这是一个1∞型不定式极限，做恒等变换e x x x x 2211cos ln cos =其指数部分的极限lim-x xx2cos ln 是00型不定式极限，可先求的lim 0-x xx 2cos ln =-1/2 从而得到lim 0-x x x cos 21=e 21-例10 求lim +∞-x )1(2ln 1x x x++这是一个∞0型不定式极限，类似先求对数极限lim+∞-x xx x ln 1ln(2++=lim+∞-x xx1112+=1 于是有lim +∞-x )1(2ln 1x x x++=e五，利用泰勒公式求极限例3 求极限lim-x xexx 422cos --首先考虑到极限式的分母为x 4，我们用麦克劳林公式表示极限分子（取n=4） Cosx=1-22x +)(05442x x +ex22-=1-22x +)(0854x x+ Cosx-ex22-=-)(01254x x+因而求得例4lim-x xexx 422cos --=lim-x xx x 454)(0121+-= -121 六，利用定义求极限例5根据定义的N -ε 语言，数列 {}n a 收敛N n R a >∀∈∃⇔,,有ε<-a a n 。
数列求极限的方法总结
数列求极限的方法总结1. 数列的收敛性在数学中，我们经常需要研究数列的极限。
首先，我们需要确定数列是否收敛。
一个数列收敛是指当n趋近于无穷大时，数列的值逐渐趋近于一个常数。
数列不收敛，则意味着数列的值在无穷大的范围内没有趋近于一个特定的值。
常用的方法来判断数列的收敛性有：•利用定义：若存在一个常数L，使得对于任意给定的$\\epsilon>0$，存在自然数N>0，使得当n>N时，$|a_n-L|<\\epsilon$，则数列a n收敛于L。
•利用数列的增减性：若数列a n单调递增且有上界，则数列a n收敛。
•利用数列的单调性：若数列a n单调递增或单调递减，则数列a n收敛。
2. 常用的数列极限求解方法对于已经确定收敛的数列a n，我们可以使用以下方法求解它的极限。
2.1 代入法对于一些简单的数列，可以直接通过代入法求得它的极限。
代入法是将数列的项逐一代入到极限定义中进行计算。
例如，考虑数列$a_n = \\frac{1}{n}$，我们可以代入$n=1,2,3,\\ldots$，计算出相应的数值：$a_1 = \\frac{1}{1} = 1$$a_2 = \\frac{1}{2} = 0.5$$a_3 = \\frac{1}{3} \\approx 0.33$…可以观察到数列a n随着n的增大逐渐趋近于0。
因此，我们可以推断出数列a n的极限为0。
2.2 常用的极限计算公式有一些常用的数列极限计算公式，可以帮助我们快速求解一些特定数列的极限。
2.2.1 基本公式•当k为常数时，$\\lim\\limits_{n\\to\\infty}k = k$•$\\lim\\limits_{n\\to\\infty} \\frac{1}{n} = 0$•$\\lim\\limits_{n\\to\\infty} \\frac{1}{n^k} = 0$，其中k为正整数2.2.2 通项公式对于一些有通项公式的数列，我们可以通过直接计算通项公式在n趋近于无穷大时的极限来求解数列的极限。
求数列的极限的方法
求数列的极限的方法求数列的极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了数列在无限逼近的过程中，数值趋于的一个确定值或者无穷大的现象。
数列的极限不仅在数学中有重要应用，还在物理、经济和工程等学科中发挥着重要作用。
在解决实际问题中，了解数列的极限有助于我们预测和分析变化的趋势，优化方案和做出合理决策。
下面将介绍数列的极限的计算方法和应用。
首先，计算数列极限的方法有多种，常见的有代数，几何和收敛定理等方法。
代数方法一般通过对数列的通项公式进行变形运算，推导出其极限的表达式。
几何方法则通过图形的观察和几何直观的解释，帮助我们理解和计算数列的极限。
收敛定理是基于数列的性质和数学定理，通过理论推导和证明来确定数列的极限。
接下来将介绍常见的代数方法和收敛定理方法。
一、代数方法1. 直接代入法：数列的极限可以直接通过将自变量取极限来确定，即将数列中的n值逐渐加大，观察数列的极限情况。
