07应力状态和强度理论

应力圆 莫尔(Mohr)圆
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2 x
圆心坐标为
x
2
y
，0
半径为
x
y
2
2
2 x
2、应力圆的画法
n
y
y
x x
y
Ox
n D( ,
2
C O
B(y ,y)
x
A(x ,x)
下面根据已知单元体上的 应力 σx、 σy 、τx画应力 圆 建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺）
注：三角公式 考虑剪应力互等
sin 2 2sin cos sin2 1 cos2
2
x y
cos2 1 cos2
2
Fn
0:
x y
2
x y
2
cos 2 x sin 2
F
0:
x
2
y
sin
2
x
cos 2
以上公式表明,斜截面上的正应力和切应力随角 的 改变而变化,即 和 都是 的函数.
X 0 Y 0
' pD
4t
'' pD
2t
∵ 3 0 (3 ', '' )
属二向（平面）应力状态。
圆球形薄壁容器，壁厚为 t，内径为D，承受
内压p作用。
p
D2 Np 4
A Dt
pD
4t
1
2
pD 4t
3 0
特例：纯剪应 力状态
( Shearing State of Stresses )
在坐标系内画出点A( x，x)和 B(y，y)
AB与 轴的交点C便是圆心。
以C为圆心，以AC为半径画
圆——应力圆；
3、单元体与应力圆的对应关系
y
y
n
点面对应—应力圆上某一点的 坐标值对应着单元体某一截面 上的正应力和切应力；
y
x
x
面上的应力( ， ) 应力圆上一点( ， )
转向对应—半径旋转方向与截
第七章 应力状态和强度理论
§7.1 概述 §7.2 平面应力状态的分析 主应力 §7.3 空间应力状态的概念 §7.4 应力与应变间的关系 §7.5 空间应力状态下的应变能密度 §7.6 强度理论及其相当应力
*§7.7 莫尔强度理论及其相当应力
§7.8 各种强度理论的应用
§7.1 概 述
➢单轴应力状态。例如：拉压、弯曲
各侧面上切应力均为零的单元体。
2
1 主平面(Principal Plane)：
切应力为零的截面。
主应力(Principal Stress ）： 主平面上的正应力。
可以证明：通过受力构件内的任一点，
3
一定存在三个互相垂直的主平面。
1 三个主应力用σ1、 σ2 、 σ3 表示，
2
按代数值大小顺序排列:
y
0
x
y
2
sin 20
x
cos 20
0
（刚好是剪应力为 零 的截面）
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2
tan 2 0
2 x x
y
0 0极值正应力就是主应力 ！
0 、 0 90 , 它们确定两个互相垂直
的平面，其中一个是最大正应力所在
平面，另一个是最小正应力所在平面
2
切应力互等
3）由：
tan 20
2 x x
y
tan
21
x 2 x
y
tan 2 1
1
tan 2 0
ctg 2 0
2 1 2 0 90 即 1 0 45
即：最大和最小剪应力所在平面与
主平面的夹角为45
2、图解法
1) 主应力
max
x
21
A(x ,x)
OC
min
20 max
B(y ,y)
平衡方程——
Fn 0 Ft 0
σx
x
A
y
y
x
x
y
y
y
Fn 0
n
Ox
dA ( xdAcos)sin ( xdAcos) cos
( ydAsin) cos ( ydAsin)sin 0
Ft 0
dA xdAcos cos xdAcos sin
ydAsin cos ( ydAsin)sin 0
max [ ]
➢纯剪切应力状态。例如：扭转、弯曲
max [ ]
➢一般应力状态？ ➢应力状态： ➢强度理论：关于材料破坏规律的假设。
一、应力状态：
§7.1 概 述
过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，
称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。
即 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
4、应力状态的分类：
单轴应力状态： ( One Dimensional State of Stresses )
三个主应力中只有一个不等于零
