正反解分析方法

一前言
串联机器人机构的正反解问题：
对于单环空间机构来说，正解很容易，就是一连串矩阵的乘积．但是反解却相对困难，因为需要求解一个非线性多项式方程组的根．在20 世纪70—80 年代，该问题曾是一个研究的热点，特别是其中7R 机构的位移分析问题曾被喻为机构运动分析问题中的珠穆朗玛峰。

一方面，该问题解决后可以为空间机构的设计提供支持; 另一方面，该问题还是机器人作的一个必要前提．这 2 个问题从数学建模上来看是同一个模型，或者说一个问题解决了另一个就自然解决了．实际上，最早的机构分析与机器人的求解是各自在其领域中进行研究，其目的也不相同．机构分析是为了在机械设计完成后对机构的性能进行检查，看是否满足了设计要求．为了给出各种不同的设计方案，就不能仅限于设计平面四杆机构，也必须对更一般的平面机构和空间机构进行研究和分析．机器人的反解研究显得更为急迫，它是为了给机器人提供控制程序．例如很多工业机器人都是采用示教再现的工作方式，示教完成后，要根据关节参数求出手抓的末端位姿，即手抓的位置和姿态，这就是正解; 然后根据工作要求，规划手抓要经过的路径，根据路径再求出各关节的参数，这就是反解．所以，一个完整的工作过程既包括正解也包括反解．没有这个反解算法，机器人的控制就无法实现．对于串联机器人其正解很简单，就是一串矩阵的乘积．然而反解却相对复杂．所幸的是，一般的工业机器人都是设计成特殊尺寸，例如轴线相交或平行，这使得机器人的位置反解变得相对简单．一般情况下，工业机器人的反解都可以利用这些特殊尺寸求出其反解的解析式．但是设计者总希望有些技术储备不能仅限于设计生产这些特殊尺寸的机器人，任意尺寸机器人的反解也必须解决．例如德国某家公司经过相当一段时间的研究，开发出一款采用一系列锥齿轮和套筒组成的机器人，该机器人可以无限制地转动，非常灵活，但是却没有一般机器人所具有的球形手腕，也没有轴线平行等特殊尺寸．这种特点造成了其反解的复杂性，其复杂程度与尺寸任意的机器人几乎相同．国内的一些喷漆机器人情况类似，为了从手臂内部输送高压油漆，其轴线不再象普通工业机器人那样采用三线交于一点的球形手腕，其反解立刻变得与任意尺寸机器人相同．另外，一些海洋生物的腿，如螃蟹或龙虾的腿，也等同于一种尺寸任意的空间机器人，对它们进行深入研究，也应该能很好地解决其反解问题．串联机器人的反解经过20 世纪80 年代研究人员的努力，理论上已经得到解决，并且找到了具有全部实根的机构［9-11］采用的方法仍然是DH 矩阵建模或对偶矩阵建模，寻找合适的封闭方程，最后消元．此后很多类似的方法陆续出现，但主要是在消元法方面，建模方法基本没有变化．最近几年，建模方法有了一些改变，例如，可采用四元数、倍四元数( double quaternion)［12］对偶四元数的方法［13］重新进行求解．由于建模方法不同，消元过程也不相同，这使得某些方面变得困难而某些方面变得容易，从而可以适用于不同的场合．总之，该问题的不同建模与求解方法目前仍在研究中．
二主题
1一般机器人运动学求解方法
1·1正解法
机器人是由多个关节组成的,各关节之间的相对平移和旋转齐次变换可以用矩阵A表示。

如果用A1表示第1个连杆在基系的位置和姿态矩阵,A2表示第2个连杆相对第1个连杆的位置和姿态矩阵,根据坐标系位姿相对变换规则,第2个连杆相对基系的位置和姿态矩阵[1]:T2=A1A2
依此类推,则可以得出第n个连杆相对基系的位置和姿态矩阵:Tn=A1A2A3A4A5A6…An
以著名的斯坦福机器人为例[3],该机器人手臂有6个关节和6个杆件,首先建立各关节坐标系之间的齐次变换矩阵An,根据运动学方程式计算规则得
T6=A1A2A3A4A5A6= Nx ox ax px
Ny oy ay py
Nz oz az pz
0 0 0 1
其中:
nx=c1[c2(c4c5c6-s4s6)-s2s5c6]-s1(s4c5c6+c4s6)
ny=s1[c2(c4c5c6-s4s6)-s2s5c6]-c1(s4c5c6+c4s6)
nz=-s2(c4c5c6-s4s6)-c2s5c6
其余各个元素表达式也比较复杂。

