行列式典型例题
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第二讲 行列式综合训练
第一部分
例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零．
n D =
1
1
a a
解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质． 方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式．
n
D 11c n
c a
-⋅=
101
a a
a
a
-
=11()n a a a
--
=n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式．
n D n 1
r r -=
111
a a
a --1n
c c +=
1
1
1
a a
a +-=n
a -2
n a
-
方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式．
n D 1c 展开
=1
n a
a
a -+1
1
001
(
1)
0n n a a
+--
而 1
1
001
(1)
0n n a
a
+--最后列展开
=
21
(1)n +-2
n a
a -=2
n a
--
n D =1n a a -⋅-2n a -=n a -2n a -
方法4 利用公式
A O O
B
=A B ．
将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．
n D =2(2)
(1)n --11a a
a
=
11a a
2
n a
a -=n
a -2
n a
-
方法5 利用公式
A O O
B
=A B ．
例2.2 计算n 阶行列式：
1121221
2
n
n n n n
a b a a a a b a D a a a b ++=
+ (120n b b b ≠)
解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持
原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．
12112122
1
2
1000
n
n n n n n
a a a a
b a a D a a b a a a a b +=++升阶
213111
n r r r r r r +---=
1212110
01001
n n
a a a
b b b --- 11
12,,1
j
j c c b j n -+
=+=
1
1121
1
12100000000
n n
a a a a a
b b b b b +
++
=1
12
1
(1)n
n n
a a
b b b b b +
++
这个题的特殊情形是
12121
2
n
n n n a x a a a a x a D a a a x
++=
+=1
1
()n
n i i x
x a -=+∑
可作为公式记下来．
例2.3 计算n 阶行列式：
12111
1111
1
1n n
a a D a ++=
+
其中120n a a a ≠．
解 这道题有多种解法． 方法1 化为上三角行列式
n
D 12,,i r r i n
-==
1121
111
n a a a a a +--112,,j j
a c c a j n
+
==
211
00
n
b a a
其中11211n
i i b a a a ==++∑1111n
i i a a =⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭∑，于是n D 12
111n
n i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭∑．
方法2 升阶（或加边）法
12
1111011101110
1
1
1n n
a D a a +=++升阶12,3,,1
i r r i n -=+=
12111
110
01001
n
a a a --- 1111
1
12
1,2,,1
1211
11
111j j
n
i j
c c a n
n j n i i n
a a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫=
=+ ⎪⎝
⎭∑
∑
方法3 递推法．将n D 改写为
1211
10
11101
1
1n n
a a D a ++++=
+
n
=
按c 拆开
12
1111111
1
1a a +++
1
2
110
11011
n
a a a ++