第一节傅立叶级数与傅里叶积分 (2)

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第五章第一节傅里叶变换

bk
1 l
l l
f sin k
l
d ,...... 5.1.5
练习解答
解：计算傅立叶系数有
a0
1
2
f (x)dx 1
2
0
xdx
1
2
x2
2
0
4
1
1
an
f (x) cos nxdx
x cos nxdx
0
1 x sin nx
n 0
1
n2
cos
nx 0
1
n 0 sin nxdx
幂函数没有周期性，所以周期函数展开为幂级数后，周期性就很难体现出来。这样在研究函数的周期性的时候，幂级数展开并不适用，需要采用其他函数作为基本函数族。
在科学技术的各个领域里广泛存在振动和波这类周期现象如弹性振子、机械振动、声振动和声波、交变电流、电磁振荡和电磁波。我们以前接触较多的是正弦和余弦函数所描写的振动和波。实际情况千变万化，如锯齿波、矩形波(开关)。可能的复杂振动方式不计其数，经过研究发现，这些复杂的振动可以分解为一系列各种频率的谐振动的叠加。在数学上，这就是把周期函数分解为傅里叶级数。
f
x
a0
k 1
a
k
cos
kx
l
bk
sin
kx
l
..........
..5.1.3
ak
1
kl
l f cos k d ,
l
l
k 2.......k 0 k 1.......k 0
bk
1 l
l l
f
sin k
l
d ,...... 5.1.5
f