显然,如果机器人关节更多,其中各元素将更加复杂和难以解算。

而许多科学研究用的机器人为了达到一定的灵活性通常都有8个以上的关节。

这种情况下,要求出精密的数值解并绘制轨迹特性曲线图是极其困难的。

1·2逆解法
当已知机器人末端执行器相对于参考坐标系的期望位值和姿态,求其相对应的各关节的转角变化量。

还是以斯坦福机器人为例,设矩阵及各杆参数已知,求关节变量θ1—θ6,用A-11左乘其运动学方程式T6=A1A2A3A4A5A6的两边,得A-11T6=A2A3A4A5A6。

将该式左右展开得到一个由4阶矩阵构成的代数方程式[4],求解的过程是将未知数θn由方程式中的右边移向左边,与其他未知数分开,解出这个未知数,再把下一个未知数移到左边,如此重复进行,直到解出所有未知数。

很显然,比较正解法,机器人的逆解问题更加复杂和难解。

一般情况下其解不是惟一的。

有时会存在一些不能实现的位置和方向;有时又会出现求不出数值解的情况[1,3-4]。

2用CAD/CAE集成软件仿真图形分析法
机械臂结构以作者所在单位研制的七关节医疗机械臂为例(图1),机械手臂是安装于可平面自由运动的基座上,由基座载体及机械臂Li(i=0,1,2,…,6)和转动关节ni(i=0,1,2,…,6)组成。

由于有7个转动关节和7个杆臂,所以,采用前述机器人运动学求解方法均过于复杂和难解。

因此,作者在实际研究中采用了新的思路和方法,首先运用正解法建立七关节机械臂的运动学方程,先推导出机械臂前端相对基系的位置和姿态矩阵方程T7=A01A12A23A34A45A56A67,从结构上看,该机器人是属于三维空间多关节机器人。

研究项目要求机械臂能够在长200mm、宽200mm、高25mm的空间内做连续往复扫描动作。

但是,在目前市场上仅能提供转角范围120°的角度传感器,因此,只能在此条件下确定合适的手臂各关节转角值、杆臂参数。

在预设杆臂长度的情况下,可以考虑机械臂指尖处于最近点和最远点的情况,即处于扫描区域中心上表面原点的位置和扫描区域下表面最边缘位置时,求解T7得到其运动学的正解,即得到机械臂在理论上可到达的空间位置和姿态。

据此可判定预设的结构和参数是否满足极限工作位置要求。

但是,要对机械臂工作路径进行精确的规划,这种方法还是过于复杂和不便。

因此,在进行精密路径规划并绘制特性曲线图时,作者运用了CAD/CAE集成软件Pro/E的三维建模和运动分析功能进行图形动态仿真和运行轨迹分析,其研究步骤和方法如下:
(1)运用Pro/E完成机械臂各关节零部件的三维造型,并进行机械臂的虚拟装配设计和各关节的运动设计,各关节连接属性均设置为“销钉”。

设扫描探头底部与代表病患部位的虚拟平面对齐,平面的高度可根据待分析项目的特性要求在设计范围内确定,一般情况下,设置扫描探头运动为贴平面分别沿X、Y方向做扫描运动。

(2)运用内嵌于Pro/E的Pro/Mechanism运动分析模块进行运动学与动力学的仿真分析。

从“应用程序”窗口选择“机构”进入运动分析环境[5]。

首先对机器人结构件进行运动干涉检查。

用鼠标“拖拽”的办法引导机械臂前端在设计的工作空间内做各种扫描动作,当机械动作不能连续进行时,就表明有干涉现象发生。

观察图形和自动记录的数据就很容易发现问题所在。

(3)在进行定量运动分析时先设定好扫描探头的初始位置。

通常设置在机械臂工作平面的中心点,然后指令扫描探头分别向X、Y方向做扫描移动。

这时,可以观察并记录扫描臂臂各关节转动角度函数置的变化范围、扫描探头到达的空间位置和姿态。

通过模拟机械臂的运行过程,就可以全面获得相应机构的运动学精确数据,并自动描绘机械臂工作特性曲线,
3结论
(1)以往对机器人运动学的求解方法不外乎先建立各关节坐标系之间的齐次变换矩阵。