例如，对于数列an=1/n，当n趋于无穷大时，1/n的值逐渐接近于0，因此数列an的极限为0。
2. 分子有界法：数列极限可以通过计算数列的分子项和分母项的极限来确定。
当数列中的分子项在n趋近无穷大时有界，而分母项趋于无穷大时，可以得出数列的极限为0。
例如，对于数列an=(n+1)/(n^2+1)，当n趋近无穷大时，分子项n+1是有界的，并且分母项n^2+1趋近无穷大，因此可以得出数列an的极限为0。
3. 数列通项分解法：对于复杂的数列，可以通过将其通项进行分解，得到更简单的数列的极限。
例如，对于数列an=(n^2+1)/(2n^2+3n)，可以将其分解为an=(n^2/n^2)(1+1/n)/(2+3/n)，然后运用数列的性质，分别计算分子项和分母项的极限，最后得出数列an的极限。
二、收敛定理方法1. 夹逼定理：夹逼定理是数列极限的重要定理之一，可以通过夹逼定理来求解一些复杂或者难以直接计算的数列极限。
夹逼定理的基本思想是通过构造两个辅助数列，一个较小且比待求数列逼近其极限值，另一个较大且比待求数列逼近其极限值，从而利用这两个数列来夹逼待求数列的极限值。
求数列极限的若干方法
数列极限的计算方法总结
数列极限的计算方法总结
计算数列极限的方法有以下几种：
1. 算术平均法：如果数列的前n项的平均值与极限L足够接近，则认为该数列的极限为L。
2. 递推法：通过递归的方式计算数列的每一项，当数列的前n
项与极限L足够接近时，认为该数列的极限为L。
3. 代数运算法：对数列进行一系列代数运算，如取对数、求导、化简等，将其转化为易于计算的形式，然后计算其极限。
4. 特殊数列的极限公式：对于一些特殊的数列，有固定的计算公式可以直接得出其极限。
例如，等差数列的极限公式为首项加末项再除以2；等比数列的极限公式为首项与公比的幂次幂
乘积等等。
5. 单调有界数列的极限定理：如果一个数列是单调递增（递减）且有上界（下界）的话，那么该数列就有极限。
此时极限即为数列的上界（下界）。
6. 夹逼定理：如果一个数列在无穷大或无穷小的部分夹在两个收敛数列之间，并且这两个收敛数列的极限相等，那么该数列也会收敛，并且极限也等于这两个收敛数列的极限。
总结来说，计算数列极限的方法主要包括直接求均值、递推推导、代数运算等方法，也可以利用数列的特性或数列的极限定
理快速计算。
不同的方法适用于不同的数列，需要具体分析问题来选择合适的方法。
求极限的方法
求数列极限的方法极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。
求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。
夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。
泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。
还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。
1.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn ﹜是一个数列,a 是实数,如果对任意给定的ε〉0,总存在一个正整数N ，当n 〉N 时,都有a Xn -<ε,我们就称a 是数列{Xn}的极限.记为a Xn n =∞→lim .例1: 按定义证明0!1lim=∞→n n . 解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n令1/n<ε,则让n>ε1即可,存在N=[ε1],当n>N 时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n<ε成立,所以0!1lim =∞→n n .2.利用极限四则运算法则对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则.例2: 求nnn b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim ,其中1,1<<b a .