二向应力状态（平面应力状态）： （Plane State of Stress）
有一个主应力等于零
三向应力状态（空间应力状态）： （ Three—Dimensional
yx C xy
圆杆受扭转和拉伸共同作用
m
P
P
m
N A
4P
d2
T 16m Wt d 3
梁的弯曲 P
A B C D E
A
B
C
D
E
CL10TU3
§7.2 平面应力状态的应力分析 主应力
在平面应力状态下，已知通过一点的某些截面上的应力 （互相垂直的截面）后，如何确定通过这一点的其它斜截面 上的应力，从而确定该点的主平面和主应力。
1、单元体： 单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究
点的无限小的几何体，常用的是正六面体。
单元体的性质——a、平行面上，应力均布；
y
y yzyx
b、平行面上，应力相等。
zy
xz
z zx xy
x
2、普遍状态下的应力表示
z
x
3、主单元体、主平面、主应力：
主单元体(Principal bidy)：
3
2
2 x
10888.5.（5 MPa）
1 108 .5, 2 0, 3 88.5
tan
2 0
2 x x
y
240 100 (80)
0.4444
120 0
900 780 0
5）计算τmax、τmin及其所在 平面的方位角。
max
min
x
2
y
2
2 x
100
(80)
2
D 对构件中所研究的点，切割单元体时，只能 按一种方法进行，否则影响单元体的最大正应 力值和最大剪应力值。
2、 下列结论中错误的是—D—。 A 构件内任一点处，一定至少存在一对互相垂 直的截面，其上剪应力等于零 B 构件内任一点处，一定至少存在一对互相垂 直的截面，其上正应力数值相等 C 构件内任一点处，当只有一个截面上的正应 力和剪应力同时为零时，则该点肯定处 于单向应力状态 D 构件内任一点处，总存在一对互相垂直的截 面，其上的正应力等于零
二、斜截面上的应力 应力圆（图解法）
1、应力圆（ Stress Circle）
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos2
y y
x
y
x
对上述方程消去参数（2），得：
Ox
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2 x
此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆， y
x
x
y
y
n
由德国工程师：Otto Mohr引入） O x
m in
max min
OC R半径
x
y
2
（ x
2
y
）2
2 x
Fra Baidu bibliotekmax min
R半径
max
min
2
（
x
2
y
）2
2 x
2) 主平面
max
x
21
A(x ,x)
OC
min
20 max
B(y ,y)
tan
20
2 x x
y
m in
i)当
x
y时, 则 0是
x与
m
a
之间的夹角
x
σy= 0 , τy=-20.6MPa ,
得两点：D(60，20.68)，D’(0，-20.68)
按比例作应力圆
得两点：D(60，20.68)，D’(0，-20.68) 按比例作应力圆 测量:
A1 1 OA1 66.4MPa B1 3 OB1 6.4MPa
20 34.4 ，0 17.2
y y y
x x
x z
y y
x
y
x
Ox
一 .斜截面上应力（解析法）：
y x
y y x
x y
正负号规则
正应力和切应力的规定与之前相同。
角（ 面）
由 x正向反时针转到
n正向者为正；反之为负。
n
x
平衡原理的应用——微元局部的平衡方程
平衡对象——用斜截面截取的微元局部
参加平衡的量——应力乘以其作用的面积
max
x
2 C
min=3 20
21
A(x ,x)
B(y ,y) max=1
tan 20
2 x x
y
1
0
4
m in
ii))当当xx yy时时,,则则01是 是 xx与 与mmaaxx之 之间 间的 的夹 夹角 角
iiii))当 当 xx yy时,,则则01是是xx与与mmiinn之之间间的的夹夹角角
i)当 x
y时, 则 0是
x与
m
之间的夹角
ax
ii)当
x
y时, 则 0是
x与
m
之间的夹角
in
max
min
x
y
2
x
2
y
2
2 x
2）、最大切应力： max
令 d 0 d
tan
21
x 2 x
y
1
0
4
