线性代数模拟试卷分析

B = 3 ,则 2 A − B = 则
1
b1 b2 b3
.
a1
解
2 A − B = a2 a3
a1 = 2 a2 a3 b1 b2 b3 c1
2c1 − d 1 2c 2 − d 2 2c 3 − d 3
b1 b2 b3 d1 d2 = 2 A − B = 1 . d3
2
a1
c2 − a2 c3 a3
1 1 − 1 1 4 0
− 2 − 2 , 3
13
1 0 1 3 → 0 1 1 2 0 0 1 − 2
1 1 0 0 5 − 2 − 2 − 1 1 → 0 1 0 4 − 3 − 2 , 0 0 1 − 2 2 2 3 3 0
解 AX = O 有解 AX = b 不一定有解 故(A)、(B)不对 有解, 不一定有解, 不对; 、 不对
AX = b 的任意两个解之差是 AX = O 的解 的解.
9
相似,则 5. 若矩阵 A 与 B 相似 则(
(A) λE − A = λE − B
B ).
(B) A = B
(C) A, B 有相同的特征向量 (D)A 与 B 与同一个对角阵相似
5 − 2 − 2 所以 B = 4 − 3 − 2 . − 2 2 3
14
五.(本题12分) .(本题12分 本题12
阶矩阵,且满足 已知 A , B 为 3 阶矩阵 且满足 2 A −1 B = B − 4 E , 阶单位矩阵. 其中 E 是 3 阶单位矩阵
−1 0 2 (C) 0 1 − 1
0 1 − 1 (D) 4 − 2 − 2 0 1 1
线性无关, 基础解系至少有两个向量， 解 ξ1 与ξ2 线性无关 所以 AX = O 基础解系至少有两个向量，
所以 r ( A) ≤ 3 − 2 = 1 .
解
BA = O ⇒ AT BT = O ,
r ( AT ) = m = A 的列数 的列数,
AT X = O 只有零解 只有零解, 故齐次线性方程组
பைடு நூலகம்
的列向量全是零向量, 所以 BT 的列向量全是零向量 所以 B = O .
11
三.(本题6分) .(本题6 本题
3
设行列式 D =
0 2
4 2
0 2
, 求第四行各元素余子式
10
6. 设矩阵 Am×n 的秩为 r ( A) = m < n , E m 为 m 阶单位矩阵 阶单位矩阵, 下述结论中正确的是( 下述结论中正确的是 C ).
(A) A 的任意 m 个列向量必线性无关 (B) A 的任意 m 阶子式不等于零 (C) 若矩阵 B 满足 BA = O ,则 B = O 则 (D) A 通过初等行变换 必可以化为 ( E m , O ) 的形式 通过初等行变换,必可以化为
α 1 = (1 , 3 , 2 , 0) T , α 2 = (7 , 0 , 14 , 3) T , T , α 4 = ( 5 , 1 , 6 , 2) T , α 3 = ( 2 , − 1 , 0 , 1)
(1)求向量组的秩； (1)求向量组的秩； 求向量组的秩 (2)求向量组的一个极大无关组 求向量组的一个极大无关组, (2)求向量组的一个极大无关组,并把其余向量分别 用此极大无关组线性表出. 用此极大无关组线性表出.
7
3. 设向量组Ⅰ: α 1 , α 2 , L, α r 可由向量组Ⅱ: β 1 , β 2 , L, β s 设向量组Ⅰ 可由向量组Ⅱ
线性表示,则 线性表示 则(
(A) (B) (C) (D)
D
).
向量组Ⅱ 当 r < s 时,向量组Ⅱ必线性相关 向量组 向量组Ⅱ 当 r > s 时 ,向量组Ⅱ 必线性相关 向量组 向量组Ⅰ 向量组 当 r < s 时,向量组Ⅰ必线性相关 向量组Ⅰ 当 r > s 时 ,向量组Ⅰ必线性相关 向量组
若多数向量可以由少数向量线性表出, 若多数向量可以由少数向量线性表出,则这多数 向量必线性相关. 向量必线性相关.
8
4. 设 A 是 m × n 矩阵 AX = O 是非齐次线性方程组 AX = b 矩阵, 所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是 则下列结论正确的是( 所对应的齐次线性方程组 则下列结论正确的是 D ).
(A) 乘以奇异矩阵 (C) 进行初等行变换
设 P, Q 为可逆阵,则 r ( PA) = r ( A) , r ( AQ) = r ( A) . 为可逆阵,
6
1 0 2.要使 ξ 1 = 0 , ξ 2 = 1 都是线性方程组 AX = O 2 − 1 的解,只要系数矩阵 的解 只要系数矩阵 A 为( A ). 2 0 − 1 (A) (−2 , 1 , 1) (B) − 0 1 1
T β )(4 β 444β An = (α 44α T2)L (α T4 ) = α T ( βα T )( βα T )L ( βα T ) β 1 4 3 144424443 4 4 n个α T β
( n −1 ) 个βα T
− = 3 n−1α T β = 3 n−1 A .
3
3. 若向量组α 1 =(1 , 0 , − 1)T , α 2 = (k , 3 , 0)T , α 3 = (−1 , 4 , k)T
(1)证明 矩阵 A − 2E 可逆 并求其逆矩阵 可逆,并求其逆矩阵 并求其逆矩阵; 证明:矩阵 证明
1 − 2 0 (2)若 B = 1 2 0 ,求矩阵 A. 若 求矩阵 0 0 2
解 (1) 2 A −1 B = B − 4 E ⇒ AB − 4 A − 2 B = O
1 1 设 2. 已知向量 α = (1 , 2 , 3) , β = 1 , , ,设 A = α T β , 2 3
的转置,则 其中 α 是 α 的转置 则 A =
T
n
3
n−1
A
.
