积分变换__第1.傅里叶变换

t
3.若f ( t )为无穷次可微的函数，则有



d ' ( t ) f ( t )d t - f ' ( 0) ， d ( t ) f ( t )d t ( -1) f
(n) n (n)
一般地，有

( 0).
例3 证明：1和2d ()构成傅氏变换对.
F 1 1 e 证法1：
函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电 流强度, 引进一称为狄利克雷(Dirac)的函数, 简单
记成d-函数:
0 t 0 d t t 0
d t 1
-

有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术 中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量 那样, 以统一的方式加以解决.



sin t
0

2 , t 0 d 2 , t 0
1 1 2 2 0, t 0 1 1 1 F d ( ) , t 0 u( t ) j 2 1 1 1, t 0 2 2
单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅
氏变换. 所谓广义是相对于古典意义而言的, 在广 义意义下, 同样可以说,原象函数f(t) 和象函数F() 构成一个傅氏变换对.
例5 求正弦函数f (t)=sin0t的傅氏变换。
F ( ) F [ f ( t )] e jt sin 0 t d t
2 F 2sin 3t 例6 计算 .
F [cos语句 0t ]和 利用 例5 计算 , MATLAB 可得 解 运行下面的 . F [sin 0 t ].
2 syms t w F >> 2sin 3 t F [1 dFourier cos6 t ]MATLAB F [1]变换的 F语句 [cos6 函数 Fourier 解 . t] (1) d根据 函数 变换的时移和频移性质 运行下面的
1 j t 证：f ( t ) F ( )e d 2 1 j0 t j t j t 2 d ( )e d e e . 0 0 2 即e j0t 和2d ( 0 )构成了一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得




e j0t e j0t jt 1 j( 0 ) t j( 0t e d t (e e )d t 2j 2 j
1 2d ( 0 ) 2d ( 0 ) j d ( 0 ) d ( 0 ) . 2j
0
0
0
0
>> F=fourier(f)1 1 i0 t i0 t F [sin 0 t ] F e F e 2i F= 2i pi*Dirac(a-w)+pi*Dirac(a+w) i d ( 0 ) d ( 0 ) . >> r=simple(F)

成立，而左端的f(t)在它的间断点t处值为
f ( t 0) f ( t 0) 2
1, t 1; 例1 求函数 f (t ) 的傅里叶积分表达式。 0, 其它.
二.傅里叶变换的概念
设 f ( t ) 与 F ( ) 在( , ) 上都绝对可积，则
F ( )
1
>> D=sym('Dirac(t)'); % 调 1 i t F )e d . d (>> 2 F=fourier(D) 1 1 F [1] , 通常, 没有意义. 然而由 F = F [d ( )] 2 1 ( ). 在广义函数意义下, F [1] 2d
当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在
普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.
如果我们形式地计算这个导数, 则得 q(0 t ) q(0) 1 i(0) lim lim t 0 t 0 t t 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个
0 t 0 d(t) 1 给函数序列 d ( t ) 0 t 来自百度文库 ， 1/ 0 t O 0 t 0 定义 d ( t ) lim d ( t ) 。 0 t 0

（在极限与积分可交换意义下）



d (t )d t lim d (t )d t lim

1 F [u (t )] d ( ). j
cos t j sin t d j 1 1 sin t 1 1 sin t d d 2 2 2 0 1 1 2 2
jt
dt s t e js ds 2d .


证法2：若F()=2d (), 由傅氏逆变换可得
1 f (t ) 2



2d ( )e d e
j t
jt
0
1
例4 证明e j0t 和2d ( 0 )构成一个傅氏变换对。

,t 0 ,t 0
cos wt w sinwt dt 2 2 w
三、单位脉冲函数
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲 函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电 学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用 后所产生的电流；在力学中, 要研究机械系统受冲 击力作用后的运动情况等，研究此类问题就会需 要我们介绍单位脉冲函数。