解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限bb b b b a a a a a n nn n --=++++--=++++++111,1111212 ,原式=a b ba b b a a n n n n --=--=----+∞→+∞→11111111lim11lim 11, 3. 利用夹逼性定理求极限若存在正整数N,当n>N 时,有Xn ≤Yn ≤Zn,且a Zn Xn n n ==∞→∞→lim lim ,则有a Yn n =∞→lim .例3:求{21nn+}的极限. 解: 对任意正整数n,显然有n nn n n n 221122=≤+<,而01→n ,02→n,由夹逼性定理得 01lim 2=+∞→nnn .4．换元法通过换元将复杂的极限化为简单.例4.求极限21lim +-∞→n n n a a ，此时解：若 有 ，令 则5.单调有界原理 例5.证明数列有极限，并求其极限。
数列极限的三种求法
数列极限的三种求法在数学学科中，数列是一种有规律的数字序列，其中每个数字都按照特定的规则来排列。
而数列极限则是数列中无限靠近某一特定值的最终数字，也就是说，数列极限可以确定一个数列的整体趋势。
在实际应用中，数列的极限在物理、计算机科学、经济学等领域发挥着重要的作用。
因此，学会如何求解数列的极限非常重要。
接下来就介绍三种常见的数列极限求解方法：一、代数法第一种方法是代数法，这种方法比较直接，只需要代入n趋向无穷大的值即可。
例如，对于数列{1/n}（n=1, 2, 3, ……），我们可以使用代数法求它的极限。
当n趋向无穷大时，1/n的值越来越小，而我们可以看到1/n的值最小为无限接近于0。
因此，根据代数法，当n趋向无穷大时，1/n的极限为0。
二、夹逼法第二种方法是夹逼法，这种方法需要利用已知的数列加上一个比较紧密的数列来夹逼住待求解的数列，从而推导出它的极限。
当然，夹逼法对所要求解的数列和两个比较紧密的数列有一定的要求。
例如，对于数列（-1）的n次方/n，我们可以使用夹逼法求它的极限。
当n为奇数时，数列（-1）的n次方/n小于等于0，而数列（-1）的n+1次方/n大于等于0。
因此，当n趋向无穷大时，夹在它们之间的数列（-1）的n次方/n的极限为0。
三、通项法第三种方法是通项法，也就是通过特定的公式推导出数列的通项公式，然后求出它的极限。
通项法对于有规律的数列比较有效，但是如果无规律，通项公式就很难求出。
例如，对于数列{sin(n*π/4)}（n=1, 2, 3, ……），我们可以使用通项法求它的极限。
由于规律是sin(n*π/4)，而当n趋向无穷大时，sin(n*π/4)在8个值中循环。
因此，当n趋向无穷大时，数列{sin(n*π/4)}的极限等于该循环的最大值和最小值之间的所有值的平均值，即（1+√2）/2和（1-√2）/2的平均值，即0。
这三种方法，代数法相对简单直接，夹逼法应用范围比较广泛，而通项法对于有规律的数列比较有效。
数列极限的几种计算方.
3n 2 n 2-3-3数列极限的几种计算方法1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1数学的应用，在我们的生活中随处可见，而数学分析中的数列极限是高等数学的重 要内容，是贯穿于整个微积分教学的主线，它描述了变量在运动过程中的变化趋势，是 从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的必备推理工具.同时，数列极限又 是极限的基础，它的计算是微积分教学中的重点和难点，所以本文通过典型实例，对数 列极限的计算方法做了一些规律性的分析和总结.二计算方法 1定义法设为数列，a 为任一常数，若对任给的；7,总存在N>0,使得当n>N 时,有a. - a c s 则称数列牯,收敛于a ,或称数列以为极限a.注1 一般来说，用定义求数列极限局限性很大，它更多地被应用于有关极限值 的相关证明，对于如何用数列极限定义证明数列极限问题， 常用的基本方法有：适当 放大法，条件放大法.3n 2例题1用定义法证明数列极限冋厂弋 分析由于 9n 一3 .n因此，对任给的；0,只要9 ：：：；,便有n3n 2 n 2-33即当？