傅里叶变换三部曲（二）·傅里叶变换的定义

傅⾥叶变换三部曲（⼆）·傅⾥叶变换的定义Part1:傅⾥叶级数的复数形式设f(x)是周期为l的周期函数,若f(x)∼a02+∞∑n=1(a n cosnπxl+bn sinnπxl),an=1l∫l−lf(x)cosnπxl d x,(n=0,1,2,…)bn=1l∫l−lf(x)sinnπxl d x.(n=1,2,…)记ω=πl,引进复数形式:cos nωx=e i nωx+e−i nωx2,sin nωx=e i nωx−e−i nωx2i级数化为f(x)∼a02+∞∑n=1(a ne i nωx+e−i nωx2+bne i nωx−e−i nωx2i)=a02+∞∑n=1(a n−ib n2e i nωx+a n+ib n2e−i nωx)令c0=a02,cn=a n−ib n2,dn=a n+ib n2,则c0=12l∫l−lf(x)d x,c n=12l∫l−lf(x)(cos nωx−isin nωx)d x=12l∫l−lf(x)e−i nωx d x,d n=12l∫l−lf(x)(cos nωx+isin nωx)d x=12l∫l−lf(x)e i nωx d x≜c−n=¯c n,(n=1,2,…)合并为c n=12l=∫l−lf(x)e−i nωx d x,(n∈Z)级数化为+∞∑n=−∞c n e−i nωx=12l+∞∑n=−∞∫l−l f(x)e−i nωx d x e i nωx我们称c n为f(x)的离散频谱(discrete spectrum),|c n|为f(x)的离散振幅频谱(discrete amplitude spectrum),arg c n为f(x)的离散相位频谱(discrete phase spectrum).对任何⼀个⾮周期函数f(t)都可以看成是由某个由某个周期为l的函数f(x)当l→∞时得来的.Part2:傅⾥叶积分和傅⾥叶变换傅⾥叶积分公式设f T(t)是周期为T的周期函数,在[−T2,T2]上满⾜狄利克雷条件,则f T(t)=1T∞∑n=−∞∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t e j nωt,ω=2πT(上式中j是虚数单位,在傅⾥叶分析中我们不⽤i⽽通常记作j)由limT→∞f T(t)=f(t)知,f(t)=limT→∞1T∞∑n=−∞[∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t]e j nωt记Δω=2πT,则Δω→0⇔T→∞,则f(t)=limT→∞1T∞∑n=−∞[∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t]e j nωt=limΔω→012π+∞∑n=−∞∫T2T2f T(t)e−j nωt d t e j nωtΔω[][][]令F T(nω)=∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t,则f(t)=limΔω→012π+∞∑n=−∞F T(nω)e j nωtΔω,F T(t)→∫+∞−∞f(t)e−jωt d t≜F(ω)(T→∞),由定积分定义f(t)=12π∫+∞−∞F(ω)e jωt dω,即f(t)=12π∫+∞−∞∫+∞−∞f(t)e−jωt d t e jωt dω上述公式称为傅⾥叶积分公式.傅⾥叶积分存在定理若f(t)在任何有限区间上满⾜狄利克雷条件,且在R上绝对可积,则12π∫+∞−∞∫+∞−∞f(t)e−jωt d t e jωt dω=f(t),t为连续点,f(t−)+f(t+)2,t为间断点.傅⾥叶变换设f(t)满⾜傅⾥叶积分存在定理,定义F(ω)=∫+∞−∞f(t)e−jωt d t 为f(t)的傅⾥叶变换(Fourier Transform)(实际上是⼀个实⾃变量的复值函数),记作F(ω)=F[f(t)]类似地,定义f(t)=12π∫+∞−∞F(ω)e−jωt dω为F(ω)的傅⾥叶逆变换(Inverse Fourier Transform),记作f(t)=F−1[F(ω)]在⼀定条件下,有F[f(t)]=F(ω)⇒F−1[F(ω)]=f(t);F−1[F(ω)]=f(t)⇒F[f(t)]=F(ω). f(t)与F(ω)在傅⽒变换意义下是⼀个⼀⼀对应,称f(t)与F(ω)构成⼀个傅⽒变换对,记作f(t)F↔F(ω)在不引起混淆的情况下,简记为f(t)↔F(ω).f(t)称为原象函数(original image function),F(ω)称为象函数(image function).在频谱分析中,F(ω)⼜称为f(t)的频谱(密度)函数(spectrum function),|F(ω)|称为f(t)的振幅频谱(amplitude spectrum),arg F(ω)称为f(t)的相位频谱(phase spectrum).下⾯我们来求⼏个常见信号函数的傅⽒变换.例1 求矩形脉冲函数(rectangular pulse function)R(t)=1,|t|≤1, 0,|t|>1的傅⽒变换及其频谱积分表达式.解:F(ω)=F[R(t)]=∫+∞−∞R(t)e−jωt d t=∫1−1R(t)e−jωt t=e−jωt−jω1−1=−e−jω−e jωjω=2sinωω;R(t)=12π∫∞−∞F(ω)e jωt dω=1π∫+∞F(ω)cosωt dω=1π∫+∞2sinωωcosωt dω=2π∫+∞sinωcosωtωdω=1,|t|<1, 12,|t|=1, 0,|t|>1因此可知,当t=0时,有[] []{{ []{∫+∞0sin t xd t =π2例2 求指数衰减函数(exponential decay function)E (t )=0,t <0,e −βt ,t ≥0的傅⽒变换及其频谱积分表达式,其中β>0为常数.解:F (ω)=F [E (t )]=∫+∞−∞E (t )e −j ωt d t=∫+∞0e −βt e −j ωtd t =∫+∞0e (β+j ω)t d t =1β+j ωβ−j ωβ2+ω2E (t )=12π∫+∞−∞F (ω)e j ωt ω=12π∫+∞−∞β−j ωβ2+ω2e j ωtω=1π∫+∞βcos ωt +ωsin ωtβ2+ω2d ω=0,t <0,12,t =0,e −βt ,t >0Part3:单位脉冲函数我们记电流脉冲函数q (t )=0,t ≠0,1,t =0,严格地,由于q (t )在t =0出不连续,所以q (t )在t =0点是不可导的.但是,如果我们形式地计算这个导数,有q ′(0)=limΔt →0q (0+Δt )−q (0)Δt=limΔt →0−1Δt=∞我们引进这样⼀个函数,称为单位脉冲函数(unit pulse function)或狄拉克(Dirac)函数,简记为δ−函数,即δ(t )=0,t ≠0,∞,t =0,⼀般地,给定⼀个函数序列δε(t )=0,t <0,1ε,0≤t ≤ε,0,t >ε则有δ(t )=lim ε→0δε(t )=0,t ≠0,∞,t =0于是∫+∞−∞δ(t )d t =limε→0∫+∞−∞δεd t =limε→0∫ε01εd t =1若设f (t )为连续函数,则δ−函数有以下性质:∫+∞−∞δ(t )f (t )d t =f (0);∫+∞−∞δ(t −t 0)f (t )d t =f (t 0)于是我们可得:F [δ(t )]=∫+∞−∞δ(t )e −j ωt t =e −j ωt t =0=1于是δ(t )与常数1构成了⼀对傅⾥叶变换对.例3: 证明:e j ω0t ↔2πδ(ω−ω0)其中ω0是常数.证:{{{{{{|f(t)=F−1[F(ω)]=12π∫+∞−∞2πδ(ω−ω0)e jωt dω=e jωtω=ω=e jω0t在物理学和⼯程技术中,有许多重要函数不满⾜傅⽒积分定理中的绝对可积条件,即不满⾜条件∫+∞−∞|f(t)|d t<∞例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等, 然⽽它们的⼴义傅⽒变换也是存在的,利⽤单位脉冲函数及其傅⽒变换就可以求出它们的傅⽒变换.所谓⼴义是相对于古典意义⽽⾔的,在⼴义意义下,同样可以说,原象函数f(t)和象函数F(ω)构成⼀个傅⽒变换对.例求正弦函数f(t)=sinω0t的傅⽒变换.解:F(ω)=F[f(t)]=∫+∞−∞f(t)e−jωt d t=∫+∞−∞e jω0t−e−jω0t2je−jωt d t=12j∫+∞−∞e−j(ω−ω0)t−e−j(ω+ω0)t d t=jπδ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)同样我们易得F(cosω0t)=πδ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)例证明:单位阶跃函数(unit step function)u(t)=0,t<0, 1,t>0的傅⽒变换为F[u(t)]=1jω+πδ(ω)证:F−11jω+πδ(ω)=12π∫+∞−∞1jω+πδ(ω)e jωt dω=12π∫+∞−∞[πδ(ω)]e jωt dω+12π∫+∞−∞1jωe jωt dω=12+12π∫+∞−∞cosωt+jsinωtjωdω=12+12π∫+∞−∞sinωtωdω=12+1π∫+∞sinωtωdω∫+∞0sinωtωdω=π2,t>0,−π2,t<0⇒F−11jω+πδ(ω)=12+1π−π2=0,t<012,t=0,12+1ππ2=1,t>0=u(t).本⽂完|()[][]{[][][][][][] { []{()()。