可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的 积分都有明确意义。
因为d 函数是广义函数, 所以其Fourier变换不 是通常意义下的Fourier 变换. 根据Fourier 变换的

定义, 以及d 函数的性质, 可证 得 运行下面的MATLAB语
i tsyms t w >> F [d ( t )] d ( t )e dt 1,
0, t 0 , 证明： 例6 单位阶跃函数 u (t ) 1, t 0
1 1 F d ( ) 证： j 2
1
1 jt d ( ) e d j 1 1 1 jt j t d ( ) e d e d 2 2 j


f ( )e
j
d
称为 f ( t ) 的 Fourier 变换； 1 jt f (t ) F ( ) e d 2
称为 F ( ) 的 Fourier 逆变换；
分别记为 ℱ [ f ( t )] 和
ℱ
1
[ F ( )]
即
ℱ[ f (t )] = ℱ
0
>> f=2*(sin(3*t))^2;F=fourier(f) i t >> syms t w a F [ d ( t t )] e [d( 2d ( ) d ( 06) i d ( F 6) .t )], 1 1 t i t F [cos t ] F e F e 0 F= 2 ,出现错 2 i % 输入a代替w_0, 否则发生混淆 t F [1 e ] 2d ( 0 ). -pi*Dirac(w-6)+2*pi*Dirac(w)-pi*Dirac(w+6) >> f=cos(a*t);g=sin(a*t); d ( 0 ) d ( 0 )
1 [d ( )] 2

>> ifourier(sym('Dirac(w)' ans =
性质： 1.d -函数是偶函数，即d (-t )=d ( t )；
d 2. d ( )d u( t ) , 及 u( t ) d ( t ), dt 0, t 0, 其中u( t ) { 称为单位阶跃函数； 1, t 0.
§1.1傅氏变换 及单位脉冲函数
本章学习目标 1、了解傅里叶积分; 2、理解傅里叶变换; 3、掌握 Dirac 函数及傅里叶变换; 4、熟悉傅里叶变换的性质.
一、傅里叶积分定理 若函数f(t) 在任何有限区间上满足狄氏 (, ) 条件，且在 上绝对可积。则有
1 f (t ) 2 f ( )e j d e jt d



e e
j t
d t 2d ( ) d t 2d ( 0 )
j( 0 ) t

在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满
足傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件



| f (t ) | d t
例如常数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函 数等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的, 利用
f ( t 0) f ( t 0) 2
例题:
1 ,0 t 1 例1、求函数： f (t ) 0 , t 1
叶变换，并求
的傅立


0
s i nw dw 的值。 w
e t 例 2、求指数衰减函数f ( t ) 0
的傅立叶变换，并求0 的值。
例5 计算 F [cos 0t ] 和 F [sin 0 t ].
dFourier 函数Fourier 变换的 , 可得 解 运行下面的 MATLAB 语句. (1) d根据 函数 变换的时移和频移性质
i t >> syms t F w[ a d (1 t t0 )] e F 1 [d ( t )], i t i t F [cos 0 t ] F e F e 2 i 2 % 输入a代替w_0, 否则发生混淆 ,出现错误 t F [1 e ] 2d ( 0 ). >> f=cos(a*t);g=sin(a*t); d ( 0 ) d ( 0 ) ,
在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)
进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电
流i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则
0, t 0; q(t ) 1, t 0. d q(t ) q(t t ) q (t ) i (t ) lim t 0 dt t
0



1
0
0

dt 1
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表
示, 这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为dd ( t) 函数的强度.
d-函数有筛选性质：
1 O
t



（f t 为连续函数）
d ( t ) f ( t )d t f (0) 及 d ( t t0 ) f ( t )d t f ( t 0 ) .
1


f ( t )e it dt F ( )
1 [ F ( )] = 2


F ( )e it d f ( t )
即：当 f ( x )在( , )上连续时
f ( t ) = ℱ1 {ℱ[ f (t )]}
当 f ( x )在 t 间断时 ℱ1 {ℱ[ f (t )]}