：：：；时,左边的式子成立•又由于（1）式是在n —3的条件下成立的，故应取n9N 二 max{3, —}.z9 证明 任给；0,取N = max{3, -}. z根据分析，当n • N 时3n 2n 2-3于是此题得证.2利用数列极限的四则运算法则计算数列极限设极限lim a n 与lim b n 均存在，则nn _po(1) lim a n士b n= lim a n士 lim b n;n — %f n —sc n _咨(2) lim a nb n=lima nlimb n;n — * * n —sc(3) lim ca n= clim a n;n ^^ n _iClim a n--limb n";注2数列极限的四则运算只能推广到有限个数列的情况， 而不能推广到无限个数列 或不定个数的数列上去.1 1 c2 2 5 6 = 2n 5n -n n 解 lim 2limn------- -- n「n 3n 4 n「3 ]4 q n n 2( 1 1 )lim2 5 - -6 飞 n1 n n 2( 1 1 \ lim 13 4 2nn n 23利用数列的一些特征计算数列极限a nb nlimb n n/n _ac2n 25n - 6例题2求极限lim 2nTc n +3n +4分析由于n r "，，所以有-r 0， n数列极限四则运算法计算即可.4 > 0.于是给分子分母同时除以n 2，再利用 n4利用夹逼准则计算数列极限设 lim a n ，lim g 均存在，且 lim a “ 二 A,lim g 二 A ，若数列｛c n｝满足 a n_c n — b n，则有n ^^ n ^^ n _^c11 111111lim c n = A.n _j :注4利用夹逼准则求极限的关键是：将原数列适当地放大和缩小，使得放大后和缩小后的两个新数列的极限值相等，贝U 原数列的极限值存在且等于新数列的极限值 .111 1例题 4 计算数歹U 极限 lim —^=2+ / 2+ /2 = +，''十 』2 :f &n 2 +1 J n 2+2 J n 2+3 J n 2+n 丿分析 括号里的数列极限不能用上面的方法，但是，数列可以放大和缩小，所以关 键是找到极限值相等的数列｛a n｝与｛b n｝，进而可以用夹逼准则来计算数列极限注3此种方法也就是直接将数列进行化简，从而计算出数列极限 •方法只适用于些特殊的数列，不具有一般性.例题 f 1 1 13计算极限lim + ++' ■■+J X 2 2x3 3x41（n —1" n 』 f n 1 、 1分析 观察数列，可以看出数列极限为lim = —1—，通项a 」=―1—，由(i —1)如， (n — 1)x n- --，所以括号中的式子可用裂项相消法计算，以此可以解出数列极限(n -1) n n -1 nlimn L :（n 一1）汉 n y-•丄2 2解5利用“单调有界数列必有极限”准则求解数列极限(a) 如果数列｛a n｝单调增加且有上界，即存在数M,使得a^M n = 1,2….那么lim a n* * n^ic存在且不大于M.(b) 如果数列｛a n｝单调递减且下界，即存在数m,使得a n_ m n =1,2…，那么lim a.存在且不小于m.注5递推数列极限的计算是数列极限计算中的一大类问题.而“单调有界准则”是判别递推数列极限是否存在最常用的一种方法，它不用借助其它数列而是直接利用所给数列自身的单调性和有界性来判别极限的存在性.例题5计算数列极限人-2, x2 - • 2 • . 2 ,…,x n = 2 x n,求lim x n分析(1)通过观察可以看出x, ::：x2…x^即数列｛x n｝单调增加；(2)X1 ：：：2,X2「WE —W2 =2，…,X n 二-.2 •X n',厂2 =2,即数列｛x n｝有上界. 所以，由单调有界准则知，数列极限存在，设lim = a，然后计算出常数a即为数列极限.解由单调有界准则知，数列极限存在，设lim焉二a,V X n =逗:x 4所以给等式两边取极限得］叫& jm广2也，也即a二庞―a,解出a =2或a =T.又由于X n 0,所以取a =2.例题6设捲=丄,y i =1,X n =族川」,丄J 丄+丄,证明数列｛焉｝ , ｛ y .