解
1 1 1 T βα = (1 , , ) 2 = 3 , 2 3 3
17
1 7 2 5 1 0 − 21 − 7 − 14 0 → → 0 0 −4 −4 0 0 0 3 1 2
7 2 5 1 3 1 2 0 → 0 0 1 1 3 1 2 0
7 2 5 3 1 2 , 0 1 1 0 0 0
分块矩阵
(2) 2 A −1 B = B − 4 E ⇒ AB − 4 A − 2 B = O 解
⇒ A = 2 B( B − 4 E ) ,
0 − 2 2 − 3 − 2 0 1 −1 (B − 4E ) = 1 − 2 0 = − 1 − 3 0 , 0 8 0 0 − 2 0 − 4
线性相关,则 线性相关 则 k =
−3
.
线性相关, 解 由 α 1 , α 2 , α 3 线性相关 有
1 k −1 1 k −1 α 1 ,α 2 ,α 3 = 0 3 4 = 0 3 4 −1 0 k 0 k k −1
3 4 = = −k − 3 = 0 , k k −1
4
1 1 1 1 4. 若 4 阶矩阵 A 与 B 相似 矩阵 A 的特征值为 , , , , 相似,矩阵 2 3 4 5 B −1 −E = 24 . 则行列式
相似, 有相同的特征值, 解 因为 A 与 B 相似 所以 A, B 有相同的特征值
所以 B −1 的特征值为 1,2,3,4， ，
从而 B −1 − E 的特征值为 1,2,3,4.
因此 B −1 − E = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24 . 本题不要求
5
二.单项选择(每小题3分,共18分) 单项选择(每小题3 18分 1. 矩阵 在( 矩阵A在 )时 其秩将被改变. A )时,其秩将被改变. (B) 乘以非奇异矩阵 (D) 转置
线性代数模拟试卷分析
1
一.填空题(每小题3分,共12分) 填空题(每小题3 12分 a 1 b1 c1 a1 1. 设 A = a 2 b2 c 2 , B = a 2 a b c a 3 3 3 3
b1 b2 b3
d1 d2 , A = 2 , d3
1 7 2 3 0 −1 解 (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) = 2 14 0 0 3 1 5 1 7 2 5 1 0 − 21 − 7 − 14 → 0 0 − 4 − 4 6 0 3 1 2 2
解 （ A − 2 E ) B = A , B = ( A − 2 E ) −1 A ,
1 0 1 3 0 1 1 0 1 3 ( A − 2 E | A) = 1 − 1 0 1 1 0 → 0 − 1 − 1 − 2 0 1 2 0 1 4 0 1 2 0 0 1 1 0 1 3 1 0 0 5 − 2 → 0 1 1 2 − 1 1 → 0 1 0 4 − 3 0 0 1 − 2 2 3 0 0 1 − 2 2
解
相似矩阵的行列式必相等。 相似矩阵的行列式必相等。
存在可逆矩阵P,使得 P −1 AP = B , (A): P (λE − A) P = λE − B , λE − A = λE − B ;
−1
有相同的特征值, 与 有相同的特征值 但特征向量未必相同； (C): A与B有相同的特征值,但特征向量未必相同； 不一定能对角化。 (D): A与B不一定能对角化。 与 不一定能对角化 本题不要求
⇒ AB − 2 B − 4 A + 8 E = 8 E ⇒ ( A − 2 E )( B − 4 E ) = 8 E , 1 −1 可逆,且 故 A − 2 E 可逆 且 ( A − 2 E ) = ( B − 4 E ) . 8
15
1 − 2 0 (2)若 B = 1 2 0 ,求矩阵 A. 若 求矩阵 0 0 2
−1
−1
0 0 2 0 1 − 2 0 − 2 2 1 故 A = 2 ⋅ 1 2 0 − 1 − 3 0 = − 1 − 1 0 . 8 0 0 0 − 2 0 − 4 0 0 2
16
六.(本题10分) 设向量组 .(本题10分 本题10
(A) (B) (C) (D) 若 AX 若 AX 若 AX 若 AX
= O 仅有零解 则 AX = b 有唯一解 仅有零解,则 = O 有非零解 则 AX = b 有无穷多解 有非零解,则 = b 有无穷多个解 则 AX = O 仅有零解 有无穷多个解,则 = b 有无穷多个解 则 AX = O 有非零解 有无穷多个解,则
所以向量组的秩为3； 所以向量组的秩为3
为其一个极大无关组, α1 , α 2 , α 3 为其一个极大无关组 且 1 2 α 4 = α 1 + α 2+ 1α 3 . + 3 3
18
七.(本题12分) .(本题12分 本题12
为何值时,线性方程组 问 a, b 为何值时 线性方程组
2
0 −7 0 0 5 3 −2 2
之和的值. 之和的值
3 4 0 2 2 2 2 解 2 2 = 14 1 1 1 =7 2 0 −7 0 0 0 0 2 −1 −1 1 −1 1 −1 1
3
0
4
0
3
4
0
3 4 = −28 . = 28 1 1
12
四.(本题10分) .(本题10分 本题10
3 0 1 设 A = 1 1 0 ,且满足 AB = A + 2 B ,求矩阵 B. 且满足 求矩阵 0 1 4