i)当
x
y时, 则1是
x与
m
之间的夹角
ax
ii)当
x
y时, 则1是
x与
m
之间的夹角
in
max
y
yx xy
x
Me 例如：扭转
Me
三向（空间）应力状态
x
x
zz
zx
zy
xz
yz
xy
yx
y
y
空间应力状态实例
三
平
向
面
应
应
单轴应力状态
力
力
状 特例 状 特例
态
态
5、原始单元体（已知单元体）：
例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。
P
A
P x
x
A
y
B
C z
P
x B x
Mx
zx
xz
2）确定两个主应力的大小和方位；
3）确定两个最大最小剪应力的大小和方位；
1、 对从构件中任一点切割出的单元体而言， 下列结论中—D—是错误的。 A 单元体的尺寸足够小 B 单元体各微面上的应力均视为均匀分布 C 单元体在不同方位截面上的应力，代表构件 中切割单元体的“那各点”在相应截面上的应 力，故单元体应力状态代表该点的应力状态
min
x
2
y
2
2 x
3）、两个导出公式：
max
min
max 2
min
max min x y
讨论：
1) 2
1 2
(
x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2(
2
)
x
sin 2(
)
2
1 2
(
x
y
)
1 2
(
x
y
)
cos
2
x
sin
2
x y 常量 应力不变量 2
2)
402
2
98.5(MPa)
1 0 450 330
1 90 0 123 0
例2 σx=60MPa,τx=20.6MPa ,σy= 0 , 用图解法求： 1）该点的主应力和主平面的方位； 2）求与轴线方向成-450的应力σ-450、τ -450 ？
解： σx=60MPa, τx=20.6MPa ,
45 O1E 50.6MPa 45 O2E 30MPa
例3. 1）求主应力、主平面并画出主应力单元体；
2）求最大剪应力及其作用面；
x
解： 1）取坐标轴
2）已知条件
30
x 30, y 20,
Ox
n D( ,
2
C O
面外法线旋转方向一致；
x
面的法线 应力圆的半径
二倍角对应—半径转过的角度
A(x ,x)
是截面外法线旋转角度的两倍。
两面夹角
两半径夹角2 ；
B(y ,y)
且转向一致。
点 面 对 应、转向对应、 二倍角对应
y
y
n
x
x
y
n D( ,
x
2
C O
B(y ,y)
A(x ,x)
Ox
三、主应力和主平面
x y
x
2
y
2
s
in
x 2
2
y
cos 2 x cos 2
x
s
in
2
和都是的函数。利用上式便可 确
定正应力和切应力的极 值
1、解析法
1）、主平面、主应力
令 : d
d
x y sin 2
2 x cos 2
0
若
0时，能使
d d
0
tan
2 0
2 x x
例1：已知如下单元体的应力状态，求图示斜截面上的应力和 σmax、σmin、τmax、τmin及主平面和最大剪应力所在平面的方位。
解：
1）取坐标轴 2）由已知条件：
x 100, y 80,
x y 40, 30
3）计算 30°， 30°
300
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
3) 主单元体
max
x
21
A(x ,x)
OC
3 2
20 1
B(y ,y)
m in
max 1; min 3;
2 0
m in 23 主
单元体 m ax
11
y
32
主 单元体
x
y
y 11
Ox
4）、应力圆的应用——信息源
思维分析的工具，而不是计算工具。
1）确定单元体上任一斜截面上的正应力σα、 剪应力τα；
State of Stress）
三个主应皆不等于零
y
单轴应力状态
x x
( One Dimensional State of Stresses )
例如：轴向拉伸
F
A
F
A
A
平面（二向）
应力状态
x
( Plane State of Stresses )
y
yx xy
x
y
平面应力状态实例
薄壁圆筒（t<<D、L)
100 (80) 100 (80) cos600 40sin 600
2
2
20.36(MPa)
300
x
y
2
sin 2
x cos 2
100 (80) sin 600 40cos600 2
97.64(MPa)
4）计算σmax、σmin及主平面方位角
max
min
x
y
2
x
2
y