2014年北大秋令营数学试题及解答

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2014年北大秋令营试题及解答

第一题,可以猜到答案也是1(因为AB=AC时答案是1),然后只需证ABD和ACD的内切圆半径相等,然后由于sinC+sinB=2,而ABD

和ACD的内角可以很简单的用C、B表示,所以用三角算一算就可以了,另外,A是钝角可以由AB+AC=2R推出,所以是多余的条件。

第二题,(a^2+3b^2+4)^2>((a+2)^2+3b^2)((a-2)^2+3b^2)=(a^2+3b^2+4)^2-1 6(a)^2>(a^2+3b^2-4)^2,然后分类讨论即可。

第三题,尽管可以利用互相垂直的三个四维向量,但是这样不会给分,所以由于a_1^2(b_1+tc_1)^2=(a_2(b_2+tc_2)+a_3(b_3+tc_3)+a_4(b_4+tc_ 4))^2<=(a_2^2+a_3^2+a_4^2)((b_2+tc_2)^2+(b_3+tc_3)^2+(b_4+t c_4)^2)=(1-a_1^2)(1-b_1^2+t-t*c_1^2-2t*b_1*c_1),整理一下,令t=(b_1*c_1)/(1-a_1^2-c_1^2)即可

第四题,n为奇数时2整除f(n),n为偶数时n^n+1整除f(n)

第五题,这个题在很多书上有,包括著名的天书,下面是天书的截图

第六题,考虑大于10^k的M中的最小正整数x,有10^k==x,故我们只需证有无穷多个k使得x>=10^k>d*(k^d)+sqrt(k^d),这显然成立,于是d>100是多余的条件。

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