第一节傅立叶级数与傅里叶积分

2
ej jnω0t
代入 (A) 式并整理得
fT
(t)
a0 2
(an
n1
2
jbn
e jnω0t
an
2
jbn
e jnω0t
).
推导
fT
(t)
a0 2
(an
n1
2
jbn
e jnω0t
an
2
jbn
e
jnω0t
).
令
c0
a0 2
,
cn
an jbn , 2
cn
an
jbn 2
,
则有
fT (t ) e cn jnω0t ,
特点 (1) 周期性
(2) 正交性
T/2
T/2m (t ) n (t )d t 0 ,
T/2
T/2 k (t ) l (t )d t 0 ,
T/2
T/2
k
(t )
l
(t)d
t
0,
(k l)
由 {k (t)}, { k (t)} 组合叠加可以生成周期为 T 的复杂波。
问题对于任何一个周期为 T 的(复杂)函数 fT (t)，能否：
(B)
n
其中,
cn
1 T
T /2 T /2
fT (t ) e jnω0td t ,
n 0, 1, 2,
定义称 (B) 式为 Fourier 级数的指数形式。
注意 (1) 分解式是惟一的。 (2) 计算系数 cn 时, 其中的积分可以在任意一个长度为 T 的区间上进行。
(3) 采用周期延拓技术，可以将结论应用到仅仅定义在某个有限区间上的函数。
fT

第一节傅立叶级数与傅里叶积分

Fourier变换是一种对连续时间函数的积分变换,通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系. 它既能简化计算(如解微分方程或化卷积为乘积等)，又具有明确的物
理意义(从频谱的角度来描述函数的特征),
因而在许多领域被广泛地应用.离散和快速
Fourier变换在计算机时代更是特别重要．
Fourier 变换是在周期函数的 Fourier
6. 离散频谱与频谱图 a n jbn a0 a n jbn , , c n 分析由 c0 , cn 2 2 2
An 1 2 2 a n bn ，得 c0 A0 , | cn | | c n | 2 2
arg cn arg c n θn , ( n 0) .
1 j t j t (D) f (t ) [ f ( t ) e d t ] e dω 2π 1 在 f (t ) 的间断处，公式的左端应为 [ f ( t 0) f ( t 0)] . 2
级数的基础上发展起来的。在微积分课程
中已经学习了Fourier 级数的有关内容，
因此本节将先简单地回顾一下 Fourier
级数展开。
§8.1 Fourier 级数与Fourier 积分
一、周期函数的 Fourier 级数二、非周期函数的 Fourier级数即
Fourier积分
一、周期函数的 Fourier 级数
n 1
A0 a n cos n 0 t bn sin n 0 t
n 1

A0 An cos(n 0 t n ) .
n 1
3. Fourier 级数的三角形式定理 ( Dirichlet 定理)设 fT (t )是以 T 为周期的实值函数，且在区间 [T /2 , T /2] 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)： (1) 连续或只有有限个第一类续点处有

傅氏变换

傅氏变换对的物理意义
• 1. f (t ) 与 F（）构成一个傅氏变换对，它们是由
许多频率的正、余弦分量合成，且非周期函数包含 0 - - 分量； • 2. f (t ) 是 F（）中各频率分量的分布密度，称为频谱密度函数 F（）为振幅谱为相位谱 arg F ( )
正弦、余弦傅氏变换

则在
f (t ) 的连续点t处有
1 f (t ) 2 f ( )e - j d e j t d

傅氏积分公式的三角形式：
f (t ) 1

0
f ( ) cos (t - )d d
§1.1 傅里叶积分公式
一、傅里叶级数
1.三角形式
称实系数R上的实值函数 f（t）在闭区间[a,b] 上满足狄利克莱（DirichL et）条件，如果它满足条件： ⑴ 在[a,b]上或者连续，或者只有有限个第一类间断点； ⑵ f（t）在[a,b]上只有有限个极值点。
T T , 上从T为周期的周期函数fT(t)，如果在 2 2 T T 满足狄利克雷条件，那么在 , 上fT(t)可以展成 2 2
称 u（t )为单位阶跃函数
三、广义傅里叶变换
• 关于函数的重要公式
F ( ) F[ (t )] 1 F 1[1] (t )
• 更一般的有
F ( ) F [ (t t0 )] e - j t0
• 故
(t - t0 ) 与 e - j t 构成傅氏变换对
2

(t )dt 1

(2)矩形脉冲函数的定义
其中
(t ) lim (t )

复变函数第1节傅氏积分,傅氏变换

解. 由Fourier变换的定义
F (w) F [ f (t)] f (t) e-iw td t -
1 e-iw t d t e-iwt 1 2sinw
-1
-iw -1
w
再求F(w)的Fourier逆变换即得 f(t)的积分表达式,
f (t) F -1[F (w)] 1 F (w) eiwtd w
1
1/2
t
二、单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理学和工程技术中，除了连续分布量之外，还有集中作用在一点的量. 例如，点电荷、点热源、质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处的单位脉冲.
设矩形电流脉冲：
(t
)
1
/
0
0t
其它
- (t)dt 1
(t)
1/
O
t
lim
0
(
t
)
0
t 0 t 0
引进狄拉克(Dirac)的函数,
i
-
f
( ) sin w(t
-
)d
dw
1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
由
f (t) 1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
可得
f (t) 1
p
0
-
f ( ) cosw(t
-
)
d
d
w
(1.6)
傅氏积分公式的三角形式
-
)
d
d

数学分析课件傅里叶级数

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证由定理条件, 函数 f 在 [ , ] 上连续且可积. 对 (9)式逐项积分得