这个过程因极其繁琐而容易出错,对于不同类型的机器人,其终端相对基系的位置和姿态矩阵形式差别极大,随着运动关节的增加,其矩阵方程表达式的复杂程度也成几何级数增加。

运用正解法、逆解法解析矩阵形式的运动学和动力学方程十分复杂而不易掌握,其解往往不是惟一的,各种结果是否合适还需要进一步的验证。

(2)运用CAD/CAE集成软件仿真图形分析法对机器人进行运动仿真模拟分析,摒弃了复杂的数学和的一般操作要求。

该对话框的开发主要涉及了对话框的确定及取消操作、保存路径及保存类型的选择、文件名合法性验证、文件名是否已存在等核心问题。

整个程序由While Loop循环加多层嵌套的CaseStructure结构组成,程序结构简洁,逻辑清晰。

程序共设置了一个输入参数“开始路径”和两个输出参数“所选路径”及“取消”,以满足输入输出信息的要求。

取消操作功能的实现主要是通过Case Structure结构对取消按钮的状态进行逻辑判断来完成,在此定义取消按钮被按下时其状态为“真”,则在CaseStructure结构“真”分支中将TRUE值输出到取消参数端,同时结束对话框的运行,如图8所示。

文件路径的输入采用文件路径输入控件完成,或点击该控件的浏览按钮选择现有路径。

当输入保存路径后,将使用相关函数进行检验是否为空或非法。

同样采用Case Structure结构根据检验结果完成路径的生产及判文件名是否已存在等,并根据判断结果输出所生成的路径或回到对话框进行重新输入,如图7所示。

文件的保存类型通过对话框前面板上的保存类型输入框进行控制。

打开文件路径输入控件的属性设置对话框,选取浏览选项,在选择模式区域选中文件或文件夹及新建或现有两个选项,其他保持默认状态。

这样当点击该控件的浏览按钮后,将打开可用于选择现有
路径的另存为文件对话框,该文件对话框的保存类型选择框显示的文件类型为全部文件(*·* ),因此保证了对话框前面板上保存类型输入的可靠性和唯一性。

3 机器人位姿反解的新方法，称之为投影解析法。

在机器人运动学里，我们总是把各机器人杆件抽象成线段来研究.而在工程图学里，研究物体的点线面，往往是把物体投影，拱以发现点、线、面之间的空间关系，以达到解决间题的
目的，因此我们就可以通过投影来研究机器人的位姿反解间题.传统的机器人位姿反解方法是在机器人各杆件上建立坐标系，通过相邻杆件之间的坐标变换关系，得出手部坐标系对基础坐标系的变换关系·即假设A，(i一1，么一”)为第j一1杆对第j杆的坐标变换矩阵则T一A，AZ…。

便为手部坐标系对基础坐标系的变换矩阵·这里”为机器人的自由度，通这种方法在理论上对某些机器人的声有关节变量·由手部的位姿和变换矩阵T，便可得到各关节变量·麟中都是有极高的价值的，但由于它是一个统一性极强的方法，因此针解问题，并不凑效.而本文提出的投影解析法，不仅应用代数学知识，同时运用工程图学中投影的方法，便使我们能够掌握机器人杆件的空间关系，使间题更加明朗，以致能更好，更快地解决问题.投影解析法的基本思想是:把机器人机构简图抽象成线段的集合后，作出它们的两面投影，需要时也可作出第三面投影，从投影图上找出解决问题的关键点或关键参数，进而用向量代数、几何、工程图学的方法求得关键点或关键参数，最后通过关键点或关键参数解出全部关节变量.
4 6自由度串联机械手位置逆解新方法
机械手运动学逆解及机构位移分析方法：
工业机械手可按自由度来划分，要使机械手能达到工作空间的任何位姿，其自由度必须大于等于6。