｝收敛, 2 y n 2Mn 」 y n 」丿 且有相同的极限•分析 因数列｛X n ｝与数列｛y n ｝之间有大小关系，所以只要明确两者之间的关系，利 用夹逼准则，就可证明两个数列极限均存在，进而证明两个极限相等又：X n 二JX^i y nd j X n-i X n 」二X n" 数列仇｝单调递减，且有0 ：：：：：：为=1且有1二力”：y n ，于是1二力疳y 2疳…”：y n 疳x .：：：…：：：捲=1.2所以 数列｛X n ｝单调递减有下界，数列｛Y n ｝单调增加有上界; 由单调有界准则知两个数列的极限均存在设 lim x n = a,lim y n 二 b. n ^^ n ^c 于是有a= ab,^ - 1 1 , 求出a = b. b 2 (a b 丿 即两个数列有相等的极限.6利用多项式型极限性质求得数列极限多项式型极限:0,k clk亠k -1 I Ii..a°n +dn + …+ azn+ak a 。
例说n项和数列极限的几种求法
例说n项和数列极限的几种求法
1.等差数列求和公式：如果数列为等差数列，其前n项和可以用以下公式求出：S_n = n/2(2a+(n-1)d)，其中a为首项，d为公差。
2. 等比数列求和公式：如果数列为等比数列，其前n项和可以用以下公式求出：S_n = a(1-q^n)/(1-q)，其中a为首项，q为公比。
3. Telescoping Series(抵消法)：如果数列中相邻的项之间存在相互抵消的规律，我们可以利用这个规律简化求和。
例如，以下数列：1/2 + 1/3 - 1/3 + 1/4 - 1/4 + 1/5 - 1/5 + ...，可以通过把相邻项相消简化为1/2。
4. 夹逼准则：如果我们可以找到两个数列，一个逐渐逼近所求极限的上限，一个逐渐逼近下限，且两个数列的极限相等，那么所求极限就是这个共同的极限。
例如，对于数列1/n，我们可以用1/(n+1)和1/(n-1)这两个数列来夹逼，得到极限为0。
5. Stolz-Cesaro定理：如果我们要求的是形如a_n/b_n的极限，可以使用Stolz-Cesaro定理，该定理指出，如果b_n单调递增且趋于正无穷，那么极限为lim(a_n-a_{n-1})/(b_n-b_{n-1})。
6. 递推数列的求解：对于一些递推数列，我们可以通过推导其通项公式，然后利用求和公式求解其前n项和。
例如，斐波那契数列可以通过推导出通项公式为(1/sqrt(5))*[(1+sqrt(5))/2]^n -
(1/sqrt(5))*[(1-sqrt(5))/2]^n，然后利用等比数列求和公式求解其前n项和。
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求数列极限的几种方法
求数列极限是数学中一个重要的概念，它也是数学家研究多类数列的重要理论基础。
求数列极限有几种方法，下面我们来权衡它们。
- 单调变换法：单调变换法是将求取极限转化为求内隐函数极限的方法，从而实现极
限求取。
单调变换法使用连续性、联系性和函数极限的概念，允许在一定范围内，特定的
函数值不断变化，推到特定的独立的函数的极值。
单调变换法可以用来求取数列的极限，
但它需要求出原函数的极限才有效。
- 无穷级数法：无穷级数法也称为极限法，它是一种利用级数无限增长变成收敛的定
义来求取数列极限的方法。
无穷级数法要求数列中各项均为连续函数。
使用本方法求解的
特点是，数列的有限项收敛速度越快，其极限就越容易求解。
比如多项式无穷级数，若多
项式的项数不断增加，多项式前n项的和就会越来越接近多项式的极限，最后当n趋于无穷，多项式无穷级数的和就会收敛至它的极限。
- 分析法：分析法是求数列极限的一种有效方法，它利用大数量数学分析手段，包括
局部函数之间的联系、连续性、导数法则等，把数列中的局部性函数转换成无穷级数法来
求取极限，从而解决数列极限问题。
这样不仅能够求出数列极限，还能得出某一种函数的
定义。
- 平方根测试法：平方根测试法，不仅可以求取数列的极限，也可以用来判断某数列
是否存在极限。
特别是求取不可分解的方程的极限的时候，可以应用此方法。
它的基本原
理是：如果某一数列的 n 项和有如下关系，即 an ∗ an+1=bn，那么该数列必须存在极限，并且极限的值为 b 的平方根；如果 an ∗ an+1=ln，则表明该数列无限增长，即有极限，
而且极限值为∞。
以上就是常见求数列极限的几种方法，在不同的情况下，可以根据特定的情况来选择
合适的方法，来实现数列极限的求取。