π
π
f ( x )dx
π π a0 π dx (an cos nxdx bn sin nxdx ). π π 2 π n 1
由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零. 所以
f ( x t ) f ( x 0) lim f ( x 0), t 0 t f ( x t ) f ( x 0) lim f ( x 0), t 0 t
(13)
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(iii) 在补充定义 f 在[a , b]上那些至多有限个不存在导数的点上的值后 ( 仍记为 f ), f 在[a, b]上可积.
n 1
即
从第十三章§1 习题4知道, 由级数(9)一致收敛,可得级数(11)也一致收敛. 于是对级数(11)逐项求积, 有
前页后页返回

π
π
f ( x )cos kxdx π a0 π cos kxdx (an cos nx cos kxdx π 2 π n 1 bn sin nx cos kxdx ).
π
π
cos nxdx sin nxdx 0,
π
π
(6)
cos mx cos nx d x 0 ( m n ), ππ (7) ππ sin mx sin nxdx 0 (m n), π cos mx sin nxdx 0 . 而(5)中任何一个函数的平方在 [-π, π] 上的积分都
所以
A0 An sin( nx n )
n 1
A0 ( An sin n cos nx An cos n sin nx ).

第一+二节(傅里叶级数和积分)

代入展开式: 代入展开式 g(x) = a0 + ∑(ak cosωk x + bk sin ωk x) 即可. 然后取极限 l → ∞ 即可对于系数a 如果对于系数 0,如果 lim
l →∞ −l
∫
l
f (ξ )dξ 有限则有有限,则有
1 l lim a0 = lim ∫ f (ξ )dξ = 0 l →∞ l → ∞ 2l −l
kπx kπx f (x) = a0 + ∑ak cos + bk sin l l k =1
叫做周期函数f(x)的的叫做周期函数
傅里叶级数展开式展开系数称为傅里叶系数展开式, 展开系数称为傅里叶系数
满足:(1)处处连续或者在每个周期狄里希利定理: 若函数f(x)满足狄里希利定理: 若函数满足处处连续或者在每个周期中只有有限个第一类间断点;(2)在每个周期中只有有限个极值在每个周期中只有有限个极值中只有有限个第一类间断点则级数收敛,且点,则级数收敛且则级数收敛
f ( x) 级数和 = 1 2 { f ( x + 0) + f ( x − 0)} (连续点x) (间断点x )
7
(二) 奇函数及偶函数的傅里叶展开
若周期函数f(x)是奇函数则傅里叶系数的计算公式可得是奇函数,则傅里叶系数的计算公式可得若周期函数是奇函数 a0及ak都等于零则展开式变为都等于零,则展开式变为则展开式变为: ∞ kπx f (x) = ∑bk sin l k=1 由于对称性,展开系数为这里称为傅里叶正弦级数,由于对称性展开系数为由于对称性展开系数为:
13
又 l →∞
∆ω k =

傅里叶级数

∫πcos nxdx = 0,
π
π
∫πsin nxdx = 0,
π
( n = 1,2,3,L)
0, m ≠ n ∫ πsin mx sin nxdx = π, m = n, 0, m ≠ n ∫ πcos mx cos nxdx = π, m = n,
π
∫π
π
sin mx cos nxdx = 0.
右端级数收敛吗?若收敛是否收敛于右端级数收敛吗?若收敛是否收敛于f(x)?
f ( x)在 a, b]光滑: f ′( x )在[a , b]连续. [ 光滑: 连续. f ( x)在 a, b]按段光滑: [ 按段光滑:
f ( x )在[a , b]有定义,且至多有有限个第一类有定义, 间断点, 间断点, f ′( x )在 [a , b] 除有限个点外有定义且连续,在这有限个点上 f ′( x ) 左右极限存在. 左右极限存在. 连续,
第, 古今往来,众多数学家一直在寻找用简单函数较好地近似代替复杂函数的途径,除了理论上的需要外, 地近似代替复杂函数的途径,除了理论上的需要外, 它对实际应用的领域的意义更是不可估量. 它对实际应用的领域的意义更是不可估量. 在微积分发明之前,这个问题一直没有本质上的在微积分发明之前, 突破. 突破. 熟知的简单函数:幂函数,三角函数. 熟知的简单函数:幂函数,三角函数.
π π
1 π bn = ∫π f ( x)sinnxdx π
( n = 1,2,3,L)
f(x)的傅里叶系数的傅里叶系数
1 π ) an = π ∫π f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,L 1 π bn = ∫π f ( x)sinnxdx, (n = 1,2,L) π 1 2π ) an = π ∫0 f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,L 或 2 bn = 1 π f ( x)sin nxdx, (n = 1,2,L ) ∫0 π

应用高等数学-6.1 傅里叶变换

例8
试证单位阶跃函数
F () F[(t)] (t)e jt d t e jt 1
t0
显然， (t)与常数1构成了一傅氏变换对，按
逆变换公式有
(t)
F
1[F ()]
1 2π
e
jt
d
由上式可得 e jt d 2π (t)
（6-9）
这是一个关于δ函数的重要公式．
例5 证明：1和 2π ()构成傅氏变换对．
f
(t)
1, 1,
π t 0 0 t π
如何将函数展开为傅里叶级数的三角形式．
解：由定理6.1可得 0 1，a0 0，an 0 (n 1, 2,L )
bn
1
π
f (t)sin ntdt
π
π2
π
sin ntdt
0
nπ 2 (cos
nt
π
) 0
nπ 2 (1 cos nπ)
nπ 2 [1 (1)n ]
2π ( 0 )
例7 求正弦函数 f (t) sin 0t 的傅氏变换．
解：
F() F[ f (t)]
e
jt
sin
0t
d
t
1 (e j0t e j0t )e jt d t
2 j
1 (e j(0 )t e j(0 )t ) d t
2 j
jπ[ ( 0 ) ( 0 )]
式中当t=0可得重要积分公式
sin
x
d
x
π
0x
2
例4
求单边指数衰减函数
f
(t)
0, et ,
t0 t0
( 0)
的频谱函数、振幅谱、相位谱．

