5、幂函数图像与性质
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23 4
3 4… 27 64 …
3 2…
1
y=x 2
x
函数 y x3 的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
值 域：[0,)
奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
x1
x2
(
x1
x2 )(
x1
x2 )
x1 x2
x1 x2 x1 x2
因为0 x1 x2 ,所以x1 x2 0, x1 x2 0,
所以f ( x1 ) f ( x2 ) 即幂函数f ( x) x在[0,)上的增函数.
例3
若m
4
前的系x数必须是1，没有其它项。
（2）定义域与 的值有关系.
幂函数与指数函数的对比：
名称
式子
常数
x
y
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα
a为底数 α为指数
指数 底数
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
快速反应
y 0.2x
1、所有幂函数在(0，+∞)
y=x2
上都有定义，并且图象
3
y=x
1
都通过点(1,1).
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
2、在第一象限内， α >0,在(0,+∞)上为增函数;
-4
-2
2
4
6 α <0,在(0,+∞)上为减函数.
-1
(-1,-1)
-2
3、α为奇数时,幂函数为奇函
数,
-3
α为偶数时,幂函数为偶函
数.
-4
练习：利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3-2与 0.30.3-2
(3) 2.5 5 与2.7 5
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
y=x
y = x2
y= x3
1
y x2
y x1
定义域 R
R
R [0，+∞） ，0U（0，+）
U 值 域 R [0，+∞） R [0，+∞） ，0 （0，+）
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 函数
奇函数
在R上 单调性 是增函
数
在（－∞,0] 上是减函 数，在(0, +∞）上是 增函数
定义域：{x x 0} 值 域：{y y 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数
单调性：在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
x y=x3
y=x1/2
… -2 … -8 …/
-1 0 -1 0 /0
y 8 6 4
2
-3 -2 -1 0 1 -2
-4 -6 -8
12 18 12 y=x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
函数 y x的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
函数 y x2 的图像
定义域： R
值 域：[0,)
奇偶性：在R上是偶函数
单调性：在[0,)上是增函数 在(,0]上是减函数
函数 y x1 的图像
1 2
3
2m
1 2
,
则求m的取值范围.
解
:Q
幂函数f
(x)
x
1
2的定义域是(0,
)
且在定义域上是减函数,
0 3 2m m 4
Leabharlann Baidu
1 m 3 ,即为m的取值范围. 32
小结： 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性， 随常数α取值的不同而不同.
1
边长 a S 2
1
y x2
(5)如果人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速
度 V t 1 km / s
y x1
幂函数的定义：
一般地，函数 y x 叫做幂函数
(power function) ，其中x为自变量， 为
常数。
注意：
（1）幂函数的解析式必须是 y x 的形式，
（指数函数）
y x1
（幂函数）
y 3x
（指数函数）
1
y x2
（幂函数）
y 5x
（指数函数）
y5 x
（幂函数）
幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3， ，
-1时1 的情形。
2
五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1);
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数,
当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3.如果α>0,则幂函数
α>1 a=1
0<α<1
在(0,+∞)上为增函数;
如果α<0,则幂函数
α<0
在(0,+∞)上为减函数。
问题引入 我们先看几个具体问题:
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需
要支付p= w 元
yx
(2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积
S a2
y x2
(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积
V a3
y x3
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
例2例：1.证明幂函数f (x) x在[0,)上是增函数.
证明: 任取x1, x2 [0,),且x1 x2 ,则
f (x1) f (x2)
在R上 是增函 数
在(0，+∞) 上是增函数
在( －∞,0)， (0, +∞）上是 减函数
公共点
（1，1）
y x2
(-2,4)
y x3
4
(2,4)
3
y=x
2
(-1,1) 1
(1,1)
1
y x2
-4
-2
2
4
6
y x 1 (-1,-1) -1
-2
-3
(-2,4)
4 y=x3 (2,4)
3 4… 27 64 …
3 2…
1
y=x 2
x
函数 y x3 的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
值 域：[0,)
奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
x1
x2
(
x1
x2 )(
x1
x2 )
x1 x2
x1 x2 x1 x2
因为0 x1 x2 ,所以x1 x2 0, x1 x2 0,
所以f ( x1 ) f ( x2 ) 即幂函数f ( x) x在[0,)上的增函数.
例3
若m
4
前的系x数必须是1，没有其它项。
（2）定义域与 的值有关系.
幂函数与指数函数的对比：
名称
式子
常数
x
y
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα
a为底数 α为指数
指数 底数
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
快速反应
y 0.2x
1、所有幂函数在(0，+∞)
y=x2
上都有定义，并且图象
3
y=x
1
都通过点(1,1).
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
2、在第一象限内， α >0,在(0,+∞)上为增函数;
-4
-2
2
4
6 α <0,在(0,+∞)上为减函数.
-1
(-1,-1)
-2
3、α为奇数时,幂函数为奇函
数,
-3
α为偶数时,幂函数为偶函
数.
-4
练习：利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3-2与 0.30.3-2
(3) 2.5 5 与2.7 5
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
y=x
y = x2
y= x3
1
y x2
y x1
定义域 R
R
R [0，+∞） ，0U（0，+）
U 值 域 R [0，+∞） R [0，+∞） ，0 （0，+）
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 函数
奇函数
在R上 单调性 是增函
数
在（－∞,0] 上是减函 数，在(0, +∞）上是 增函数
定义域：{x x 0} 值 域：{y y 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数
单调性：在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
x y=x3
y=x1/2
… -2 … -8 …/
-1 0 -1 0 /0
y 8 6 4
2
-3 -2 -1 0 1 -2
-4 -6 -8
12 18 12 y=x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
函数 y x的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
函数 y x2 的图像
定义域： R
值 域：[0,)
奇偶性：在R上是偶函数
单调性：在[0,)上是增函数 在(,0]上是减函数
函数 y x1 的图像
1 2
3
2m
1 2
,
则求m的取值范围.
解
:Q
幂函数f
(x)
x
1
2的定义域是(0,
)
且在定义域上是减函数,
0 3 2m m 4
Leabharlann Baidu
1 m 3 ,即为m的取值范围. 32
小结： 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性， 随常数α取值的不同而不同.
1
边长 a S 2
1
y x2
(5)如果人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速
度 V t 1 km / s
y x1
幂函数的定义：
一般地，函数 y x 叫做幂函数
(power function) ，其中x为自变量， 为
常数。
注意：
（1）幂函数的解析式必须是 y x 的形式，
（指数函数）
y x1
（幂函数）
y 3x
（指数函数）
1
y x2
（幂函数）
y 5x
（指数函数）
y5 x
（幂函数）
幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3， ，
-1时1 的情形。
2
五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1);
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数,
当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3.如果α>0,则幂函数
α>1 a=1
0<α<1
在(0,+∞)上为增函数;
如果α<0,则幂函数
α<0
在(0,+∞)上为减函数。
问题引入 我们先看几个具体问题:
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需
要支付p= w 元
yx
(2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积
S a2
y x2
(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积
V a3
y x3
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
例2例：1.证明幂函数f (x) x在[0,)上是增函数.
证明: 任取x1, x2 [0,),且x1 x2 ,则
f (x1) f (x2)
在R上 是增函 数
在(0，+∞) 上是增函数
在( －∞,0)， (0, +∞）上是 减函数
公共点
（1，1）
y x2
(-2,4)
y x3
4
(2,4)
3
y=x
2
(-1,1) 1
(1,1)
1
y x2
-4
-2
2
4
6
y x 1 (-1,-1) -1
-2
-3
(-2,4)
4 y=x3 (2,4)