与空间单环机构一样，机械手也可用关节运动副的顺序来描述。

如Stanford机械手是一种SR 一P机械手，它由5个转动副和1个移动副构成;PUMA560是一种6R机械手，它由6个转动副组成。

机械手的位置反解是已知机械手的空间位姿，求解各个运动副的位移量(包括角位移量)。

传统的机械手的结构一般比较特殊，如轴线相交或平行，轴线长度为零等等。

这样它的姿态和位置之间就没有祸合，其逆解很容易用分离变量的办法来实现。

在这方面有许多中外学者都做了巨大的努力，也有很多的成功方法[3一5]。

然而对于一类结构尺寸比较一般的复杂机械手阶9]，由于姿态和位置高度
藕合，一般无法进行变量分离，这时必须借助于数值算法。

这些算法可分为3类:a)数值一解析法[9]，牛顿一拉弗森法日“l等。

这些算法可满足实时性要求，较难得到全部逆解，且必须给出适当的初值。

b)优化算法[”]，区间迭代法[l2]，遗传算法[’3]等。

这类算法收敛范围大，可求出全部逆解，但一般实时性差。

c)位置和姿态分别迭代法[‘4]。

这种算法能较迅速地求得全部解，但当机械手位置和姿态高度藕合时，迭代过程会发散。

苏海军I”]应用空间一般7R机构位移分析(该问题与一般6R机械手的逆解问题等价，曾被喻为是空间机构运动分析中的珠穆朗玛峰，它于1986年为我国学者廖启征，李宏友，梁崇高解决110J)的成果，得到一种基于代数消元的独特实用算法。

这种算法无需初值就可实时地得到全部解，而且可以适用于各种一般6R机械手。

其基本思路是:
(1)将多项式方程组通过适当的代数消元，得到只含一个关节变量的结式。

这一步通常用计算机代数系统实现。

(2)将机械手末端位姿参数代入结式，并展开结式可得一个关于某个关节变量的一元高次多项式方程。

(3)运用数值算法求解该一元方程，从而得到其中一个关节变量。

北京邮电大学工学硕士学位论文绪论
(4)将(3)解出的关节变量回代，可将其他关节变量依次较容易地解出来。

苏的方法也有一些不足:一是代数消元过程十分烦琐且对于不同结构的机械手其消元过程会有所不同。

这主要体现在挑选消元方程时不能象一般6R机械手那样可以任意挑选，而要避开会导致出现恒等式的方程，技巧性很强。

二是求解过程中对一元高次方程中的变量的精度要求很高。

以后的求解方法与苏的大致相同。

林森[17]在苏的基础上，继承我国古代的一些数学成果，把华罗庚先生的利用有理数逼近实数的方法引入到一种喷漆机器人的逆解计算中，开拓了一种基于有理数运算的方法。

于艳秋[l”]把这种基于有理数运算的方法方法推广到结构更一般的6R机构中。

此后王品【’”〕又提出了一种能用C++语言实现的一种算法并加以实现。

更值得一提的是杭鲁滨[20]用数学机化的方法，即基于Groebne:基法，对一般6R机器人机构逆运动学进行符号解分析。

仅用Du伪的含3个未知变元的4个运动学方程，附加3个正余弦恒等式，不增加其他几何约束方程，并得出一般串联6R机器人机构逆解最多为16解的结论。

但在对机械手运动分析中，还没有一种通用的方法，用一种统一的求解模型，对机械手进行运动分析。

三小结
四参考文献
1 6自由度串联机械手位置逆解新方法北京邮电大学
2 张启先，关于机械手的间接位置的一种解法，.机械工程学报17卷1期1981年3月.
3 彭商贤王刚用系统分解法求关节型机器人运动学反解(天津大学)《机械设计》一88。

一2.一36
4 陈先国. 面向对象三维动画仿真的实现.计算机仿真,1997:2-5
5廖启征,梁崇高, 张启先.空间7R机构位移分析的新研究[J].机械工程学报, 1986, 22(3): 1-5
6赵杰,王卫忠,蔡鹤皋.可重构机器人封闭形式的运动学逆解计算[J].机械工程学报, 2006, 42(8): 210-214
7 于艳秋,王品,廖启征.一般6R机器人位置反解与运动仿真[J].中国机械工程, 2003, 14(24): 2130-2132。