第一+二节(傅里叶级数和积分)

函数在fx区间满足1在任一有限区间满足狄利希利条件2fx在绝对可积收敛则fx可表示成傅里叶积分且积分值fx0fx02振幅谱振幅谱相位谱相位谱1111奇函数奇函数fx的傅里叶积分是傅里叶正弦积分傅里叶正弦积分是fx的傅里叶正弦变换傅里叶正弦变换偶函数偶函数fx的傅里叶积分是傅里叶余弦积分傅里叶余弦积分是fx的傅里叶余弦变换傅里叶余弦变换奇函数偶函数傅里叶正弦变换傅里叶正弦变换傅里叶余弦变换傅里叶余弦变换1212写成对称的形式如下
展开成傅里叶级数,为了能让这类函数可以展开,采用如下办法:
将非周期函数f(x)看成某个周期函数f(x)当周期 2l 的极限
形式,这样g(x)的傅里叶级数展开
f
(x)

a0

k 1

ak
cos
kx
l
bk
sin
kx
l

在 l 的极限形式就是要找的非周期函数f(x)的傅里叶展开.
整理得:
0
0
f (x) 1 [ A() iB()]eixd 1 [ A() iB()]eixd
02
02
右边第二个积分中换成
f (x) 1 [ A() iB()]eixd 0 1 [ A( ) iB( )]eixd
B( )

2

0
f
( )sin
d
偶函数f(x)的傅里叶积分是傅里叶余弦积分

f (x) 0 A() cosxd
其中 B( ) 是f(x)的傅里叶余弦变换
A( )

2

0
f
( ) cosd
f (0) 0 f (0) 0

数学物理学方法10

(2) 不管该脉冲宽度如何，脉冲曲线与 x 轴围成的面积始终为 1
这类函数称为单位强度的脉冲函数，通常称为函数。
函数是满足以下两条规则的一类特殊函数：
x x0 0 (1) ( x x0 ) 0 x x0 0
(2) ( x x0 )dx 1(a x0 b)
n
1 l H H x dx 2l l l 2 1 l H 2H n x n an x cos dx 2 2 1 1 l l l l n 1 l H n x bn x sin dx 0 l l l l a0
傅里叶级数中各余弦函数的周期为Tk 频率为 k 1 2k 1 Tk 2l 1 2k 1 ，谐频： k 2l 2l
x0 h
lim f x 当h 0时，
h 0
x x0 f ( x) h 0 0 x x0

x0
f ( x)dx 1

f ( x)dx 1
a a 0 f ( x) 2 2 x a
a b
或 ( x x0 )dx 1
-
+
量子力学等物理课程中经常要用到函数。
二、函数的一些性质
(1) ( x) ( x) ( x)为偶函数 ( x) ( x) ( x)的导数为奇函数
2l 2k 1

k 0

1
2k 1
cos 2
2k 1
l
x
基频： 0
函数的周期性延拓：
i
奇延拓 f x , x 0, l 设f1 x 然后以对偶区间 l , l 中的函数 f x , x l , 0 f1 x 为基准进行复制，使其成为定义于全区间 , 中并且周期为2l的奇函数F1 x 。

傅里叶积分

f (t 0) 2
f (t)
f (t
0)
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2.Fourier级数的复指数表示形式
积分变换
在其连续点处，利用Euler公式：
cos
e j
e j
, sin
e j j
e j
2
2
f
(t)
a0 2
(an
n1
cos nt
bn
sin nt)
a0 2
an
（ f ）ej d
e j t
d
Fourier积分公式
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2. Fourier积分定理
积分变换
一个非周期函数在什么条件下,可以用 Fourier积分公式来表示,有下面的收敛定理.
定理:
若 f(t) 在(-, +)上满足下列条件: 1) f(t) 在任一有限区间上满足Dirichlet条件; 2)f(t) 在无限区间(-, +)上绝对可积.则有
（在(, )绝对可积即
|
f (t) | d t收敛）
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2. Fourier积分定理
积分变换
f
(t)
1 2π
f
(
)e j
d
e jt
d
成立.
F() f (t ) e jtdt
称为f的Fourier变换。
f (t) 1
F
(
)
e
jt
d
2
称为F的Fourier逆变换。
T 2 T 2

傅立叶积分变换

第一章傅里叶积分变换所谓积分变换，实际上就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的一种变换.这类积分一般要含有参变量，具体形式可写为：()()ττF dt t f t k ba−−→−⎰记为),(这里()t f 是要变换的函数，称为原像函数；()τF 是变换后的函数，称为像函数；()τ,t k 是一个二元函数，称为积分变换核 .数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解. 如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算；再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换，其解决问题的思路都属于这种情况.基于这种思想，便产生了积分变换.其主要体现在：数学上：求解方程的重要工具；能实现卷积与普通乘积之间的互相转化. 工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具.1．傅里叶级数的指数形式在《高等数学》中有下列定理：定理1.1 设()t f T 是以()0T T <<∞为周期的实函数，且在,22T T ⎛⎫-⎪⎝⎭上满足狄利克雷条件，即()t f T 在一个周期上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点；（2）只有有限个极值点. 则在连续点处，有()()∑∞=++=10sin cos 2n n n T t n b t n a a t f ωω (1)其中()dt t f T a TT T ⎰-=2201,()() ,2,1cos 122==⎰-n tdt n t f T a TT T n ω,()() .2,1sin 122==⎰-n tdt n t f T b T T T n ω,在间断点0t 处，(1)式右端级数收敛于()()20000-++t f t f T T .又2cos φφφi i e e -+=,ie e i i 2sin φφφ--=,.于是()∑∞=--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++=10222n t in t in nt in t in n T i e e b e e a a t f ωωωω∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛++-+=10222n t in n n t in n n e ib a e ib a a ωω 令,200a c =2n nn ib a c -=, 2n n n ib a c +=-, ,,3,2,1 -n 则 ()∑∞-∞==n tin nT ec t f ω()()2201212i t i t in t i t i t in t n n c c e c e c e c e c e c e ωωωωωω------=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅(2)(2）式称为傅里叶级数的复指数形式，具有明显的物理意义. 容易证明n c 可以合写成一个式子 ,即()() ,2,1,0122±±==--⎰n dt e t f T c t in TT T n ω. (3)2．傅里叶积分任何一个非周期函数 ()t f , 都可看成是由某个周期函数()t f T 当T →+∞时转化而来的. 即()t f T T ∞→=lim ()t f =.由公式(2) 、(3)得()()t in n TT in T T e d e f T t f ωωτττ∑⎰∞-∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221,可知()()t in n TT in T T e d e f T t f ωωτττ∑⎰∞-∞=--+∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221lim , 令1,--=∆=n n n n n ωωωωω,则T πω2=或nT ωπ∆=2 .于是()()t i n TT i TT n n e d e f T t f ωτωττ∑⎰∞-∞=--+∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221lim ()n t i n T T i T n n n e d e f ωττπωτωω∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑⎰∞-∞=--→∆22021lim , 令()()t i i TT T n T n n e d e f ωτωττπωφ][2122--⎰=,故()t f ()nn nTn ωωφω∆=∑∞-∞=→∆0lim. (4)注意到当,0→∆n ω即∞→T 时,()()t i i n n T n n e d e f ωτωττπωφωφ][21)(-+∞∞-⎰=→. 从而按照积分的定义，（4）可以写为：()t f ()⎰+∞∞-=ωωφd ，或者()()ωττπωωτd e d e f t f t i i ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=][21. (5)公式（5）称为函数()t f 的傅氏积分公式.定理1.2 若()t f 在(-∞, +∞)上满足条件:(1) ()t f 在任一有限区间上满足狄氏条件; (2) ()t f 在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积,即()dt t f ⎰+∞∞-收敛, 则（5）在()t f 的连续点成里; 而在()t f 的间断点0t 处应以()()20000-++t f t f 来代替.上述定理称为傅氏积分定理. 可以证明，当()t f 满足傅氏积分定理条件时，公式(5) 可以写为三角形式，即()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-++=-⎰⎰∞+∞+∞-.,200,]cos [1其它连续点处，在t f t f t f t f d d t f ωττωτπ(6)上一节介绍了：当()t f 满足一定条件时，在()t f 的连续点处有：()()ωττπωωτd e d e f t f t i i ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=][21.从上式出发，设()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰= (1)则()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21 (2)称(1)式，即()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=为()t f 的傅里叶变换简称傅氏变换,记为()=ωF F ()}{t f .称(2)式，即()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21为傅里叶逆变换简称傅氏逆变换,记为()t f =F 1-[()t f ].(1)式和(2)式，定义了一个变换对()ωF 和()t f 也称()ωF 为()t f 的像函数；()t f 为的原像函数 ,还可以将()t f 和()ωF 用箭头连接: ()t f ↔()ωF .例 1 求函数()t f ⎩⎨⎧≥<=-0,0,0t e t t β的傅氏变换及其积分表达式其中 0>β.这个函数称为指数衰减函数,在工程中常遇到.解:根据定义, 有()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰==dt e e t i t ωβ-+∞-⎰0=dt e t i ⎰+∞+-0)(ωβ=ωβi +1=22ωβωβ+-i . 这就是指数衰减函数的傅氏变换.根据积分表达式的定义,有()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21ωωβωβπωd e i ti ⎰+∞∞-+-=2221注意到t t eti ωωωsin cos +=，上式可得()t f ()ωωωωβωβπd t i t i sin cos 2122++-=⎰+∞∞-=ωωβωωβπd tt ⎰+∞++022sin cos 1. 因此⎪⎩⎪⎨⎧>=<=++-∞+⎰.0,,0,2,0,0sin cos 022t e t t d t t t βππωωβωωβ 例2 求()t f =2t Ae β-的傅氏变换其中 0,>βA ---钟形脉冲函数.解: 根据定义, 有()()dt et f F ti ωω-+∞∞-⎰==dt e Ae t i t ωβ-+∞∞--⎰2,=βω42-Aedt Aei t ⎰∞+∞-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22βωββωβπ42-=Ae .这里利用了以下结果：()02>=⎰∞+∞--βωπβdx e x . 2．傅里叶变换的物理意义如果仔细分析周期函数和非周期函数的傅氏积分表达式()∑∞-∞==n t in n T e c t f ω,()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21,以及n c 和()ωF 的表达式()() ,2,1,0122±±==--⎰n dt e t f T c tin TT T n ω,()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=,由此引出以下术语：在频谱分析中, 傅氏变换()ωF 又称为()t f 的频谱函数, 而它的模()||ωF 称为()t f 的振幅频谱(亦简称为谱). 由于ω是连续变化的, 我们称之为连续频谱,因此对一个时间函数作傅氏变换, 就是求这个时间函数的频谱. 显然，振幅函数()||ωF 是角频率ω的偶函数, 即()||ωF ()||ω-=F ,()||ωF 的辐角()ωF arg 称为相角频谱, 显然()ωF arg ()()⎰⎰∞+∞-+∞∞-=tdtt f tdt t f ωωcos sin arctan ,相角频谱()ωF arg 是ω的奇函数.例3 求单个矩形脉冲函数()t f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤,2,0,2,a t a t E 的频谱图.解：()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=dte E t i a a ω--⎰=222sin222ωωωωa Ea a e i E ti =--, 频谱为()||ωF =|2sin2|ωωa E. 请画出其频谱图.以上术语初步揭示了傅氏变换在频谱分析中的应用，更深入详细的理论会在有关专业课中详细介绍！在物理和工程技术中, 有许多物理、力学现象具有脉冲性质. 它反映出除了连续分布的量以外，还有集中于一点或一瞬时的量，例如冲力、脉冲电压、点电荷、质点的质量等等. 研究此类问题需要引入一个新的函数，把这种集中的量与连续分布的量来统一处理。

傅里叶积分和变换

(5.2.6)满足条件 f (0) 0
（5.2.7）
同理，偶函数 f (x) 的傅里叶积分是傅里叶余弦积分
f (x) 0 A() cosxd
A()
2
0
f
( ) cos d
(5.2.8) (5.2.9)
数学物理方法
（5.2.6）~(5.2.9)也可以写成对称的形式：傅里叶正弦变换对
f
(x)
2 π
故上式变为
1 [
f ( ) cos d ]cosxd
0
同理，正弦部分的极限是
1
lim [ l l k 1
l l
f ( ) sin k d ]sin k x
[ 1
f ( ) sin d ]sin xd
0
数学物理方法
于是（5.2.2）在l 时的极限形式是：
f (x) A() cosxd B()sin xd （5.2.4）
( 0) ( 0)
数学物理方法
将(5.2.5)代入上式，可以证明，无论 0 还是 0 ，
F () 1 f (x)[eix ]*dx 2π
(5.2.13)
（ 5.2.12 ）是 f (x) 的复数形式的傅里叶积分表示式，
（5.2.13）则是 f (x) 的傅里叶变换式。这两个式子还可以
（2） f (x) 在 (, ) 上绝对可积（即 f (x) dx 收敛）
则 f (x) 能表成傅里叶积分，且傅里叶积分值＝[ f (x 0) f (x 0)]/ 2 。
数学物理方法
上式还可以改写为
f (x) 0 C() cos[x ()]d
其中
C
(
)
[

《傅里叶级数》课件

信号处理：用于分析信号的频率成分，如音频、视频信号等
工程领域：用于分析机械振动、电磁场等物理现象
数学物理：用于求解偏微分方程、热传导等问题
计算机科学：用于图像处理、数据压缩等领域
03 傅里叶级数的基本原理
三角函数的定义与性质
三角函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割定义：以直角三角形的边长和角度为基础定义的函数性质：周期性、奇偶性、对称性、单调性应用：傅里叶级数、信号处理、工程计算等
傅里叶级数的历史背景
傅里叶级数是由法国数学家傅里叶在1807
年提出的
傅里叶级数是傅里叶分析的基础，是研究信号处理、图像处理等领域
的重要工具
傅里叶级数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用
傅里叶级数在信号处理、图像处理等领域的应用，推动了这些领域的
发展
傅里叶级数的应用领域
06
傅里叶级数的扩展与展望
傅里叶变换的推广与应用
傅里叶变换在信号处理中的应用
傅里叶变换在图像处理中的应用
傅里叶变换在语音识别中的应用
傅里叶变换在金融分析中的应用
傅里叶分析在其他数学领域的应用
信号处理：傅里叶变换在信号处理领域有着广泛的应用，如滤波、频谱分析等。数值分析：傅里叶级数在数值分析中用于求解微分方程、积分等。概率论与统计学：傅里叶变换在概率论与统计学中用于分析随机信号、随机过程等。量子力学：傅里叶变换在量子力学中用于描述量子态的演化和测量。
傅里叶级数的收敛性：傅里叶级数在满足一定条件下是收敛的收敛条件：傅里叶级数的收敛性取决于其系数的绝对值之和是否收敛证明方法：可以通过积分法、极限法等方法进行证明收敛速度：傅里叶级数的收敛速度可以通过其系数的绝对值之和的收敛速度来衡量

第六章傅里叶级数与傅里叶积分

第六章傅里叶级数与傅里叶积分，δ函数简介【教材第十章第一节，第十一章第一节】§6-1 复习: 傅里叶级数（一）三角函数族的正交性定义：函数()x ϕ和()x ψ在区间[],a b 上正交, 是指()x ϕ和()x ψ在区间[],a b 上满足下列条件：()()0ba x x dx ϕψ*=⎰。

正交函数族：若函数族(){},1,2,n x n ψ=中的任意两个函数()kx ψ，()lx ψ在区间[],a b 上正交，即()()()0,bk l a x x dx k l ψψ*=≠⎰，则称函数组(){},1,2,n x n ψ=为区间[],a b 上的正交函数族。

= {1，cos x l π，2cos x l π，，cosk xlπ，，sinxlπ，2sinxlπ，，sink xlπ，}是区间[],l l -上的正交函数族，即其中任意两个函数均是正交的（两两正交）:coscos 0,,0,1,2,llm x n xdx m n m n l lππ-=≠=⎰sinsin 0,,1,2,llm x n xdx m n m n l lππ-=≠=⎰cossin 0,0,1,2,1,2,llm x n x dx m n l lππ-===⎰（学生自己验证）（二）傅里叶级数将一个周期函数用正交三角函数族的级数表示出来，叫作傅立叶级数展开。

满足什么样的条件的周期函数能够展开成傅立叶级数的形式？数学上可以证明，满足Dirichlet 条件的周期函数可以按正交三角函数族展开成傅里叶级数。

函数f (x )在某区间内满足Dirichlet 条件，是指： (1) f (x ) 在该区间内处处连续，或只有有限个第一类间断点；(2)f (x )在该区间内只有有限个极值点，即函数在该区间内不作无限次振荡。

间断点（也叫不连续点）：如果在点0x 处出现下列三种情形之一，则称0x 为函数f (x )的间断点（不连续点）: (1) f (x )在该点无定义；(2) f (x )在该点虽有定义，但极限0lim ()x xf x →不存在；(3) f (x )在该点有定义且极限0lim ()x x f x →也存在，但00lim ()()x xf x f x →≠。

傅里叶级数与傅里叶变换

傅里叶级数与傅里叶积分变换整理1 基本概念首先理清下面的概念：三角函数形式傅里叶级数（系数含1/T ）三角函数形式傅里叶级数改写为复指数形式傅里叶级数（系数含1/T ）复指数形式傅里叶积分，系数1/T 变为1/(2π)三角函数形式傅里叶积分(将复指数核函数改写为三角函数形式，利用奇偶性变为余弦核函数).复指数形式傅里叶积分与更一般的积分变换：象函数，象原函数和核2 基本公式和变换过程欧拉公式，是连接复指数和三角函数，频域和时域的桥梁cos()sin()i e t i t ωωω=+三角函数改写为复指数形式：cos 2i i e e θθθ-+=，sin 2i i e e i θθθ--=2.1 三角函数形式的傅里叶级数“级数”就是对数列求和。

三角函数形式傅里叶级数, 系数1/T复指数形式傅里叶级数, 系数1/T复指数形式傅里叶积分, 系数1/(2π)上述四种形式都包括了傅里叶正变换和逆变换的过程 f (t ) = F -1 ( F ( f (t ) ) )更一般的积分变换形式三角函数形式傅里叶积分, 系数1/(2π)01()(cos sin )2T n n n a f x a n x b n x ωω∞==++∑其中/20/2/2/2/2/222()2()cos 2()sin T T T T n T T T n T TT a f x dx T a f x n xdx T b f x n xdx T πωωω---====⎰⎰⎰注意这里的系数含1/T2.2 复指数形式的傅里叶级数我们可以把三角函数形式的傅里叶级数改写为复指数形式，最后甚至合并成一个简单的式子：0101011/2000/2/2/2()()222()2221()21()cos ()sin 2n n in x in x in x in xT n n n in x in x n n n n n i xi x n n n n T i x T T T n n n T T T T a e e e e f x a b i a a ib a ib e e c c ec e a c f x e dx T a ib c f x n dx i f x n dx T ωωωωωωωωωω--∞=∞-=∞∞-==-⋅⋅---+-=++-+=++=++==-==-∑∑∑∑⎰⎰，其中/2/2/2/2/2/21()1()2()n T T i n xT T T i n xn n n T T i xT n f x e dx T a ib c f x e dx T f x c e ωωω-⋅⋅-⋅⋅--∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦+===⎰⎰⎰∑最后其中/2/21()n T i xn T Tc f x e dx T ω--=⎰，n n ωω= 即/2/21()()n n T i xi x T T T f x f x e dx e T ωω∞--∞-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑⎰2.3 复指数形式的傅里叶积分要知道傅里叶级数最初是用于周期函数的。

第一节傅立叶级数与傅里叶积分 (2)

第五章 第一节 傅里叶变换

傅里叶变换三部曲（二）·傅里叶变换的定义

第一节傅立叶级数与傅里叶积分

第一节傅立叶级数与傅里叶积分

傅氏变换

复变函数第1节 傅氏积分,傅氏变换

数学分析课件 傅里叶级数

第一+二节(傅里叶级数和积分)

傅里叶级数

应用高等数学-6.1 傅里叶变换

第一+二节(傅里叶级数和积分)

数学物理学方法10

傅里叶积分

傅立叶积分变换

傅里叶积分和变换

《傅里叶级数 》课件

第六章傅里叶级数与傅里叶积分

傅里叶级数与傅里叶变换

第五章第一节傅里叶变换

复变函数第1节傅氏积分,傅氏变换

数学分析课件傅里叶级数

《傅里叶级数》课件